【数学】2018届一轮复习人教B版坐标系与参数方程学案 48页

‎§13.1　坐标系与参数方程 课时1　坐标系 ‎[知识梳理]‎ ‎1．平面直角坐标系 设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．‎ ‎2．极坐标系 ‎(1)极坐标与极坐标系的概念 在平面内取一个定点O，叫作极点，从O点引一条射线Ox，叫作极轴，选定一个单位长度和角的正方向(通常取逆时针方向)．这样就确定了一个平面极坐标系，简称为极坐标系．对于平面内任意一点M，用ρ表示线段OM的长，θ表示以Ox为始边、OM为终边的角度，ρ叫作点M的极径，θ叫作点M的极角，有序实数对(ρ，θ)叫做点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．‎ 当点M在极点时，它的极径ρ＝0，极角θ可以取任意值．‎ ‎(2) 极坐标与直角坐标的互化 设M为平面内的任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：‎ 或 这就是极坐标与直角坐标的互化公式．‎ ‎3．常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点，半径为r的圆 ρ＝r(0≤θ＜2π)‎ 圆心为(r,0)，半径为r的圆 ρ＝2rcos_θ 圆心为，半径为r的圆 ρ＝2rsin_θ ‎(0≤θ＜π)‎ 过极点，倾斜角为α的直线 θ＝α(ρ∈R) ‎ 或θ＝π＋α(ρ∈R)‎ 过点(a,0)，与极轴垂直的直线 ρcos θ＝a 过点，与极轴平行的直线 ρsin_θ＝a ‎(0＜θ＜π)‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．在极坐标系中，点到直线ρsin＝1的距离是________．‎ 解析：点化为直角坐标为(，1)，直线ρsin＝1化为ρ＝1，y－x＝1，x－y＋1＝0，点(，1)到直线x－y＋1＝0的距离为＝1.‎ 答案：1‎ ‎2．直线2ρcos θ＝1与圆ρ＝2cos θ相交的弦长为________．‎ 解析：由2ρcos θ＝1，得x＝；由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，即x2＋y2＝2x，即(x－1)2＋y2＝1，该圆的圆心为(1,0)，半径为1，圆心到直线的距离为，利用直线与圆的位置关系可得所求的弦长为2 ＝.‎ 答案： ‎3．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，曲线C2的方程为ρ(cos θ－sin θ)＋1＝0，则C1与C2的交点个数为________．‎ 解析：由题意得，曲线C1的普通方程为＋＝1，曲线C2在直角坐标系下的方程为x－y＋1＝0，直线x－y＋1＝0经过椭圆＋＝1内的点(0,1)，故两者的交点个数为2.‎ 答案：2‎ ‎4．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．‎ 解：由ρ＝4sin θ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.‎ 由ρsin θ＝a可得y＝a.‎ 设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．‎ 由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.‎ 在Rt△DOB中，易求DB＝a，‎ ‎∴B点的坐标为.‎ 又∵B在x2＋y2－4y＝0上，‎ ‎∴2＋a2－4a＝0，‎ 即a2－4a＝0，‎ 解得a＝0(舍去)或a＝3.‎ 类型一　极坐标与直角坐标的互化 ‎[例1]　(1)(2015·高考湖南卷)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则曲线C的直角坐标方程为________．‎ 解析　∵ρ＝2sin θ，∴ρ2＝2ρsin θ，∴x2＋y2＝2y，即x2＋y2－2y＝0.‎ 答案　x2＋y2－2y＝0‎ ‎(2)在极坐标系中，曲线C1与C2的方程分别为2ρcos2θ＝sin θ与ρcos θ＝1，以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与C2交点的直角坐标为________．‎ 解析　将2ρcos2θ＝sin θ两边同乘以ρ，得2(ρcos θ)2＝ρsin θ，‎ 化为直角坐标方程为2x2＝y，‎ C2：ρcos θ＝1化为直角坐标方程为x＝1，‎ 联立①②可解得 所以曲线C1与C2交点的直角坐标为(1,2)．‎ 答案　(1,2)‎ ‎[方法引航]　(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比 较容易，只要运用公式x＝ρcos θ及y＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．‎ ‎1．(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．‎ 解：将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos θ代入x2＋y2－2x＝0，‎ 得ρ2－2ρcos θ＝0，‎ 整理得ρ＝2cos θ.‎ ‎(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．‎ 解：由ρ＝2cos θ，‎ 得ρ2＝2ρcos θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，‎ 即(x－1)2＋y2＝1，‎ 其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，‎ 相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos θ＝2.