高中数学必修2同步练习：第三章直线与方程(A) 7页

必修二 第三章　直线与方程(A)‎ 一、选择题 ‎1、过点A与B(7,0)的直线l1与过点(2,1)，(3，k＋1)的直线l2和两坐标轴围成的四边形内接于一个圆，则实数k等于(　　)‎ A．－3 B．‎3 ‎ C．－6 D．6‎ ‎2、如果直线ax＋2y＋2＝0与直线3x－y－2＝0平行，则系数a为(　　)‎ A．－3 B．－‎6 ‎ C．－ D． ‎3、下列叙述中不正确的是(　　)‎ A．若直线的斜率存在，则必有倾斜角与之对应 B．每一条直线都有唯一对应的倾斜角 C．与坐标轴垂直的直线的倾斜角为0°或90°‎ D．若直线的倾斜角为α，则直线的斜率为tan α ‎4、在同一直角坐标系中，表示直线y＝ax与直线y＝x＋a的图象(如图所示)正确的是(　　)‎ ‎5、若三点A(3,1)，B(－2，b)，C(8,11)在同一直线上，则实数b等于(　　)‎ A．2 B．‎3 ‎ C．9 D．－9‎ ‎6、过点(3，－4)且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程是(　　)‎ A．x＋y＋1＝0‎ B．4x－3y＝0‎ C．4x＋3y＝0‎ D．4x＋3y＝0或x＋y＋1＝0‎ ‎7、已知点A(x,5)关于点(1，y)的对称点为(－2，－3)，则点P(x，y)到原点的距离是(　　)‎ A．4 B． C． D． ‎8、设点A(2，－3)，B(－3，－2)，直线过P(1,1)且与线段AB相交，则l的斜率k的取值范围是(　　)‎ A．k≥或k≤－4 B．－4≤k≤ C．－3≤k≤4 D．以上都不对 ‎9、已知直线l1：ax＋4y－2＝0与直线l2：2x－5y＋b＝0互相垂直，垂足为(1，c)，则a＋b＋c的值为(　　)‎ A．－4 B．‎20 ‎ C．0 D．24‎ ‎10、若直线过点(1,2)，(4,2＋)，则此直线的倾斜角是(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．90°‎ ‎11、直线mx＋ny＋3＝0在y轴上截距为－3，而且它的倾斜角是直线x－y＝3倾斜角的2倍，则(　　)‎ A．m＝－，n＝1 B．m＝－，n＝－3‎ C．m＝，n＝－3 D．m＝，n＝1‎ ‎12、如果A(1,3)关于直线l的对称点为B(－5,1)，则直线l的方程是(　　)‎ A．3x＋y＋4＝0 B．x－3y＋8＝0‎ C．x＋3y－4＝0 D．3x－y＋8＝0‎ 二、填空题 ‎13、已知l1：2x＋my＋1＝0与l2：y＝3x－1，若两直线平行，则m的值为________．‎ ‎14、若直线m被两平行线l1：x－y＋1＝0与l2：x－y＋3＝0所截得的线段的长为2，则m的倾斜角可以是________．(写出所有正确答案的序号)‎ ‎①15°；②30°；③45°；④60°；⑤75°．‎ ‎15、已知直线l与直线y＝1，x－y－7＝0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为(1，－1)，那么直线l的斜率为________．‎ ‎16、已知直线l经过点E(1,2)，且与两坐标轴的正半轴围成的三角形的面积是4，则直线l的方程为________．‎ 三、解答题 ‎17、三角形ABC中，D是BC边上任意一点(D与B，C不重合)，且|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|．求证：△ABC为等腰三角形．‎ ‎18、平行四边形的两邻边所在直线的方程为x＋y＋1＝0及3x－4＝0，其对角线的交点是D(3,3)，求另两边所在的直线的方程．‎ ‎19、已知直线l经过直线2x＋y－5＝0与x－2y＝0的交点．若点A(5,0)到l的距离为3，求直线l的方程．‎ ‎20、已知△ABC的两条高线所在直线方程为2x－3y＋1＝0和x＋y＝0，顶点A(1,2)．‎ 求(1)BC边所在的直线方程；‎ ‎(2)△ABC的面积．‎ ‎21、如图，已知△ABC中A(－8,2)，AB边上中线CE所在直线的方程为x＋2y－5＝0，AC边上的中线BD所在直线的方程为2x－5y＋8＝0，求直线BC的方程．‎ ‎22、某房地产公司要在荒地ABCDE(如图)上划出一块长方形地面(不改变方位)建一幢公寓，问如何设计才能使公寓占地面积最大？并求出最大面积(精确到‎1 m2‎)．‎ 以下是答案 一、选择题 ‎1、B　[由题意知l1⊥l2，‎ ‎∴kl1·kl2＝－1．