2017-2018学年江苏省泰州中学高二（上）期初数学试卷（解析版） 21页

‎2017-2018学年江苏省泰州中学高二（上）期初数学试卷 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分．将答案填在答题纸上．）‎ ‎1．（5分）函数的定义域为　 　．‎ ‎2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，，那么集合A∩（∁UB）=　 　．‎ ‎3．（5分）用“＜”将0.2﹣0.2、2.3﹣2.3、log0.22.3从小到大排列是　 　．‎ ‎4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是　 　．‎ ‎5．（5分）已知sinα=，α∈（﹣，），则cos（απ）=　 　．‎ ‎6．（5分）设与是两个不共线向量，且向量+λ与2﹣共线，则λ=　 　．‎ ‎7．（5分）若m、n、l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β ‎②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n ‎③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线 ‎④若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β ‎⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m⊥l，n⊥l 其中正确命题的序号是　 　．‎ ‎8．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于　 　．‎ ‎9．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+‎ ‎2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为　 　．‎ ‎10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为　 　．‎ ‎11．（5分）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为　 　．‎ ‎12．（5分）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是　 　．‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…|f（xn﹣1）﹣f（xn）|=12，（m≥2，m∈N*），则m的最小值为　 　．‎ ‎14．（5分）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=　 　．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（15分）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．‎ ‎（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；‎ ‎（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．‎ ‎16．（15分）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．‎ ‎（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；‎ ‎（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．‎ ‎17．（15分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4﹣（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）．‎ ‎（1）求常数k，并将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；‎ ‎（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？‎ ‎18．（15分）在平面直角坐标系中，圆O：x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆A：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）与圆O交于B，C两点．‎ ‎（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当线段DE长最小时，求直线l的方程；‎ ‎（2）设P是圆O上异于B，C的任意一点，直线PB、PC分别与x轴交于点M和N，问OM•ON是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎19．（15分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．‎ ‎（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．