2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第6讲三角函数的图象与性质练习 14页

第6讲　三角函数的图象与性质 ‎[考情分析]　高考对三角函数的图象的考查有：利用“五点法”作出图象、图象变换、由三角函数的图象研究三角函数的性质、由三角函数的部分图象确定解析式等．三角函数的性质是高考的一个重要考点，它既有直接考查的客观题，也有综合考查的主观题，常通过三角变换将其转化为y＝Asin(ωx＋φ)的形式，再研究其性质(定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、对称性)．‎ 热点题型分析 热点1　三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系 ‎1.利用三角函数的定义时应注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关．‎ ‎2.应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限的符号，利用同角三角函数的关系化简时要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．‎ ‎3.已知tanα的值，求关于sinα与cosα的齐n次分式的值：分子、分母同除以cosnα，转化为关于tanα的式子求解．‎ ‎1.若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　)‎ A. B. ‎ C．1 D. 答案　A 解析　tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝＝＝.‎ ‎2.(2017·北京高考)在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若sinα＝，则cos(α－β)＝________.‎ 答案　－ 解析　由题意知α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴β＝π＋2kπ－α(k∈Z)，sinβ＝sinα，cosβ＝－cosα.‎ - 14 -‎ 又sinα＝，∴cos(α－β)＝cosαcosβ＋sinαsinβ ‎＝－cos2α＋sin2α＝2sin2α－1＝2×－1＝－.‎ 第1题中易忽略sin2α＋cos2α＝1的应用，想不到将所求式子的分母看作“1”，利用代换后转化为“切”，然后求解．第2题易错点有二：一是不能把角α与角β的终边关于y轴对称正确转化出角α与角β的关系；二是由α＋β＝π＋2kπ(k∈Z)不能利用诱导公式正确得出角α与角β的正余弦之间的关系.‎ 热点2　三角函数的图象与解析式 ‎1.已知函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找到第一个零点的位置．‎ ‎2.在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．周期变换只是相对于自变量x而言的，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向．‎ 题型1　三角函数的图象与变换 ‎(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cosx，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ - 14 -‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ 答案　D 解析　解法一：因为C2：y＝sin＝cos＝cos，把C1：y＝cosx图象上各点的横坐标变为原来的，得到y＝cos2x，再把y＝cos2x图象上各点的横坐标向左平移个单位得到C2.故选D.‎ 解法二：因为C2：y＝sin＝cos＝cos，把C1：y＝cosx图象上各点的横坐标向左平移个单位得到y＝cos，再把y＝cos图象上各点的横坐标变为原来的得到C2.故选D.‎ 变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数．如本题易错点有二：一是不改变函数名直接伸缩，平移而出错；二是解法一中先伸缩后平移的改变量出错.‎ 题型2　利用三角函数图象求解析式 已知函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y＝g(x)的图象重合，则(　　)‎ A.g(x)＝2sin B．g(x)＝2sin - 14 -‎ C.g(x)＝2sin2x D．g(x)＝2sin 答案　A 解析　根据函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象，可得T＝·＝＋，∴ω＝2，利用f＝0，可得ω·＋φ＝2·＋φ＝0，∴φ＝，故f(x)＝2sin，将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后，所得图象与函数y＝g(x)的图象重合，故g(x)＝2sin＝2sin，故选A.‎ 本题易错点有二：一是不能由图象得出T的值，从而不能正确得出ω；二是判断不准零点x＝－对应的是ωx＋φ＝0还是ωx＋φ＝π，从而影响φ的正确得出．一般地，利用零点时，图象上升时与x轴的交点：ωx＋φ＝0；图象下降时与x轴的交点：ωx＋φ＝π.如果求出的φ值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的.‎ 热点3　三角函数的性质(高频考点)‎ 求解函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质问题的三种意识：‎ ‎(1)转化意识：利用三角恒等变换将所求函数转化为f(x)＝Asin(ωx＋φ)的形式．‎ ‎(2)整体意识：类比y＝sinx的性质，只需将y＝Asin(ωx＋φ)中的“ωx＋φ”看成y＝sinx中的x，采用整体代换求解．