数学卷·2018届广东省潮州市湘桥区绵德中学高二上学期第一次月考数学理试卷 （解析版） 16页

‎2016-2017学年广东省潮州市湘桥区绵德中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）等差数列{an}中，a5=3，a6=﹣2，则公差d=（　　）‎ A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1‎ ‎2．（5分）已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=30°，C=105°，b=8，则a等于（　　）‎ A．4 B．4 C．4 D．4‎ ‎3．（5分）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+|a3|+a4=（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．11 D．15‎ ‎4．（5分）在△ABC中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=2，b=2，则角B=（　　）‎ A．45° B．30° C．90° D．45°或135°‎ ‎5．（5分）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（　　）‎ A．100 B．99 C．98 D．97‎ ‎6．（5分）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（　　）‎ A．b=20，A=45°，C=80° B．a=30，c=28，B=60°‎ C．a=14，b=16，A=45° D．a=12，c=15，A=120°‎ ‎7．（5分）等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=（　　）‎ A．4 B．5 C．10 D．20‎ ‎8．（5分）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB为（　　）m．‎ A．20 B．20 C．20 D．40‎ ‎9．（5分）三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的面积为（　　）‎ A． B．9 C．15 D．6‎ ‎10．（5分）等差数列{an}前11项的和等于前4项的和．若a1=1，ak+a4=0，则k=（　　）‎ A．12 B．11 C．10 D．9‎ ‎11．（5分）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎12．（5分）已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=1，等比数列{bn}的首项b1=1，公比q=2，若数列{Mn}满足Mn=ab1+ab2+ab3+…+abn，则数列{Mn}中小于2016的项的个数有（　　）个．‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎　‎ 二.填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第5个“金鱼”图需要火柴的根数为　　．‎ ‎14．（5分）在△ABC中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ac，则∠B=　　．‎ ‎15．（5分）设等比数列{an}满足a1+a3=5，a2+a4=，则a1a2…an的最大值为　　．‎ ‎16．（5分）在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为　　．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=‎ ‎（Ⅰ）若b=4，求sinA的值； ‎ ‎（Ⅱ） 若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．‎ ‎18．（10分）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1=21，a1+a2+a3=57．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最大值．‎ ‎19．（12分）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．‎ ‎20．（12分）数列{an}的前n项和为Sn．已知an＞0，an2+2an=4Sn+3．‎ ‎（Ⅰ）求a1的值；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设bn=，求数列{bn}}的前n项和．‎ ‎21．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎22．（12分）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．‎ ‎（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（II）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广东省潮州市湘桥区绵德中学高二（上）第一次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）等差数列{an}中，a5=3，a6=﹣2，则公差d=（　　）‎ A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【专题】转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用公差的定义即可得出．