‎ 类型二　求曲线的极坐标方程 ‎[例2]　将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.‎ ‎(1)写出曲线C的方程；‎ ‎(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．‎ 解　(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得 由x＋y＝1得x2＋2＝1，‎ 即曲线C的方程为x2＋＝1.‎ ‎(2)由 解得或 不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为，所求直线斜率为k＝，‎ 于是所求直线方程为y－1＝，‎ 化为极坐标方程，‎ 并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3，‎ 即ρ＝.‎ ‎[方法引航]　求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．‎ ‎2．在极坐标系中，已知圆C经过点P，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．‎ 解：在ρsin＝－中，‎ 令θ＝0，得ρ＝1，‎ 所以圆C的圆心坐标为(1,0)．‎ 如图所示，因为圆C经过点P，‎ 所以圆C的半径PC＝ ＝1，‎ 于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ.‎ 类型三　极坐标方程的应用 ‎[例3]　(2015·高考课标卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆 C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．‎ ‎(1)求C1，C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．‎ 解　(1)因为x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，所以C1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.‎ ‎(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得 ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.‎ 故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.‎ 由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，所以△C2MN的面积为.‎ ‎[方法引航]　(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．‎ ‎3．(2017·山西质检)在极坐标系中，曲线C的方程为ρ2＝，点R.‎ ‎(1)以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，R点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)设P为曲线C上一动点，以PR为对角线的矩形PQRS的一边垂直于极轴，求矩形PQRS周长的最小值，及此时P点的直角坐标．‎ 解：(1)∵x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为＋y2＝1，‎ 点R的直角坐标为R(2,2)．‎ ‎(2)设P(cos θ，sin θ)，‎ 根据题意可得|PQ|＝2－cos θ，|QR|＝2－sin θ，‎ ‎∴|PQ|＋|QR|＝4－2sin(θ＋60°)‎ 当θ＝30°时，|PQ|＋|QR|取最小值2，‎ ‎∴矩形PQRS周长的最小值为4，‎ 此时点P的直角坐标为.‎ 思想方法　感悟提高 在用方程解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题时，将极坐标方程化为直角坐标方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是转化与化归思想的应用．‎ 课时规范训练[单独成册]‎ ‎[A组　基础演练]‎ ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．在极坐标系中，求圆ρ＝8sin θ上的点到直线θ＝(ρ∈R)距离的最大值．‎ 解：圆ρ＝8sin θ即ρ2＝8ρsin θ，‎ 化为直角坐标方程为x2＋(y－4)2＝16，‎ 直线θ＝即tan θ＝，‎ 化为直角坐标方程为x－y＝0，‎ 圆心(0,4)到直线的距离为＝2，‎ 所以圆上的点到直线距离的最大值为2＋4＝6.‎ ‎2．已知圆O1和圆O2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－2·ρcos＝2.‎ ‎(1)将圆O1和圆O2的极坐标方程化为直角坐标方程；‎ ‎(2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x2＋y2＝4.‎ 因为ρ2－2ρcos＝2，‎ 所以ρ2－2ρ＝2.‎ 所以x2＋y2－2x－2y－2＝0.‎ ‎(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x＋y＝1.化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1，‎ 即ρsin＝.‎ ‎3．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．‎ 解：以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，‎ 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，‎ 且圆心为(1,0)．