2019年高考数学高分突破复习课件考前冲刺二 47页

结论 1 　奇函数的最值性质 已知函数 f ( x ) 是定义在区间 D 上的奇函数，则对任意的 x ∈ D ，都有 f ( x ) ＋ f ( － x ) ＝ 0. 特别地，若奇函数 f ( x ) 在 D 上有最值，则 f ( x ) max ＋ f ( x ) min ＝ 0 ，且若 0 ∈ D ，则 f (0) ＝ 0. ∴ g ( x ) 为奇函数， 由奇函数图象的对称性知 g ( x ) max ＋ g ( x ) min ＝ 0 ， ∴ M ＋ m ＝ [ g ( x ) ＋ 1] max ＋ [ g ( x ) ＋ 1] min ＝ 2 ＋ g ( x ) max ＋ g ( x ) min ＝ 2. 答案 　 2 解析　 显然函数 f ( x ) 的定义域为 R ， 【训练 1 】 对于函数 f ( x ) ＝ a sin x ＋ bx ＋ c ( 其中 a ， b ∈ R ， c ∈ Z ) ，选取 a ， b ， c 的一组值计算 f (1) 和 f ( － 1) ，所得出的正确结果一定不可能是 ( 　　 ) A . 4 和 6 B . 3 和 1 C . 2 和 4 D . 1 和 2 解析 　 令 g ( x ) ＝ f ( x ) － c ＝ a sin x ＋ bx ，则 g ( x ) 是奇函数 . 又 g ( － 1) ＋ g (1) ＝ f ( － 1) － c ＋ f (1) － c ＝ f ( － 1) ＋ f (1) － 2 c ，而 g ( － 1) ＋ g (1) ＝ 0 ， c 为整数， ∴ f ( － 1) ＋ f (1) ＝ 2 c 为偶数 . 选项 D 中， 1 ＋ 2 ＝ 3 是奇数，不可能成立 . 答案 　 D 结论 2 　抽象函数的周期性与对称性 1 . 函数的周期性 2 . 函数的对称性 【例 2 】 (1) 已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数，当 x ≥ 0 时，有 f ( x ＋ 3) ＝－ f ( x ) ，且当 x ∈ (0 ， 3) 时， f ( x ) ＝ x ＋ 1 ，则 f ( － 2 017) ＋ f (2 018) ＝ ( 　　 ) A . 3 B . 2 C . 1 D . 0 ( 2)( 2018· 日照调研 ) 函数 y ＝ f ( x ) 对任意 x ∈ R 都有 f ( x ＋ 2) ＝ f ( － x ) 成立，且函数 y ＝ f ( x － 1) 的图象关于点 (1 ， 0) 对称， f (1) ＝ 4 ，则 f (2 016) ＋ f (2 017) ＋ f (2 018) 的值为 ________ . 解析　 (1) 因为函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数， 所以 f ( － 2 017) ＝－ f (2 017) ， 因为当 x ≥ 0 时，有 f ( x ＋ 3) ＝－ f ( x ) ， 所以 f ( x ＋ 6) ＝－ f ( x ＋ 3) ＝ f ( x ) ， 即 当 x ≥ 0 时，自变量的值每增加 6 ，对应函数值重复出现一次 . 又当 x ∈ (0 ， 3) 时， f ( x ) ＝ x ＋ 1 ， ∴ f (2 017) ＝ f (336 × 6 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ 2 ， f (2 018) ＝ f (336 × 6 ＋ 2) ＝ f (2) ＝ 3. 故 f ( － 2 017) ＋ f (2 018) ＝－ f (2 017) ＋ 3 ＝ 1. (2) 因为函数 y ＝ f ( x － 1) 的图象关于点 (1 ， 0) 对称， 所以 f ( x ) 是 R 上的奇函数， f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x ) ，所以 f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ＋ 2) ＝ f ( x ) ，故 f ( x ) 的周期为 4. 