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- 2021-07-01 发布
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2018年高考数学讲练测【浙江版】【测】第七章 不等式与证明
第04节 基本不等式及其应用
班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选择中,只有一个是符合题目要求的.)
1.下列不等式一定成立的是( )
A.
B.
C.
D.
【答案】C
2. 【2018贵州贵阳市第一中学模拟】在等差数列中,若,且,则的最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 16
【答案】A
【解析】由等差数列性质得:
= ,
等号成立的条件为 ,故选A.
3. 【2018东北四市一模试题】已知,,且,则的最小值为( )
A. 8 B. 9 C. 12 D. 16
【答案】B
4.设,若的最小值为
A. B.8 C. D.
【答案】D
【解析】
试题分析:因为,所以,又因为所以,,当且仅当即取等号,答案为D.
5. 【2018届浙江省“七彩阳光”联盟高三上期初联考】若,则的最大值是( )
A. 1 B. C. D. 2
【答案】A
【解析】,又由
,所以,从而,当且仅当, 时取最大值.所以选A.
6. 已知函数,若且,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
【答案】D
7.点在由点、确定的直线上,且,则的值为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由题意得,则选A.
8.设均为正数,且,则的最小值为( )
A.16 B.15 C.10 D.9
【答案】D
【解析】因为均为正数,且,所以,整理可得:,由基本不等式可得,整理可得,解得或(舍去),所以,当且仅当时取等号,故的最小值为,故选D.
9. 【2018河南林州市第一中学模拟】已知正项等比数列的前项和为,且,则的最小值为( )
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
【答案】C
10. 【2018黑龙江大庆实验中学模拟】若直线mx+ny+2=0(m>0,n>0)截得圆的弦长为2,则 的
最小值为( )
A. 4 B. 6 C. 12 D. 16
【答案】B
【解析】圆心坐标为,半径为1,又直线截圆得弦长为2,所以直线过圆心,即, ,所以 ,当且仅当时取等号,因此最小值为6,故选B.
11. 【2018湖南岳阳一中模拟】已知,则的最小值为( )
A. 6 B. 4 C. D.
【答案】A
【解析】因为,而(当且仅当时取等号),故 (当且仅当取等号),应选答案A。
12.【2018河南南阳第一中学模拟】已知,若,则的最大值为( )
A. 3 B. 4 C. 14 D. 8
【答案】B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上.)
13.【2018江西南昌模拟】已知函数的最小值为6,则正数的值为_________.
【答案】
【解析】 令 的最小值为6 , 解得 ,故答案为
14. 【2018江苏南京溧水高级中学模拟】以为钝角的中, ,当角最大时, 面积为________.
【答案】
【解析】过作,垂足为,则, ,又,设,则,当且仅当,即时取“=”,由正切函数的单调性可知此时也最大,综上所述, 的面积为,故答案为.
15. 【2018河南南阳市第一中学模拟】设, 时满足的正数,则的最大值是__________.
【答案】
16.【2018河南师范大学附属中学模拟】已知分别为内角的对边, ,且,则面积的最大值为__________.
【答案】
【解析】由正弦定理得
,当且仅当时取等号
所以 ,即面积的最大值为
三、解答题 (本大题共4小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
17.利用基本不等式求最值:
(1)若,求函数 的最小值,并求此时x的值.
(2)设 ,求函数 的最大值.
【解析】(1)当时,,所以当且仅当,即x=2时取等号.
因此,函数 在x = 2时取得最小值4 .
(2)由 得,,所以
,
当且仅当2x=3-2x,即x = 时取等号.因此,函数的最大值为
18.若对任意x>0,≤a恒成立,求a的取值范围.
19.【2018·山东齐鲁名校第二次调研】首届世界低碳经济大会在南昌召开,本届大会以“节能减排,绿色生态”为主题.某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为300吨,最多为600吨,月处理成本y(元)与月处理量x(吨)之间的函数关系可近似地表示为y=x2-200x+45 000,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为200元.
(1)该单位每月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?
(2)该单位每月能否获利?如果获利,求出最大利润;如果不获利,则需要国家至少补贴多少元才能使该单位不亏损?
【解析】 (1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为x+-200≥2-200=100,
当且仅当x=,即x=300时等号成立,故该单位月处理量为300吨时,才能使每吨的平均处理成本最低.
(2)获利.设该单位每月获利为S元,则
S=200x-y=-x2+400x-45 000=-(x-400)2+35 000.因为x∈[300,600],所以S∈[15 000,35 000].故该单位每月获利,最大利润为35 000元.
20.在中,角所对的边分别为,已知,.
(1)当成等差数列时,求的面积;
(2)设为边的中点,求线段长的最小值.
【解析】
(1)因为成等差数列,所以,
由余弦定理,得,解得,
从而.
(2)方法一:因为为边的中点,所以,
则
,当且仅当时取等号,
所以线段长的最小值为.
方法二:因为为边的中点,所以可设,
由,得,
即,
又因为,
即,所以,
故,当且仅当时取等号,
所以线段长的最小值为.