‎ 直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，‎ 因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，‎ 所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x对称的曲线为 x2＋(y－1)2＝1.‎ 所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎4．已知直线l：ρsin＝4和圆C：ρ＝2kcos(k≠0)，若直线l上的点到圆C上的点的最小距离等于2.求实数k的值并求圆心C的直角坐标．‎ 解：∵ρ＝kcos θ－ksin θ，‎ ‎∴ρ2＝kρcos θ－kρsin θ，‎ ‎∴圆C的直角坐标方程为x2＋y2－kx＋ky＝0，‎ 即2＋2＝k2，‎ ‎∴圆心的直角坐标为.‎ ‎∵ρsin θ·－ρcos θ·＝4，‎ ‎∴直线l的直角坐标方程为x－y＋4＝0，‎ ‎∴－|k|＝2.‎ 即|k＋4|＝2＋|k|，‎ 两边平方，得|k|＝2k＋3，‎ ‎∴或 解得k＝－1，故圆心C的直角坐标为.‎ ‎5．在极坐标系下，已知圆O：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l：‎ ρsin＝(ρ≥0,0≤θ＜2π)．‎ ‎(1)求圆O和直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)当θ∈(0，π)时，求直线l与圆O的公共点的极坐标．‎ 解：(1)圆O：ρ＝cos θ＋sin θ，‎ 即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ，‎ 故圆O的直角坐标方程为x2＋y2－x－y＝0.‎ 直线l：ρsin＝，即ρsin θ－ρcos θ＝1，‎ 则直线l的直角坐标方程为x－y＋1＝0.‎ ‎(2)由(1)知圆O与直线l的直角坐标方程，将两方程联立得，‎ ，解得 即圆O与直线l在直角坐标系下的公共点为(0,1)，‎ 将(0,1)转化为极坐标为，即为所求．‎ ‎[B组　能力突破]‎ ‎(时间：30分钟)‎ ‎6．在极坐标系中，已知三点M、N(2,0)、P.‎ ‎(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；‎ ‎(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．‎ 解：(1)由公式得M的直角坐标为(1，－)；N的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，)．‎ ‎(2)∵kMN＝＝，kNP＝＝.‎ ‎∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．‎ ‎7．在极坐标系中，已知直线l过点A(1,0)，且其向上的方向与极轴的正方向所成的最小正角为，求：‎ ‎(1)直线的极坐标方程；‎ ‎(2)极点到该直线的距离．‎ 解：‎ ‎(1)如图，由正弦定理得 ＝.‎ 即ρsin＝sin ＝，‎ ‎∴所求直线的极坐标方程为ρsin＝.‎ ‎(2)作OH⊥l，垂足为H，‎ 在△OHA中，OA＝1，∠OHA＝，∠OAH＝，‎ 则OH＝OAsin ＝，‎ 即极点到该直线的距离等于.‎ ‎8．已知圆C：x2＋y2＝4，直线l：x＋y＝2.以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎(1)将圆C和直线l的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)P是l上的点，射线OP交圆C于点R，又点Q在OP上且满足|OQ|·|OP ‎|＝|OR|2，当点P在l上移动时，求点Q轨迹的极坐标方程．‎ 解：(1)将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入圆C和直线l的直角坐标方程，得其极坐标方程分别为 C：ρ＝2，l：ρ(cos θ＋sin θ)＝2.‎ ‎(2)设P，Q，R的极坐标分别为(ρ1，θ)，(ρ，θ)，(ρ2，θ)，则由|OQ|·|OP|＝|OR|2，得ρρ1＝ρ.‎ 又ρ2＝2，ρ1＝，‎ 所以＝4，‎ 故点Q轨迹的极坐标方程为ρ＝2(cos θ＋sin θ)(ρ≠0)．‎ ‎9．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．‎ ‎(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；‎ ‎(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．‎ 解：(1)由ρcos＝1‎ 得ρ＝1.‎ 从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，‎ 即x＋y＝2.‎ 当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．‎ 当θ＝时，ρ＝，所以N.‎ ‎(2)M点的直角坐标为(2,0)．‎ N点的直角坐标为.‎ 所以P点的直角坐标为.‎ 则P点的极坐标为，‎ 所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．‎ 课时2　参数方程 ‎[知识梳理]‎ ‎1．参数方程和普通方程的互化 ‎(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．一般地，可以通过消去参数从参数方程得到普通方程．‎ ‎(2)一般地，在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标(x，y)都是某个变数t的函数并且对于t取的每一个允许值，由方程组所确定的点P(x，y)都在这条曲线上，那么方程组就叫作这条曲线的参数方程，联系x，y之间关系的变数t叫作参变数，简称参数．