所以 f (2 017) ＝ f (504 × 4 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ 4 ， 所以 f (2 016) ＋ f (2 018) ＝－ f (2 014) ＋ f (2 014 ＋ 4 ) ＝－ f (2 014) ＋ f (2 014) ＝ 0 ， 所以 f (2 016) ＋ f (2 017) ＋ f (2 018) ＝ 4. 答案 　 (1)C 　 (2)4 【训练 2 】 奇函数 f ( x ) 的定义域为 R . 若 f ( x ＋ 2) 为偶函数，且 f (1) ＝ 1 ，则 f (8) ＋ f (9) ＝ ( 　　 ) A . － 2 B . － 1 C . 0 D . 1 解析　 由 f ( x ＋ 2) 是偶函数可得 f ( － x ＋ 2) ＝ f ( x ＋ 2) ， 又由 f ( x ) 是奇函数得 f ( － x ＋ 2) ＝－ f ( x － 2) ， 所以 f ( x ＋ 2) ＝－ f ( x － 2) ， f ( x ＋ 4) ＝－ f ( x ) ， f ( x ＋ 8) ＝ f ( x ) ， 故 f ( x ) 是以 8 为周期的周期函数 ， 所以 f (9) ＝ f (8 ＋ 1) ＝ f (1) ＝ 1 . 又 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数，所以 f (0) ＝ 0 ， 所以 f (8) ＝ f (0) ＝ 0 ，故 f (8) ＋ f (9) ＝ 1. 答案 　 D 结论 3 　两个经典不等式 (1) 对数形式： x ≥ 1 ＋ ln x ( x >0) ，当且仅当 x ＝ 1 时，等号成立 . (2) 指数形式： e x ≥ x ＋ 1( x ∈ R ) ，当且仅当 x ＝ 0 时，等号成立 . 进一步可得到一组不等式链： e x > x ＋ 1> x >1 ＋ ln x ( x >0 ，且 x ≠ 1) . 【例 3 】 ( 2017· 全国 Ⅲ 卷改编 ) 已知函数 f ( x ) ＝ x － 1 － a ln x . (1) 解 　 f ( x ) 的定义域为 (0 ，＋ ∞ ) ， 当 x ∈ (0 ， a ) 时， f ′( x )<0 ；当 x ∈ ( a ，＋ ∞ ) 时， f ′( x )>0 ； 所以 f ( x ) 在 (0 ， a ) 单调递减，在 ( a ，＋ ∞ ) 单调递增， 故 x ＝ a 是 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 的唯一最小值点 . 因为 f (1) ＝ 0 ，所以当且仅当 a ＝ 1 时， f ( x ) ≥ 0 ，故 a ＝ 1. 求得 { x | x > － 1 ，且 x ≠ 0} ，所以排除选项 C ， D. 当 x >0 时，由经典不等式 x >1 ＋ ln x ( x >0) ， 以 x ＋ 1 代替 x ，得 x >ln( x ＋ 1)( x > － 1 ，且 x ≠ 0) ， 所以 ln( x ＋ 1) － x <0( x > － 1 ，且 x ≠ 0) ，易知 B 正确 . 答案 　 B 则 g ′( x ) ＝ e x － x － 1 ， 由经典不等式 e x ≥ x ＋ 1 恒成立可知， g ′( x ) ≥ 0 恒成立，所以 g ( x ) 在 R 上为单调递增函数，且 g (0) ＝ 0. 所以函数 g ( x ) 有唯一零点，即两曲线有唯一公共点 . 解得 x ＝ 0 或 x ＝－ 1( x ＝ 0 舍去 ) ， ∴ x ＝－ 1. 答案 　 A 解析　 如图，连接 MN 并延长交 AB 的延长线于 T . ∴ 点 P 的轨迹一定经过 △ ABC 的重心 . 答案 　 C ∴ P 的轨迹一定要通过 △ ABC 的内心 . 答案 　 (1)D 　 (2)B 显然可得 a m ≠ 0 ，所以 a m ＝ 2 . 代入 上式可得 2 m － 1 ＝ 19 ，解得 m ＝ 10 . (2) 设等差数列的前 12 项中奇数项和为 S 奇 ，偶数项的和为 S 偶 ，等差数列的公差为 d . 