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- 2021-07-01 发布
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全品教学网2018年高考数学讲练测【新课标版文 】【讲】【来.源:全,品…中&高*考*网】第七章 不等式
第04节 基本不等式及其应用
【考纲解读】
考 点
考纲内容
五年统计
分析预测
基本不等式【来.源:全,品…中&高*考*网】
1.会从实际情境中抽象出二元一次不等式组;2.了解二元一次不等式的几何意义,能用平面区域表示二元一次不等式组;
利用基本不等式求函数的最值
备考重点:
含参数的不等式恒成立问题
【知识清单】
基本不等式
1、 如果,那么(当且仅当时取等号“=”)
推论:()
2、 如果,,则,(当且仅当时取等号“=”).
推论:(,);
3、
对点练习
【2018重庆铜梁县联考】函数y=loga(x+2)﹣1(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny+1=0上,其中m>0,n>0,则1m +2n 的最小值为( )
A. 3+2 B. 3+2 C. 7 D. 11
【答案】A
【考点深度剖析】
基本不等式是不等式中的重要内容,也是历年高考重点考查之一,它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新,但是它在高考中却不外乎大小判断、求取值范围以及最值等几方面的应用.
【重点难点突破】
考点1利用基本不等式证明不等式
【1-1】不已知、、都是正数,求证:
【解析】∵、、都是正数
∴ (当且仅当时,取等号)
(当且仅当时,取等号)
(当且仅当时,取等号)
∴(当且仅当时,取等号)
即.
【1-2】已知a>0,b>0,a+b=1,求证:.
【解析】∵,,,
∴.同理,.∴
=,当且仅当,即时取“=”.
∴,当且仅当时等号成立.
【领悟技法】
利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.
【触类旁通】
【变式一】求证:【来.源:全,品…中&高*考*网】
考点2 利用基本不等式求最值
【2-1】【2017天津,理12】若,,则的最小值为___________.
【答案】
【解析】 ,(前一个等号成立条件是,后一个等号成立的条件是,两个等号可以同时取得,则当且仅当时取等号).
【2-2】【2018河北大名第一中学模拟】已知关于x的不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),则的最大值是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】:不等式x2-4ax+3a2<0(a<0)的解集为(x1,x2),
根据韦达定理,可得: ,x1+x2=4a,
那么: =4a+.
∵a<0,
∴-(4a+)≥2=,即4a+≤-
故的最大值为.
故选:D. 【来.源:全,品…中&高*考*网】
【2-3】【2018安徽安庆模拟】若方程有两个不等的实根和,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【领悟技法】
基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能,因此可以用在一些不等式的证明中,还可以用于求代数式的最值或取值范围.如果条件等式中,同时含有两个变量的和与积的形式,就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化,然后通过解不等式进行求解.
注意:形如y=x+(a>0)的函数求最值时,首先考虑用基本不等式,若等号取不到,再利用该函数的单调性求解.
【触类旁通】
【变式一】【2018广西桂林模拟】已知圆和圆只有一条公切线,若且,则的最小值为( )
A. 2 B. 4 C. 8 D. 9
【答案】D
【变式二】【2018河南师范大学附属中模拟】对于使成立的所有常数中,我们把的最小值叫做的上确界,若正数且,则的上确界为( )
A. B. C. D. -4
【答案】A
【解析】
,当且仅当 时取等号,因此的上确界为,选A.
考点3 基本不等式的实际应用
【3-1】【2017江苏,10】某公司一年购买某种货物600吨,每次购买吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为万元,要使一年的总运费与总存储之和最小,则的值是 ▲ .
【答案】30
【解析】总费用,当且仅当,即时等号成立.
【3-2】如图,有一块等腰直角三角形的空地,要在这块空地上开辟一个内接矩形的绿地,已知,,绿地面积最大值为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【3-3】 ()某小区想利用一矩形空地ABCD建市民健身广场,设计时决定保留空地边上的一水塘(如图中阴影部分),水塘可近似看作一个等腰直角三角形,其中AD=60 m,AB=40 m,且△EFG中,∠EGF=90°,经测量得到AE=10 m,EF=20 m,为保证安全同时考虑美观,健身广场周围准备加设一个保护栏,设计时经过点G作一直线分别交AB,DF于M,N,从而得到五边形MBCDN的市民健身广场,设DN=x(m).
(1)将五边形MBCDN的面积y表示为x的函数;
(2)当x为何值时,市民健身广场的面积最大?并求出最大面积.
【解析】(1)作GH⊥EF,垂足为H.
∵DN=x,∴NH=40-x,NA=60-x,
∵=,∴=,∴AM=.
S五边形MBCDN=S矩形ABCD-S△AMN=40×60-·AM·AN=2 400-.
∵N与F重合时,AM=AF=30适合条件,∴x∈(0,30].
(2)y=2 400-=2 400-5[(40-x)++40],当且仅当40-x=,即x=20∈(0,30]时,y取得最大值2 000, ∴当DN=20 m时,得到的市民健身广场面积最大,最大面积为2 000 m2.答略.
【领悟技法】
用均值不等式解决此类问题时,应按如下步骤进行:【来.源:全,品…中&高*考*网】
(1)理解题意,设变量,设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数;
(2)建立相应的函数关系式,把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题;
(3)在定义域内,求出函数的最大值或最小值;
(4)正确写出答案.
【触类旁通】
【变式】运货卡车以每小时x千米的速度匀速行驶130千米,按交通法规限制50≤x≤100(单位:千米/时).假设汽油的价格是每升2元,而汽车每小时耗油升,司机的工资是每小时14元.
(1)求这次行车总费用y关于x的表达式;
(2)当x为何值时,这次行车的总费用最低,并求出最低费用的值.
【解析】(1)设所用时间为t= (h),
y=×2×+14×,x∈[50,100].
所以,这次行车总费用y关于x的表达式是
y=+x,x∈[50,100].
(或y=+x,x∈[50,100]).【来.源:全,品…中&高*考*网】
y=+x≥26,
当且仅当=x,
即x=18,等号成立.
故当x=18千米/时,这次行车的总费用最低,最低费用的值为26元.
三、学科素养提升之易错试题篇
易错典例:已知两正数x,y满足x+y=1,则z=(x+)(y+)的最小值为________.
[错解] 错解一:因为对a>0,恒有a+≥2,
从而z=(x+)(y+)≥4,
所以z的最小值是4.
错解二:z=
=(+xy)-2≥2-2=2(-1),
所以z的最小值是2(-1).
易错分析:错解的错误原因是等号成立的条件不具备.
正确解析: z=(x+)(y+)=xy+++=xy++=+xy-2,
令t=xy,则0