‎ 即－k＝－1，k＝3．]‎ ‎2、B　[当两直线平行时有关系＝≠，可求得a＝－6．]‎ ‎3、D　[α＝90°时，斜率不存在．∴选D．]‎ ‎4、C ‎5、D　[由kAB＝kAC得b＝－9．]‎ ‎6、D　[当截距均为0时，设方程为y＝kx，将点(3，－4)‎ 代入得k＝－；当截距不为0时，设方程为＋＝1，‎ 将(3，－4)代入得a＝－1．]‎ ‎7、D ‎8、A　[‎ 如图：kPB＝，‎ kPA＝－4，结合图形可知 k≥或k≤－4．]‎ ‎9、A　[垂足(1，c)是两直线的交点，且l1⊥l2，故－·＝－1，∴a＝10．l：10x＋4y－2＝0．将(1，c)代入，得c＝－2；将(1，－2)代入l2：得b＝－12．则a＋b＋c＝10＋(－12)＋(－2)＝－4．]‎ ‎10、A　[利用斜率公式k＝＝＝tan θ，可求倾斜角为30°．]‎ ‎11、D　[依题意－＝－3，－＝tan 120°＝－，‎ ‎∴m＝，n＝1．故选D．]‎ ‎12、A 二、填空题 ‎13、－ ‎14、①⑤‎ 解析　两直线x－y＋1＝0与x－y＋3＝0之间的距离为＝．又动直线被l1与l2所截的线段长为2，故动直线与两直线的夹角应为30°，因此只有①⑤适合．‎ ‎15、－ 解析　设P(x,1)则Q(2－x，－3)，将Q坐标代入x－y－7＝0得，2－x＋3－7＝0．‎ ‎∴x＝－2，∴P(－2,1)，∴kl＝－．‎ ‎16、4x＋2y－8＝0‎ 解析　设直线l的方程为＋＝1．‎ 由题意，得＋＝1， ①‎ ab＝4． ②‎ 联立①，②，得a＝2，b＝4．‎ ‎∴l的方程为＋＝1，即4x＋2y－8＝0．‎ 三、解答题 ‎17、证明　‎ 作AO⊥BC，垂足为O，以BC边所在的直线为x轴，以OA所在的直线为y轴，建立直角坐标系，如右图所示．设A(0，a)，B(b,0)，C(c,0)，D(d,0)，因为|AB|2＝|AD|2＋|BD|·|DC|，所以，由两点间距离公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋(d－b)·(c－d)，即－(d－b)(b＋d)＝(d－b)(c－d)，又d－b≠0，故－b－d＝c－d，即c＝－b，所以△ABC为等腰三角形．‎ ‎18、解　由题意得解得 即平行四边形给定两邻边的顶点为为．‎ 又对角线交点为D(3,3)，则此对角线上另一顶点为．‎ ‎∵另两边所在直线分别与直线x＋y＋1＝0及3x－y＋4＝0平行，∴它们的斜率分别为 ‎－1及3，‎ 即它们的方程为y－＝－ 及y－＝3，‎ ‎∴另外两边所在直线方程分别为x＋y－13＝0和3x－y－16＝0．‎ ‎19、解　方法一　联立得交点P(2,1)，‎ 当直线斜率存在时，设l的方程为y－1＝k(x－2)，‎ 即kx－y＋1－2k＝0，‎ ‎∴＝3，解得k＝，‎ ‎∴l的方程为y－1＝(x－2)，即4x－3y－5＝0．‎ 当直线斜率不存在时，直线x＝2也符合题意．‎ ‎∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．‎ 方法二　经过两已知直线交点的直线系方程为(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，‎ 即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0，‎ ‎∴＝3，‎ 即2λ2－5λ＋2＝0，解得λ＝2或，‎ ‎∴直线l的方程为4x－3y－5＝0或x＝2．‎ ‎20、解　(1)∵A点不在两条高线上，由两条直线垂直的条件可设kAB＝－，kAC＝1．‎ ‎∴AB、AC边所在的直线方程为3x＋2y－7＝0，x－y＋1＝0．‎ 由得B(7，－7)．‎ 由得C(－2，－1)．‎ ‎∴BC边所在的直线方程2x＋3y＋7＝0．‎ ‎(2)∵|BC|＝，A点到BC边的距离d＝，‎ ‎∴S△ABC＝×d×|BC|＝××＝．‎ ‎21、解　设B(x0，y0)，则AB中点E的坐标为，‎ 由条件可得：，‎ 得，解得，即B(6,4)，同理可求得C点的坐标为(5,0)．故所求直线BC的方程为＝，即4x－y－20＝0．‎ ‎22、解　在线段AB上任取一点P，分别向CD、DE作垂线划出一块长方形土地，以BC，EA的交点为原点，以BC，EA所在的直线为x，y轴，建立直角坐标系，则AB的方程为＋＝1，设P，则长方形的面积S＝(100－x)(0≤x≤30)．化简得S＝－x2＋x＋6 000(0≤x≤30)．‎ 当x＝5，y＝时，S最大，其最大值为6 ‎017 m2‎．‎