‎ ‎①令ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)，可求得对称轴方程；‎ ‎②令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，可求得对称中心的横坐标；‎ ‎③将ωx＋φ看作整体，可求得y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间，注意ω的符号．‎ ‎(3)讨论意识：当A为参数时，求最值应分情况讨论A>0，A<0.‎ 题型1　三角函数的定义域和值域 ‎1.(2018·北京高考)设函数f(x)＝cos(ω>0)．若f(x)≤f对任意的实数 - 14 -‎ x都成立，则ω的最小值为________．‎ 答案　 解析　∵f(x)≤f对任意的实数x都成立，‎ ‎∴f＝cos＝1得＝2kπ(k∈Z)，∴ω＝＋8k(k∈Z)，∵ω>0，∴ω的最小值为.‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________．‎ 答案　1‎ 解析　f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1.∵x∈，∴cosx∈[0,1]，‎ ‎∴当cosx＝时，f(x)取得最大值，最大值为1.‎ 第2题易错点有二：一是变换的目标不明确，不能化为“一角一函数”的形式进而求解；二是换元之后忽略新元定义域而导致出错.‎ 题型2　三角函数的单调性 ‎(2019·汕头一模)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)在区间内是增函数，则(　　)‎ A.f＝－1 B．f(x)的周期为 C.ω的最大值为4 D．f＝0‎ 答案　C 解析　解法一：由题知，－≤，又T＝，‎ ‎∴≤，即≤，ω≤4，C正确．故选C.‎ 解法二：当ω＝1，φ＝0时，函数f(x)＝sin(ωx＋φ)＝sinx在区间上单调递增，此时f＝≠－1，排除A；f(x)的最小正周期为2π，排除B；f＝≠0，排除D.故选C.‎ - 14 -‎ 本题对y＝Asin(ωx＋φ)的单调区间求法不熟易导致无从下手.‎ 题型3　三角函数的奇偶性、周期性、对称性 ‎(2019·青岛模拟)若函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，则下列说法错误的是(　　)‎ A.y＝g(x)的最小正周期为π B.y＝g(x)的图象关于直线x＝对称 C.y＝g(x)在上单调递增 D.y＝g(x)的图象关于点 答案　C 解析　把函数f(x)＝sin的图象向左平移个单位后，得到y＝g(x)＝sin的图象，故g(x)的最小正周期为T＝＝π，故A正确；令x＝可得g(x)＝1，为最大值，故y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，故B正确；在上2x＋∈，故y＝g(x)在上没有单调性，故C错误；由x＝，可得g(x)＝0，故y＝g(x)的图象关于点对称，故D正确．故选C.‎ 本题易错点有两个：一是平移规则不熟悉而导致g(x)解析式错求为g(x)＝sin2x；二是不会利用y＝Asin(ωx＋φ)性质的整体代换意识解决此类问题.‎ 真题自检感悟 ‎1.(2019·全国卷Ⅱ)已知α∈，2sin2α＝cos2α＋1，则sinα＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 答案　B 解析　由2sin2α＝cos2α＋1，得4sinαcosα＝2cos2α.‎ - 14 -‎ 又α∈，∴tanα＝，∴sinα＝.故选B.‎ ‎2.(2018·全国卷Ⅱ)若f(x)＝cosx－sinx在[－a，a]是减函数，则a的最大值是(　　)‎ A. B. ‎ C. D．π 答案　A 解析　∵f(x)＝cosx－sinx＝cos，‎ ‎∴由2kπ≤x＋≤π＋2kπ(k∈Z)得 ‎－＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)，‎ ‎∴[－a，a]⊂，∴－a0)两个相邻的极值点，则ω - 14 -‎ ‎＝(　　)‎ A.2 B. ‎ C．1 D. 答案　A 解析　由题意及函数y＝sinωx的图象与性质可知，T＝－，∴T＝π，∴＝π，∴ω＝2.故选A.‎ ‎5.(2019·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝2sinx－sin2x在[0,2π]的零点个数为(　　)‎ A.2 B．3 C．4 D．5‎ 答案　B 解析　令f(x)＝0，得2sinx－sin2x＝0，即2sinx－2sinx·cosx＝0，∴2sinx(1－cosx)＝0，∴sinx＝0或cosx＝1.又x∈[0,2π]，∴由sinx＝0得x＝0，π或2π，由cosx＝1得x＝0或2π.故函数f(x)的零点为0，π，2π，共3个．故选B.‎ ‎6.(2019·衡水联考)将函数f(x)＝2sin的图象向左平移个单位，再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍，得到函数y＝g(x)的图象，则下列关于函数y＝g(x)的说法错误的是(　　)‎ A.最小正周期为π B.图象关于直线x＝对称 C.图象关于点对称 D.初相为 答案　C 解析　易求得g(x)＝2sin，其最小正周期为π，初相为，即A，D正确，而g＝2sin＝2.故函数y＝g(x)的图象关于直线x＝对称，即B正确，C错误．故选C.‎ ‎7.(2019·天津高考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x)．若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)‎ - 14 -‎ A.－2 B．－ C. D．2‎ 答案　C 解析　因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asinφ＝0，所以sinφ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.