‎ ‎（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．‎ ‎20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣2；数列{bn}的前n项和为Tn，且满足b1=1，b2=2，．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{bn}中的一项？若存在，求所有满足要求的bn；若不存在，说明理由．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年江苏省泰州中学高二（上）期初数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、填空题：（本大题共14个小题，每小题5分，共70分．将答案填在答题纸上．）‎ ‎1．（5分）函数的定义域为　（﹣2，）∪（，+∞）　．‎ ‎【分析】由0指数幂的底数不为0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．‎ ‎【解答】解：由，解得x＞﹣2且x．‎ ‎∴函数的定义域为（﹣2，）∪（，+∞）．‎ 故答案为：（﹣2，）∪（，+∞）．‎ ‎【点评】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）已知全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}，，那么集合A∩（∁UB）=　{x|0≤x≤3}　．‎ ‎【分析】解不等式求出集合A、B，根据补集与交集的定义写出运算结果．‎ ‎【解答】解：全集U=R，集合A={x|x2﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3}，‎ ‎={x|x＜0或x＞4}，‎ ‎∴∁UB={x|0≤x≤4}，‎ ‎∴A∩（∁UB）={x|0≤x≤3}．‎ 故答案为：{x|0≤x≤3}．‎ ‎【点评】本题考查了集合的化简与运算问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）用“＜”将0.2﹣0.2、2.3﹣2.3、log0.22.3从小到大排列是　log0.22.3＜2.3﹣2.3‎ ‎＜0.2﹣0.2　．‎ ‎【分析】先根据指数函数与对数函数的图象与性质得到前两个数大于0，第三个数小于0，然后比较两个大于0之间的大小，根据指数函数底数大于1为增函数，底数小于1为减函数，由自变量与0的大小，分别根据函数的增减性即可作出判断，进而得到从小到大的顺序．‎ ‎【解答】解：由指数函数图象与性质得：0.2﹣0.2＞0，2.3﹣2.3＞0，‎ 由对数函数的图象与性质得：log0.22.3＜0，‎ ‎∵y=0.2x为减函数，由﹣0.2＜0，0.2﹣0.2＞0.20=1，‎ 又y=2.3x为增函数，由﹣2.3＜0，2.3﹣2.3＜2.30=1，‎ ‎∴2.3﹣2.3＜0.2﹣0.2，‎ 则从小到大排列为：log0.22.3＜2.3﹣2.3＜0.2﹣0.2．‎ 故答案为：log0.22.3＜2.3﹣2.3＜0.2﹣0.2‎ ‎【点评】此题考查了对数值大小的比较以及分数指数幂的运算，要求学生掌握指数函数及对数函数的图象与性质．比较前两数大小时找出一个中间量“1”是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x﹣y的取值范围是　[﹣，6]　．‎ ‎【分析】作出不等式组表示的平面区域；作出目标函数对应的直线；结合图象根据截距的大小进行判断，从而得出目标函数z=3x﹣y的取值范围．‎ ‎【解答】解：∵变量x，y满足约束条件，‎ 目标函数为：z=3x﹣y，‎ 直线4x﹣y+1=0与x+2y﹣2=0交于点A（0，1），‎ 直线2x+y﹣4=0与x+2y﹣2=0交于点B（2，0），‎ 直线4x﹣y+1=0与2x+y﹣4=0交于点C（，3），‎ 分析可知z在点C处取得最小值，zmin=3×﹣1=﹣，‎ z在点B处取得最大值，zmax=3×2﹣0=6，‎ ‎∴﹣≤z≤6，‎ 故答案为[﹣，6]；‎ ‎【点评】本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值，此题是一道中档题，有一定的难度，画图是关键；‎ ‎　‎ ‎5．（5分）已知sinα=，α∈（﹣，），则cos（απ）=　﹣　．‎ ‎【分析】由α的范围，得到cosα大于0，由sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出sinα的值，利用诱导公式化简所求式子中，再利用两角和与差的余弦函数公式及特殊角的三角函数值化简后，把各自的值代入即可求出值．‎ ‎【解答】解：∵sinα=，α∈（﹣，），‎ ‎∴cosα==，‎ 则cos（α+π）=cos[π+（α+）]=﹣cos（α+）=﹣cosαcos+sinαsin=﹣×+×=﹣．‎ 故答案为：﹣‎ ‎【点评】此题考查了两角和与差的余弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）设与是两个不共线向量，且向量+λ与2﹣共线，则λ=　﹣　．‎ ‎【分析】根据平面向量共线的定义，列出方程，求出λ的值．