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}中，a5=3，a6=﹣2，‎ 则公差d=﹣2﹣3=﹣5．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与公差的定义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）（2013春•石家庄期末）已知△ABC中，A、B、C的对边分别为a、b、c，若A=30°，C=105°，b=8，则a等于（　　）‎ A．4 B．4 C．4 D．4‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【专题】解三角形．‎ ‎【分析】由A与C的度数求出B的度数，得到sinB的值，再由sinA，b的值，利用正弦定理即可求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵A=30°，C=105°，b=8，即B=45°，‎ ‎∴由正弦定理=得：a===4．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题考查了正弦定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）设数列{an}是首项为1，公比为﹣2的等比数列，则a1+|a2|+|a3|+a4=（　　）‎ A．﹣5 B．5 C．11 D．15‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【专题】转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】利用等比数列的通项公式即可得出．‎ ‎【解答】解：∵an=（﹣2）n﹣1．‎ ‎∴a1+|a2|+|a3|+a4=1+2+22+23=15．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）在△ABC中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，已知A=60°，a=2，b=2，则角B=（　　）‎ A．45° B．30° C．90° D．45°或135°‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；解三角形．‎ ‎【分析】利用正弦定理、三角形的边角大小关系即可得出．‎ ‎【解答】解：由正弦定理可得：=，可得sinB=．‎ ‎∵a＞b，∴A＞B，因此B为锐角．‎ ‎∴B=45°．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理、三角形的边角大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）（2016秋•扶余县校级月考）已知等差数列{an}前9项的和为27，a10=8，则a100=（　　）‎ A．100 B．99 C．98 D．97‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【专题】计算题；定义法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据已知可得a5=3，进而求出公差，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵等差数列{an}前9项的和为27，‎ ‎∴9a5=27，a5=3，‎ 又∵a10=8，‎ ‎∴d=1，‎ ‎∴a100=a5+95d=98，‎ 故选：C ‎【点评】本题考查的知识点是数列的性质，熟练掌握等差数列的性质，是解答的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）（2011•黄浦区校级模拟）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（　　）‎ A．b=20，A=45°，C=80° B．a=30，c=28，B=60°‎ C．a=14，b=16，A=45° D．a=12，c=15，A=120°‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】先根据正弦定理和A项中的条件可求得c的值为一个，推断出A中的三角形有一个解；根据余弦定理可求得B项中的b的值，推断出B中的三角形有一个解；C项中利用正弦定理可求得sinB的值，根据正弦函数的性质可求得B有两个值，推断出三角形有两个解；D项中利用大边对大角可推断出C＞A=120°三角形中出现两个钝角，不符合题意．‎ ‎【解答】解：A项中B=180°﹣45°﹣80°=55°，由正弦定理可求得c=•sinC，进而可推断出三角形只有一解；‎ B项中b=为定值，故可知三角形有一解．‎ C项中由a=14，b=16，A=45°及正弦定理，得=，所以sinB=．因而B有两值．‎ D项中c＞a，进而可知C＞A=120°，则C+A＞180°不符合题意，故三角形无解．‎ 故选C ‎【点评】本题主要考查了解三角形．考查了学生综合分析问题和解决问题的能力．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）等比数列{an}的各项均为正数，且a1a5=4，则log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=（　　）‎ A．4 B．5 C．10 D．20‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由等比数列的性质可知a1a5=a2a4=，求得a3=2，由对数的运算性质，∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1•a2•a3•a4•a5=log225=5．