‎ 由题意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期为2π，所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asinx，‎ 所以g＝Asin＝A＝，所以A＝2.‎ 所以f(x)＝2sin2x，所以f＝.故选C.‎ ‎8.(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω＞0，|φ|＜π.若f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则(　　)‎ A.ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－ C.ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝ 答案　A 解析　∵f＝2，f＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，‎ ‎∴f(x)的最小正周期为4＝3π，‎ ‎∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.‎ 又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.故选A.‎ ‎9.(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为(　　)‎ - 14 -‎ A.(k∈Z) ‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) ‎ D.(k∈Z)‎ 答案　C 解析　T＝2＝π＝，∴ω＝2，‎ 因此f(x)＝sin(2x＋φ)．‎ 由五点作图法知A是第二点，得2×＋φ＝，‎ ‎2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，又|φ|<，∴φ＝－，∴f(x)＝sin.‎ 由2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)．‎ ‎∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z)．故选C.‎ ‎10.(2019·全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝sin(ω>0)，已知f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点，下述四个结论：‎ ‎①f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点；‎ ‎②f(x)在(0,2π)有且仅有2个极小值点；‎ ‎③f(x)在单调递增；‎ ‎④ω的取值范围是.‎ 其中所有正确结论的编号是(　　)‎ - 14 -‎ A.①④ B．②③ ‎ C.①②③ D．①③④‎ 答案　D 解析　已知f(x)＝sin(ω>0)在[0,2π]有且仅有5个零点，如图，其图象的右端点的横坐标在[a，b)上，此时f(x)在(0,2π)有且仅有3个极大值点，但f(x)在(0,2π)可能有2或3个极小值点，所以①正确，②不正确；当x∈[0,2π]时，ωx＋∈，由f(x)在[0,2π]有且仅有5个零点可得5π≤2πω＋<6π，得ω的取值范围是，所以④正确；当x∈时，<ωx＋<＋<<，所以f(x)在单调递增，所以③正确．故选D.‎ 二、填空题 ‎11.已知sin·cos＝，且0<α<，则sinα＝________，cosα＝________.‎ 答案　　 解析　由诱导公式得sin·cos ‎＝－cosα·(－sinα)，即sinα·cosα＝.‎ 又∵0<α<，sin2α＋cos2α＝1，‎ 得sinα＝，cosα＝.‎ ‎12.(2019·衡水中学一模)已知函数f(x)＝－2cosωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为________．‎ - 14 -‎ 答案　 解析　由题图知，T＝2＝π，‎ ‎∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos2x，‎ ‎∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，‎ 则由图象知，f＝－2cos＝2.‎ ‎∴＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z)．‎ 又0<φ<，所以φ＝.‎ ‎13.(2019·枣庄模拟)已知f(x)＝sinωx－cosωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________．(结果用区间表示)‎ 答案　 解析　f(x)＝sinωx－cosωx＝sin，‎ ‎∵函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则＝≥2π－π，‎ ‎∴ω≤1，∴<ω≤1.‎ 令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z)．‎ ‎∴＋≤π且＋≥2π(k∈Z)，‎ ‎∴ω≥＋k且ω≤＋(k∈Z)，‎ - 14 -‎ ‎∴k＝0.此时，ω≥且ω≤.‎ 综上，≤ω≤.‎ ‎14.(2019·广东省际名校联考)将函数f(x)＝1－2·cos2x－(sinx－cosx)2的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，若x∈，则函数g(x)的单调递增区间是________．‎ 答案　 解析　∵f(x)＝1－2cos2x－(sinx－cosx)2‎ ‎＝sin2x－cos2x－＝2sin－，‎ ‎∴g(x)＝2sin－＝2sin－，‎ 由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴函数g(x)在上的单调递增区间是.‎ - 14 -‎