‎ ‎【解答】解：∵向量+λ与2﹣共线，‎ ‎∴+λ=μ（2﹣），μ∈R；‎ ‎∴+λ=2μ﹣μ，‎ ‎∴，‎ 解得λ=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量共线的应用问题，是基础题目．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）若m、n、l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给出下列命题：‎ ‎①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β ‎②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n ‎③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线 ‎④若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β ‎⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m⊥l，n⊥l 其中正确命题的序号是　②④⑤　．‎ ‎【分析】①中n与α和β可以有相交或包含的关系，叙述的不正确，②是教材上两个平面平行的性质定理，③中m可能垂直于α内的无数条直线，④符合线与面平行的判定，⑤符合三个平面两两相交时，交线平行或交于一点．‎ ‎【解答】解：若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n与α和β可以有相交或包含的关系，故①不正确，‎ 若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n，这是两个平面平行的性质定理，故②正确，‎ 若m不垂直于α，则m可能垂直于α内的无数条直线，③不正确，‎ 若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β，④正确 若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，‎ 则m⊥n，m⊥l，n⊥l，符合三个平面两两相交时，交线平行或交于一点，故⑤正确，‎ 总上可知②④⑤正确，‎ 故答案为：②④⑤‎ ‎【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，本题所给的线与面比较多，关系比较复杂，需要逐个检验是否正确，题目中包含的教材中的性质定理可以直接得到结论．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知等比数列{an}中，各项都是正数，且成等差数列，则等于　　．‎ ‎【分析】根据所给的三项成等差数列，写出关系式，得到公比的值，把要求的代数式整理成只含有首项和公比的形式，约分化简得到结果．‎ ‎【解答】解：成等差数列，‎ ‎∴a3=a1+2a2，‎ ‎∴q2﹣2q﹣1=0，‎ ‎∴q=1+，q=1﹣（舍去）‎ ‎∴===q2=3+2‎ 故答案为：3+2‎ ‎【点评】本题考查数列的基本量的运算，本题解题的关键是根据条件得到首项和公比之间的关系，为后面在约分整理提供依据．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）已知直线x﹣y+a=0与圆心为C的圆x2+y2+2x﹣4y﹣4=0相交于A、B两点，且AC⊥BC，则实数a的值为　0或6　．‎ ‎【分析】根据圆的标准方程，求出圆心和半径，根据点到直线的距离公式即可得到结论．‎ ‎【解答】解：圆的标准方程为（x+1）2+（y﹣2）2=9，圆心C（﹣1，2），半径r=3，‎ ‎∵AC⊥BC，‎ ‎∴圆心C到直线AB的距离d=，‎ 即d==，‎ 即|a﹣3|=3，‎ 解得a=0或a=6，‎ 故答案为：0或6．‎ ‎【点评】本题主要考查点到直线的距离公式的应用，利用条件求出圆心和半径，结合距离公式是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，3b=20acos A，则sin A：sin B：sin C为　6：5：4　．‎ ‎【分析】设三边长分别为 a、a﹣1、a﹣2．由余弦定理可得 cosA=．再由3b=20acos A，可得cosA=，‎ 故有 =，解得a的值，可得三边长．再由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC的值．‎ ‎【解答】解：由于a，b，c 三边的长为连续的三个正整数，且A＞B＞C，可设三边长分别为 a、a﹣1、a﹣2．‎ 由余弦定理可得 cosA===．‎ 再由3b=20acos A，可得cosA==，故有 =，‎ 解得 a=6，故三边分别为6，5，4．‎ 由正弦定理可得 sinA：sinB：sinC=a：b：c=a：（a﹣1）：（ a﹣2）=6：5：4，‎ 故答案为 6：5：4．‎ ‎【点评】本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，求出a=6是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）设a，b∈R，c∈[0，2π），若对于任意实数x都有2sin（3x﹣‎ ‎）=asin（bx+c），则满足条件的有序实数组（a，b，c）的组数为　4　．‎ ‎【分析】根据三角函数恒成立，则对应的图象完全相同．