‎ 相对于参数方程，我们把直接用坐标(x，y)表示的曲线方程f (x，y)＝0叫作曲线的普通方程．‎ ‎2．常见曲线的参数方程和普通方程 ‎[基础自测]‎ ‎1．以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位．已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程是ρ＝4cos θ，则直线l被圆C截得的弦长为(　　)‎ A.　　　　 B．2 C. D．2 解析：选D.直线l的参数方程(t为参数)化为直角坐标方程是y＝x－4，圆C的极坐标方程ρ＝4cos θ化为直角坐标方程是x2＋y2－4x＝0，即(x－2)2＋y2＝4.圆C的圆心(2,0)到直线x－y－4＝0的距离为d＝＝.又圆C的半径r＝2，因此直线l被圆C截得的弦长为2＝2.故选D.‎ ‎2．(2015·高考湖北卷)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知直线l的极坐标方程为ρ(sin θ－3cos θ)＝0，曲线C的参数方程为(t为参数)，l与C相交于A，B两点，则|AB|＝__________.‎ 解析：由ρ(sin θ－3cos θ)＝0，得ρsin θ＝3ρcos θ，则y＝3x，‎ 由得y2－x2＝4.‎ 由可得或 不妨设A，则B，‎ 故|AB|＝＝2.‎ 答案：2 ‎3．(2016·高考全国乙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数，a>0)．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)说明C1是哪一种曲线，并将C1的方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)直线C3的极坐标方程为θ＝α0，其中α0满足tan α0＝2，若曲线C1与C2的公共点都在C3上，求a.‎ 解：(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为半径的圆．‎ 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0.‎ ‎(2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组 若ρ≠0，由方程组得16cos2θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0，‎ 由已知tan θ＝2，可得16cos2θ－8sin θcos θ＝0，‎ 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1.‎ 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上．‎ 所以a＝1.‎ ‎4．(2016·高考全国丙卷)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρsin＝2.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 解：(1)C1的普通方程为＋y2＝1.‎ C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为(cos α，sin α)．‎ 因为C2是直线，‎ 所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，‎ d(α)＝＝.‎ 当且仅当α＝2kπ＋(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为.‎ 类型一　参数方程与普通方程的互化 ‎[例1]　已知曲线C的参数方程是(α为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，‎ ‎(1)求曲线C与直线l的普通方程；‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于P，Q两点，且|PQ|＝，求实数m的值．‎ 解　(1)由得 ‎①的平方加②的平方得曲线C的普通方程为：‎ x2＋(y－m)2＝1.‎ 由x＝1＋t得t＝x－1，代入y＝4＋t得 y＝4＋2(x－1)，‎ 所以直线l的普通方程为y＝2x＋2.‎ ‎(2)圆心(0，m)到直线l的距离为d＝，‎ 所以由勾股定理得2＋2＝1，‎ 解得m＝3或m＝1.‎ ‎[方法引航]　消去参数的方法一般有三种：‎ ‎(1)利用解方程的技巧求出参数的表示式，然后代入消去参数；‎ ‎(2)利用三角恒等式消去参数；‎ ‎(3)根据参数方程本身的结构特征，灵活的选用一些方法从整体上消去参数．‎ 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f (t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围．‎ ‎1．(1)求直线(t为参数)与曲线(α为参数)的交点个数；‎ ‎(2)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，求常数a的值．‎ 解：(1)将消去参数t得直线x＋y－1＝0；‎ 将消去参数α得圆x2＋y2＝9.‎ 又圆心(0,0)到直线x＋y－1＝0的距离d＝<3.‎ 因此直线与圆相交，故直线与曲线有2个交点．‎ ‎(2)直线l的普通方程为x－y－a＝0，‎ 椭圆C的普通方程为＋＝1，‎ ‎∴椭圆C的右顶点坐标为(3,0)，若直线l过(3,0)，‎ 则3－a＝0，∴a＝3.‎ 类型二　直线参数方程的应用 ‎[例2]　已知在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过定点P(3,5)，倾斜角为.‎ ‎(1)写出直线l的参数方程和曲线C的标准方程；‎ ‎(2)设直线l与曲线C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ 解　(1)曲线C：(x－1)2＋(y－2)2＝16，‎ 直线l：(t为参数)．