‎ ‎【解答】解：由等比数列性质可知：a1a5=a2a4=，‎ ‎∴a3=2，‎ ‎∴log2a1+log2a2+log2a3+log2a4+log2a5=log2a1•a2•a3•a4•a5=log2=log225=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查等比数列的性质，对数的运算性质，同底数幂的乘法，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）（2016•河南模拟）如图，测量河对岸的塔高AB时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个测点C与D，测得∠BCD=75°，∠BDC=60°，CD=40m，并在点C测得塔顶A的仰角为30°．则塔高AB为（　　）m．‎ A．20 B．20 C．20 D．40‎ ‎【考点】解三角形的实际应用．‎ ‎【专题】数形结合；数形结合法；解三角形．‎ ‎【分析】在△BCD中使用正弦定理求出BC，在利用锐角三角函数的定义得出AB．‎ ‎【解答】解：∵∠BCD=75°，∠BDC=60°，∴∠CBD=45°，‎ 在△BCD中，由正弦定理得：，即，‎ 解得BC=20，‎ 又tan∠ACB==，∴AB=BC=20．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了正弦定理，解三角形的应用，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是方程5x2﹣7x﹣6=0的根，则三角形的面积为（　　）‎ A． B．9 C．15 D．6‎ ‎【考点】三角形的面积公式．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；解三角形．‎ ‎【分析】求出方程的根，得到三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦，然后求解正弦函数值，即可求解三角形的面积．‎ ‎【解答】解：方程5x2﹣7x﹣6=0的根为：2或﹣．‎ 三角形的两边分别为5和3，它们夹角的余弦是：﹣，‎ 则他们的夹角的正弦函数值为：．‎ 则三角形的面积为：=6．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查同角三角函数基本关系式以及三角形的面积的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）等差数列{an}前11项的和等于前4项的和．若a1=1，ak+a4=0，则k=（　　）‎ A．12 B．11 C．10 D．9‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】由题意可得S4=S11，则a5+a6+…+a11=0，即2a8=0，结合ak+a4=0，可得ak=a12，则k值可求．‎ ‎【解答】解：由题意可知，S4=S11，则a5+a6+…+a11=0，‎ 即7a8=0，又ak+a4=0，‎ ‎∴ak=a12，则k=12．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）（2015春•江津区校级期末）在△ABC中，a=4，b=5，c=6，则=（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【专题】三角函数的求值．‎ ‎【分析】利用余弦定理求出cosC，cosA，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，‎ ‎∴cosC==，cosA==，‎ ‎∴sinC=，sinA=，‎ ‎∴===1．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查余弦定理，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）已知等差数列{an}的首项a1=2，公差d=1，等比数列{bn}的首项b1=1，公比q=2，若数列{Mn}满足Mn=ab1+ab2+ab3+…+abn，则数列{Mn}中小于2016的项的个数有（　　）个．‎ A．8 B．9 C．10 D．11‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【专题】对应思想；综合法；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】根据调查数列，等比数列的通项公式得出a=2n﹣1+1，利用求和公式得出Mn=2n+n﹣1．在代入数值计算即可得出答案．‎ ‎【解答】解：an=2+（n﹣1）=n+1，bn=2n﹣1，‎ ‎∴a=2n﹣1+1，‎ ‎∴Mn=20+1+2+1+22+1+…+2n﹣1+1=+n=2n+n﹣1．‎ ‎∵M10=210+10﹣1=1024+10﹣1=1033，M11=211+11﹣1=2048+11﹣1=2058，‎ ‎∴数列{Mn}中小于2016的项共有10项．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列，等比数列的通项公式，求和公式，属于中档题．‎ ‎　‎ 二.填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）用火柴棒摆“金鱼”，如图所示：‎ 按照上面的规律，第5个“金鱼”图需要火柴的根数为　32　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【专题】转化思想；综合法；推理和证明．‎ ‎【分析】由图形间的关系可以看出，每多出一个小金鱼，则要多出6根火柴棒，则组成不同个数的图形的火柴棒的个数组成一个首项是8，公差是6的等差数列，写出通项，求出第n项的火柴根数．