‎ ‎【解答】解：∵对于任意实数x都有2sin（3x﹣）=asin（bx+c），‎ ‎∴必有|a|=2，‎ 若a=2，则方程等价为sin（3x﹣）=sin（bx+c），‎ 则函数的周期相同，若b=3，此时C=，‎ 若b=﹣3，则C=，‎ 若a=﹣2，则方程等价为sin（3x﹣）=﹣sin（bx+c）=sin（﹣bx﹣c），‎ 若b=﹣3，则C=，若b=3，则C=，‎ 综上满足条件的有序实数组（a，b，c）为（2，3，），（2，﹣3，），（﹣2，﹣3，），（﹣2，3，），‎ 共有4组，‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题主要考查三角函数的图象和性质，结合三角函数恒成立，利用三角函数的性质，结合三角函数的诱导公式进行转化是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是　　．‎ ‎【分析】设t=2x+y，将已知等式用t表示，整理成关于x的二次方程，二次方程有解，判别式大于等于0，求出t的范围，求出2x+y的最大值．‎ ‎【解答】解：∵4x2+y2+xy=1‎ ‎∴（2x+y）2﹣3xy=1‎ 令t=2x+y则y=t﹣2x ‎∴t2﹣3（t﹣2x）x=1‎ 即6x2﹣3tx+t2﹣1=0‎ ‎∴△=9t2﹣24（t2﹣1）=﹣15t2+24≥0‎ 解得 ‎∴2x+y的最大值是 ‎ 故答案为 ‎【点评】本题考查利用换元转化为二次方程有解、二次方程解的个数由判别式决定．‎ ‎　‎ ‎13．（5分）已知函数f（x）=sinx，若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…|f（xn﹣1）﹣f（xn）|=12，（m≥2，m∈N*），则m的最小值为　8　．‎ ‎【分析】由正弦函数的有界性可得，对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，然后作图可得满足条件的最小m值．‎ ‎【解答】解：∵y=sinx对任意xi，xj（i，j=1，2，3，…，m），‎ 都有|f（xi）﹣f（xj）|≤f（x）max﹣f（x）min=2，‎ 要使m取得最小值，尽可能多让xi（i=1，2，3，…，m）取得最高点，‎ 考虑0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，|f（x1）﹣f（x2）|+|f（x2）﹣f（x3）|+…+|f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12，‎ 按下图取值即可满足条件，‎ ‎∴m的最小值为8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查正弦函数的图象和性质，考查正弦函数的有界性的应用，考查分析问题和解决问题的能力，考查数学转化思想方法，属于难题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）在锐角三角形 A BC中，tanA=，D为边 BC上的点，△A BD与△ACD的面积分别为2和4．过D作D E⊥A B于 E，DF⊥AC于F，则•=　﹣　．‎ ‎【分析】由题意画出图形，结合面积求出cosA=，，然后代入数量积公式得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ ‎∵△ABD与△ACD的面积分别为2和4，∴，，‎ 可得，，∴．‎ 又tanA=，∴，联立sin2A+cos2A=1，得，cosA=．‎ 由，得．‎ 则．‎ ‎∴•==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题．‎ ‎　‎ 二、解答题（本大题共6小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（15分）已知直线l：x﹣2y+2m﹣2=0．‎ ‎（1）求过点（2，3）且与直线l垂直的直线的方程；‎ ‎（2）若直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，求实数m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）由直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，可得所求直线的斜率为﹣2，代入点斜式方程，可得答案；‎ ‎（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|，根据直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积大于4，构造不等式，解得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵直线l：x﹣2y+2m﹣2=0的斜率为，‎ ‎∴与直线l垂直的直线的斜率为﹣2，…（2分）‎ 因为点（2，3）在该直线上，‎ 所以所求直线方程为y﹣3=﹣2（x﹣2），‎ 故所求的直线方程为2x+y﹣7=0． …（6分）‎ ‎（2）直线l与两坐标轴的交点分别为（﹣2m+2，0），（0，m﹣1），…（8分）‎ 则所围成的三角形的面积为×|﹣2m+2|×|m﹣1|．