答案 　 (1)10 　 (2)5 【训练 6 】 设等差数列 { a n } 的前 n 项和为 S n ，若 S m － 1 ＝－ 2 ， S m ＝ 0 ， S m ＋ 1 ＝ 3 ，则 m ＝ ( 　　 ) A . 3 B . 4 C . 5 D . 6 解析　 ∵ S m － 1 ＝－ 2 ， S m ＝ 0 ， S m ＋ 1 ＝ 3 ， ∴ a m ＝ S m － S m － 1 ＝ 2 ， a m ＋ 1 ＝ S m ＋ 1 － S m ＝ 3 ， ∴ 公差 d ＝ a m ＋ 1 － a m ＝ 1 ， 答案 　 C 结论 7 　与等比数列相关的结论 (1) 公比 q ≠ － 1 时， S n ， S 2 n － S n ， S 3 n － S 2 n ， … 成等比数列 ( n ∈ N * ) . (2) 若等比数列的项数为 2 n ( n ∈ N * ) ，公比为 q ，奇数项之和为 S 奇 ，偶数项之和为 S 偶 ，则 S 偶 ＝ qS 奇 . (3) 已知等比数列 { a n } ，公比为 q ，前 n 项和为 S n . 则 S m ＋ n ＝ S m ＋ q m S n ( m ， n ∈ N * ) . 答案 　 B ② 由 (1) 及题意可得 log 2 a n ＝ n － 2 ， 解析　 设等比数列 { a n } 的公比 q ，易知 S 3 ≠ 0. 则 S 6 ＝ S 3 ＋ S 3 q 3 ＝ 9 S 3 ，所以 q 3 ＝ 8 ， q ＝ 2. 【例 8 】 (1) (2018· 安徽皖北协作区联考 ) 如图，网格纸上小正方形的边长为 1 ，粗线 ( 实线和虚线 ) 表示的是某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积为 ( 　　 ) A . 24π B . 29π C . 48π D . 58π 解析　 (1) 由三视图知，该几何体为三棱锥， 如图，在 3 × 2 × 4 的长方体中构造符合题意的几何体 ( 三棱锥 A － BCD ) ，其外接球即为长方体的外接球 . 表面积为 4π R 2 ＝ π(3 2 ＋ 2 2 ＋ 4 2 ) ＝ 29π. (2) 过点 P 作 PH ⊥ 平面 ABCD 于点 H . 由题意知，四棱锥 P － ABCD 是正四棱锥，内切球的球心 O 应在四棱锥的高 PH 上 . 过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图， 其中 PE ， PF 是斜高， M 为球面与侧面的一个切点 . 设 PH ＝ h ，易知 Rt △ PMO ∽ Rt △ PHF ， 答案 　 (1)B 　 (2)D 答案 　 (1)A 　 (2)A 【例 9 】 已知抛物线 C ： x 2 ＝ 4 y ，直线 l ： x － y － 2 ＝ 0 ，设 P 为直线 l 上的点，过点 P 作抛物线 C 的两条切线 PA ， PB ，其中 A ， B 为切点，当点 P ( x 0 ， y 0 ) 为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程 . 整理得 x 2 － 4 x ＋ 8 ＝ 0 ， Δ ＝ ( － 4) 2 － 4 × 8 ＝－ 16<0 ， 故直线 l 与抛物线 C 相离 . 由结论知， P 在抛物线外，故切点弦 AB 所在的直线方程为 x 0 x ＝ 2( y ＋ y 0 ) ， 解析　 (1) 如图，圆心坐标 为 C (1 ， 0) ，易知 A (1 ， 1) . 故直线 AB 的方程为 y － 1 ＝－ 2( x － 1) ，即 2 x ＋ y － 3 ＝ 0. 答案 　 (1)A 　 (2) x ＋ 2 y － 4 ＝ 0 解析　 由对称性不妨设点 A 在 x 轴的上方 ， 如 图设 A ， B 在准线上的射影分别为 D ， C ，作 BE ⊥ AD 于 E ， 设 | BF | ＝ m ，直线 l 的倾斜角为 θ ，则 | AB | ＝ 3 m ， 由抛物线的定义 知 | AD | ＝ | AF | ＝ 2 m ， | BC | ＝ | BF | ＝ m ， 答案 　 B 答案 　 D