‎ ‎【解答】解：∵第一个图中有8根火柴棒组成，‎ 第二个图中有8+6个火柴棒组成，‎ 第三个图中有8+2×6个火柴组成，‎ 以此类推 组成n个系列正方形形的火柴棒的根数是8+6（n﹣1）‎ ‎∴第5个图中的火柴棒有32个，‎ 故答案为：32．‎ ‎【点评】本题考查归纳推理，考查等差数列的通项，解题的关键是看清随着小金鱼的增加，火柴的根数的变化趋势，看出规律．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）在△ABC中，角A．B．C的对边分别为a，b，c，若a2+c2=b2+ac，则∠B=　45°　．‎ ‎【考点】余弦定理．‎ ‎【专题】计算题；转化思想；转化法；解三角形．‎ ‎【分析】由已知可得a2+c2﹣b2=ac，利用余弦定理可求cosB=，结合范围B∈（0°，180°），即可得解B的值．‎ ‎【解答】解：在△ABC中，∵a2+c2=b2+ac，‎ ‎∴a2+c2﹣b2=ac，‎ ‎∴cosB===，‎ ‎∵B∈（0°，180°），‎ ‎∴B=45°．‎ 故答案为：45°．‎ ‎【点评】本题主要考查了余弦定理，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）（2016秋•湘桥区校级月考）设等比数列{an}满足a1+a3=5，a2+a4=，则a1a2…an的最大值为　8　．‎ ‎【考点】等比数列的性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】设等比数列{an}的公比为q，利用a1+a3=5，a2+a4=，解得q=，a1=4．利用单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，∵a1+a3=5，a2+a4=，‎ ‎∴q（a1+a3）=5q=，解得q=，∴=5，解得a1=4．‎ ‎∴a1=4，a2=2，a3=1，a4=．‎ 则a1a2…an的最大值为a1×a2×a3=8．‎ 故答案为：8．‎ ‎【点评】本题考查了等比数列的通项公式及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）（2016•蚌埠三模）在△ABC中，点D在边AB上，CD⊥BC，AC=5，CD=5，BD=2AD，则AD的长为　5　．‎ ‎【考点】三角形中的几何计算．‎ ‎【专题】综合题；数形结合；解三角形．‎ ‎【分析】根据题意画出图象，延长BC、过A做AE⊥BC、垂足为E，根据平行线的性质和勾股定理依次求出AE、CE、BC、BD，由条件求出AD的长．‎ ‎【解答】解：如图所示：延长BC，过A做AE⊥BC，垂足为E，‎ ‎∵CD⊥BC，∴CD∥AE，‎ ‎∵CD=5，BD=2AD，∴，解得AE=，‎ 在RT△ACE，CE===，‎ 由得BC=2CE=5，‎ 在RT△BCD中，BD===10，‎ 则AD=5，‎ 故答案为：5．‎ ‎【点评】本题考查平行线的性质，以及勾股定理，做出辅助线是解题的关键，属于中档题．‎ ‎　‎ 三.解答题（共6小题，共70分）‎ ‎17．（12分）（2015秋•通渭县期末）已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，cosB=‎ ‎（Ⅰ）若b=4，求sinA的值； ‎ ‎（Ⅱ） 若△ABC的面积S△ABC=4求b，c的值．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【专题】综合题；解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）先求出sinB=，再利用正弦定理求sinA的值； ‎ ‎（Ⅱ）由△ABC的面积S△ABC=4求c的值，利用余弦定理求b的值．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵cosB=‎ ‎∴sinB=，‎ ‎∵a=2，b=4，‎ ‎∴sinA===；‎ ‎（Ⅱ）S△ABC=4=×2c×，∴c=5，‎ ‎∴b==．‎ ‎【点评】本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎18．（10分）（2016秋•湘桥区校级月考）已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且a1=21，a1+a2+a3=57．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（2）求Sn的最大值．‎ ‎【考点】等差数列的性质．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；函数的性质及应用；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（2）利用求和公式可得Sn，再利用二次函数的单调性即可得出．‎ ‎【解答】解：（1）设为等差数列{an}的公差为d，∵a1=21，a1+a2+a3=57．‎ ‎∴a1+a2+a3=3a1+3d=63+3d=57，‎ ‎∴d=﹣2．‎ ‎∴an=a1+（n﹣1）d=21+（﹣2）（n﹣1）=﹣2n+23．‎ ‎∴数列{an}的通项公式为an=﹣2n+23．‎ ‎（2）由=﹣n2+22n=﹣（n﹣11）2+121，‎ 当n=11时，Sn取得最大值为121．‎ ‎【点评】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、二次函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2015•西安模拟）在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证△ABC为等边三角形．‎ ‎【考点】三角形的形状判断；等差数列的性质；等比数列的性质．‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】先根据A，B，C成等差数列和三角形内角和定理求出B的值，进而根据等比中项的性质可知b2=ac代入余弦定理求得a2+c2﹣ac=ac，整理求得a=c，判断出A=C，最后利用三角形内角和气的A和C，最后证明原式．‎ ‎【解答】解：由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）‎ 因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．‎ 由（1）（2）得B=．（3）‎ 由a，b，c成等比数列，有b2=ac（4）‎ 由余弦定理及（3），可得b2=a2+c2﹣2accosB=a2+c2﹣ac 再由（4），得a2+c2﹣ac=ac，‎ 即（a﹣c）2=0‎ 因此a=c 从而A=C（5）‎ 由（2）（3）（5），得A=B=C=‎ 所以△ABC为等边三角形．‎ ‎【点评】本题主要考查了等差数列和等比数列的性质，三角形形状的判断，余弦定理的应用．三角形问题与数列，函数，不等式的综合题，是考试中常涉及的问题，注重了对学生的双基能力的考查．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•湘桥区校级月考）数列{an}的前n项和为Sn．已知an＞0，an2+2an=4Sn+3．‎ ‎（Ⅰ）求a1的值；‎ ‎（Ⅱ）求{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅲ）设bn=，求数列{bn}}的前n项和．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【专题】等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（I）由，当n=1时，得，解出即可得出．‎ ‎（Ⅱ） 由，可知．相减化为及其an＞0可得an+1﹣an=2．利用等差数列的通项公式即可得出．‎ ‎（III）由an=2n+1，．利用“裂项求和”方法即可得出．‎ ‎【解答】解：（I）由，‎ 当n=1时，得，‎ 解得a1=﹣1，a1=3．‎ 由an＞0，∴a1=3．‎ ‎（Ⅱ） 由①‎ 可知．②‎ 由②﹣①可得，‎ 即，‎ 由于an＞0可得an+1﹣an=2．‎ 又a1=3．∴数列{an}是首项为3，公差为2的等差数列，‎ ‎∴数列{an}通项公式为an=2n+1．‎ ‎（III）由an=2n+1，．‎ 设数列{bn}的前n项和为Tn，则Tn=b1+b2+…+bn=．‎ ‎【点评】本题考查了数列递推关系、等差数列的定义与通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016春•寿县校级期末）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．‎ ‎（Ⅰ）求C；‎ ‎（Ⅱ）若c=，△ABC的面积为，求△ABC的周长．‎ ‎【考点】解三角形．‎ ‎【专题】综合题；转化思想；综合法；解三角形．‎ ‎【分析】（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理后利用两角和与差的正弦函数公式及诱导公式化简，根据sinC不为0求出cosC的值，即可确定出出C的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，利用三角形面积公式列出关系式，求出a+b的值，即可求△ABC的周长．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAcosB+sinBcosA）=sinC，‎ 整理得：2cosCsin（A+B）=sinC，‎ ‎∵sinC≠0，sin（A+B）=sinC ‎∴cosC=，‎ 又0＜C＜π，‎ ‎∴C=；‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理得7=a2+b2﹣2ab•，‎ ‎∴（a+b）2﹣3ab=7，‎ ‎∵S=absinC=ab=，‎ ‎∴ab=6，‎ ‎∴（a+b）2﹣18=7，‎ ‎∴a+b=5，‎ ‎∴△ABC的周长为5+．‎ ‎【点评】此题考查了正弦、余弦定理，三角形的面积公式，以及三角函数的恒等变形，熟练掌握定理及公式是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2016秋•湘桥区校级月考）已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．‎ ‎（I）求数列{an}，{bn}的通项公式；‎ ‎（II）记cn=an•bn，求数列{cn}的前n项和Tn．‎ ‎【考点】数列递推式；数列的求和．‎ ‎【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列．‎ ‎【分析】（I）利用递推关系可得a1．利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出an，bn．‎ ‎（II）利用“错位相减法”与等比数列的求和公式即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由数列{bn}满足b1=1，b2=，anbn+1+bn+1=nbn．当n=1时，有a1b2+b2=b1，即+=1，‎ ‎∴a1=2．‎ 又∵{an}是公差为3的等差数列，∴an=3n﹣1．‎ 由an=3n﹣1知：（3n﹣1）bn+1+bn+1=nbn，‎ 化简得3bn+1=bn，即．‎ 即数列{bn}是以1为首项，以为公比的等比数列，∴．‎ ‎（II）cn=an•bn=，‎ Tn=c1+c2+c3+…+cn，‎ ‎∴，‎ ‎．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎【点评】本题考查了递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