…（10分）‎ 由题意可知×|﹣2m+2|×|m﹣1|＞4，化简得（m﹣1）2＞4，…（12分）‎ 解得m＞3或m＜﹣1，‎ 所以实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞）． …（14分）‎ ‎【点评】本题考查的知识点是直线的点斜式方程，直线与直线的交点，解不等式，是直线与不等式的综合应用，难度中档．‎ ‎　‎ ‎16．（15分）一副直角三角板（如图1）拼接，将△BCD折起，得到三棱锥A﹣BCD（如图2）．‎ ‎（1）若E，F分别为AB，BC的中点，求证：EF∥平面ACD；‎ ‎（2）若平面ABC⊥平面BCD，求证：平面ABD⊥平面ACD．‎ ‎【分析】（1）利用三角形中位线的性质，可得EF∥AC，即可证明EF∥平面ACD；‎ ‎（2）若平面ABC⊥平面BCD，可得CD⊥平面ABC，CD⊥AB，因为AB⊥AC，所以AB⊥平面ACD，即可证明：平面ABD⊥平面ACD．‎ ‎【解答】证明：（1）因为E，F分别为AB，BC的中点，所以EF∥AC． …（2分）‎ 又EF⊄平面ACD，AC⊂平面ACD，所以EF∥平面ACD． …（6分）‎ ‎（2）因为平面ABC⊥平面BCD，平面ABC∩平面BCD=BC，‎ CD⊂平面BCD，CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC． …（8分）‎ 因为AB⊂平面ABC，所以CD⊥AB． …（10分）‎ 又因为AB⊥AC，AC∩CD=C，AC⊂平面ACD，CD⊂平面ACD，‎ 所以AB⊥平面ACD． …（12分）‎ 又AB⊂平面ABD，所以平面ABD⊥平面ACD． …（14分）‎ ‎【点评】本题考查线面平行的判定，考查平面与平面垂直的判定与性质，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎17．（15分）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2016年举行某一产品的促销活动，经调查测算，该产品的年销量（即该厂的年产量）x万件与年促销费用t（t≥0）万元满足x=4﹣（k为常数）．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均生产投入成本的1.5倍（生产投入成本包括生产固定投入和生产再投入两部分）．‎ ‎（1）求常数k，并将该厂家2016年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；‎ ‎（2）该厂家2016年的年促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？‎ ‎【分析】（1）利用不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，可求k的值；确定每件产品的销售价格，结合厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍，即可求得函数解析式；‎ ‎（2）利用基本不等式，即可求得最值．‎ ‎【解答】解：（1）由题意，不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件，知t=0时，x=1（万件），‎ ‎∴1=4﹣k，得k=3，‎ 从而x=4﹣，又每件产品的销售价格为1.5×元，‎ ‎∴2016年的利润为y=1.5××x﹣（6+12x+t）=3+6x﹣t=27﹣﹣t（t≥0）；‎ ‎（2）设2t+1=m（m≥1），由（1）得，y=﹣（+），‎ ‎∵m≥01时，+≥2=6，‎ ‎∴y≤，‎ 当且仅当=，即m=6，t=2.5（万元）时取等号，此时，ymax=（万元）．‎ 答：该厂家2016年的促销费用投入2.5万元时，厂家的利润最大，最大值为万元．‎ ‎【点评】本题考查根据实际问题选择函数类型，考查基本不等式的运用，解题的关键是确定函数解析式．‎ ‎　‎ ‎18．（15分）在平面直角坐标系中，圆O：x2+y2=4与x轴的正半轴交于点A，以A为圆心的圆A：（x﹣2）2+y2=r2（r＞0）与圆O交于B，C两点．‎ ‎（1）若直线l与圆O切于第一象限，且与坐标轴交于D，E，当线段DE长最小时，求直线l的方程；‎ ‎（2）设P是圆O上异于B，C的任意一点，直线PB、PC分别与x轴交于点M和N，问OM•ON是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）由截距式设直线l的方程为+=1（a＞0，b＞0），从而可得，再由基本不等式可得，从而解得．‎ ‎（2）设B（x0，y0），P（x1，y1）（y1≠±y0），则C（x0，﹣y0），，，写出直线PB与直线PC的方程，从而得到M，N的坐标，从而求OM•ON即可．‎ ‎【解答】解：（1）设直线l的方程为+=1（a＞0，b＞0），‎ 即bx+ay﹣ab=0，‎ 由直线l与圆O相切得，‎ 即，‎ ‎，‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ 此时直线l的方程为．‎ ‎（2）设B（x0，y0），P（x1，y1）（y1≠±y0），‎ 则C（x0，﹣y0），，，‎ 直线PB的方程为：，‎ 直线PC的方程为：，‎ 分别令y=0，得，‎ 所以OM•ON=为定值．‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用及化简运算的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（15分）已知a∈R，函数f（x）=log2（+a）．‎ ‎（1）当a=5时，解不等式f（x）＞0；‎ ‎（2）若关于x的方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，求a的取值范围．‎ ‎（3）设a＞0，若对任意t∈[，1]，函数f（x）在区间[t，t+1]上的最大值与最小值的差不超过1，求a的取值范围．‎ ‎【分析】（1）当a=5时，解导数不等式即可．‎ ‎（2）根据对数的运算法则进行化简，转化为一元二次方程，讨论a的取值范围进行求解即可．‎ ‎（3）根据条件得到f（t）﹣f（t+1）≤1，恒成立，利用换元法进行转化，结合对勾函数的单调性进行求解即可．‎ ‎【解答】解：（1）当a=5时，f（x）=log2（+5），‎ 由f（x）＞0；得log2（+5）＞0，‎ 即+5＞1，则＞﹣4，则+4=＞0，即x＞0或x＜﹣，‎ 即不等式的解集为{x|x＞0或x＜﹣}．‎ ‎（2）由f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0得log2（+a）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0．‎ 即log2（+a）=log2[（a﹣4）x+2a﹣5]，‎ 即+a=（a﹣4）x+2a﹣5＞0，①‎ 则（a﹣4）x2+（a﹣5）x﹣1=0，‎ 即（x+1）[（a﹣4）x﹣1]=0，②，‎ 当a=4时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a=3时，方程②的解为x=﹣1，代入①，成立 当a≠4且a≠3时，方程②的解为x=﹣1或x=，‎ 若x=﹣1是方程①的解，则+a=a﹣1＞0，即a＞1，‎ 若x=是方程①的解，则+a=2a﹣4＞0，即a＞2，‎ 则要使方程①有且仅有一个解，则1＜a≤2．‎ 综上，若方程f（x）﹣log2[（a﹣4）x+2a﹣5]=0的解集中恰好有一个元素，则a的取值范围是1＜a≤2，或a=3或a=4．‎ ‎（3）函数f（x）在区间[t，t+1]上单调递减，‎ 由题意得f（t）﹣f（t+1）≤1，‎ 即log2（+a）﹣log2（+a）≤1，‎ 即+a≤2（+a），即a≥﹣=‎ 设1﹣t=r，则0≤r≤，‎ ‎==，‎ 当r=0时，=0，‎ 当0＜r≤时，=，‎ ‎∵y=r+在（0，）上递减，‎ ‎∴r+≥=，‎ ‎∴==，‎ ‎∴实数a的取值范围是a≥．‎ ‎【点评】本题主要考查函数最值的求解，以及对数不等式的应用，利用换元法结合对勾函数的单调性是解决本题的关键．综合性较强，难度较大．‎ ‎　‎ ‎20．（15分）已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn=2an﹣2；数列{bn}的前n项和为Tn，且满足b1=1，b2=2，．‎ ‎（1）求数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）是否存在正整数n，使得恰为数列{bn}中的一项？若存在，求所有满足要求的bn；若不存在，说明理由．‎ ‎【分析】（1）由当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，an=Sn﹣Sn﹣1，即可求得an=2an﹣1，则数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列；由．采用“累乘法”即可求得当n≥2时，bn+1﹣bn﹣1=2，数列{bn}的奇数项，偶数项分别成立等差数列，b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，数列{bn}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，即可求得数列{an}、{bn}的通项公式；‎ ‎（2）设cn==，作差比较大小，cn＞cn+1＞1，根据数列的单调性，即可求得存在n=2，使得b7=c2，b3=c3．‎ ‎【解答】解：（1）由Sn=2an﹣2，则当n≥2时，Sn﹣1=2an﹣1﹣2，‎ 两式相减得：an=2an﹣2an﹣1，则an=2an﹣1，‎ 由S1=2a1﹣2，则a1=2，‎ ‎∴数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，则an=2n，‎ 由．‎ 则=，=，=，…，=．=‎ 以上各式相乘，=，则2Tn=bnbn+1，‎ 当n≥2时，2Tn﹣1=bn﹣1bn，两式相减得：2bn=bn（bn+1﹣bn﹣1），即bn+1﹣bn﹣1=2，‎ ‎∴数列{bn}的奇数项，偶数项分别成等差数列，‎ 由=，则b3=T2=b1+b2=3，b1+b3=2b2，‎ ‎∴数列{bn}是以b1=1为首项，1为公差的等差数列，‎ ‎∴数列{bn}的通项公式bn=n；‎ ‎（2）当n=1时，无意义，‎ 设cn==，（n≥2，n∈N*），‎ 则cn+1﹣cn=﹣=＜0，‎ 即cn＞cn+1＞1，‎ 显然2n+n+1＞2n﹣（n+1），则c2=7＞c3=3＞c4＞…＞1，‎ ‎∴存在n=2，使得b7=c2，b3=c3，‎ 下面证明不存在c2=2，否则，cn==2，即2n=3（n+1），‎ 此时右边为3的倍数，而2n不可能是3的倍数，故该不等式成立，‎ 综上，满足要求的bn为b3，b7．‎ ‎【点评】本题考查数列的综合应用，考查等比数列及等差数列的通项公式及证明，考查数列单调性的判断，考查转化思想，属于难题．‎ ‎　‎