‎ ‎(2)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得 t2＋(2＋3)t－3＝0，‎ 设t1，t2是方程的两个根，‎ 则t1t2＝－3，‎ 所以|PA||PB|＝|t1||t2|＝|t1t2|＝3.‎ ‎[方法引航]　(1)解决直线与圆的参数方程的应用问题时一般是先化为普通方程再根据直线与圆的位置关系来解决问题．‎ ‎(2)对于形如(t为参数)．‎ 当a2＋b2≠1时，应先化为标准形式后才能利用t的几何意义解题．‎ ‎2．已知直线l：x＋y－1＝0与抛物线y＝x2相交于A，B两点，求线段AB的长度和点M(－1,2)到A，B两点的距离之积．‎ 解：因为直线l过定点M，且l的倾斜角为，‎ 所以它的参数方程为(t为参数)，‎ 即(t为参数)，‎ 把它代入抛物线的方程，得t2＋t－2＝0，‎ 由根与系数的关系得t1＋t2＝－，t1·t2＝－2，‎ 由参数t的几何意义可知|AB|＝|t1－t2|＝，‎ ‎|MA|·|MB|＝|t1t2|＝2.‎ 类型三　极坐标方程和参数方程的综合应用 ‎[例3]　(2015·高考课标卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C1：(t为参数，t≠0)，其中0≤α<π.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：ρ＝2sin θ，C3：ρ＝2cos θ.‎ ‎(1)求C2与C3交点的直角坐标；‎ ‎(2)若C1与C2相交于点A，C1与C3相交于点B，求|AB|的最大值．‎ 解　(1)曲线C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，曲线C3的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0.‎ 联立 解得或 所以C2与C3交点的直角坐标为(0,0)和.‎ ‎(2)曲线C1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α＜π.‎ 因此A的极坐标为(2sin α，α)，B的极坐标为(2cos α，α)．‎ 所以|AB|＝|2sin α－2cos α|＝4.‎ 当α＝时， |AB|取得最大值，最大值为4.‎ ‎[方法引航]　在对坐标系与参数方程的考查中，最能体现坐标法的解题优势，灵活地利用坐标法可以使问题得到简捷的解答．例如，将题设条件中涉及的极坐标方程和参数方程等价转化为直角坐标方程，然后在直角坐标系下对问题进行求解就是一种常见的解题方法，对应数学问题求解的“化生为熟”原则，充分体现了转化与化归的数学思想．‎ ‎3．(2017·江苏扬州质检)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝2cos，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l和圆C交于A，B两点，P是圆C上不同于A，B的任意一点．‎ ‎(1)求圆心的极坐标；‎ ‎(2)求△PAB面积的最大值．‎ 解：(1)由圆C的极坐标方程为 ρ＝2cos，得 ρ2＝2，‎ 把代入可得圆C的直角坐标方程为 x2＋y2－2x＋2y＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝2.‎ ‎∴圆心坐标为(1，－1)，‎ ‎∴圆心的极坐标为.‎ ‎(2)由题意，得直线l的直角坐标方程为2x－y－1＝0.‎ ‎∴圆心(1，－1)到直线l的距离d＝＝，∴AB＝2 ‎＝2 ＝.‎ 点P到直线l的距离的最大值为r＋d＝＋＝，‎ ‎∴Smax＝××＝.‎ 思想方法　感悟提高 ‎1．将参数方程化为普通方程是解决问题的一般思路，体现了化归思想．‎ ‎2．将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，不要增解；确定曲线的参数方程时，一定要根据实际问题的要求确定参数的取值范围，必要时通过限制参数的范围去掉多余的解．‎ 课时规范训练[单独成册]‎ ‎[A组　基础演练]‎ ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．已知曲线C1的参数方程为(t为参数)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(1)把C1的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求C1与C2交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ＜2π)．‎ 解：(1)将消去参数t，得 ‎(x－4)2＋(y－5)2＝25，即x2＋y2－8x－10y＋16＝0.‎ 故C1的极坐标方程为ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0.‎ ‎(2)C2的直角坐标方程为x2＋y2－2y＝0，‎ 联立C1，C2的方程，解得或 所以C1与C2交点的极坐标为，.‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为ρ＝2cos θ，θ∈.‎ ‎(1)求C的参数方程；‎ ‎(2)设点D在C上，C在D处的切线与直线l：y＝x＋2垂直，根据(1)中你得到的参数方程，确定D的坐标．‎ 解：(1)C的普通方程为(x－1)2＋y2＝1(0≤y≤1)．‎ 可得C的参数方程为(t为参数，0≤t≤π)．‎ ‎(2)设D(1＋cos t，sin t)，由(1)知C是以G(1,0)为圆心，1为半径的上半圆．因为C在点D处的切线与l垂直，‎ 所以直线GD与l的斜率相同，tan t＝，t＝.‎ 故D的直角坐标为，‎ 即.‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(θ为参数)，直线l经过点P(1,2)，倾斜角α＝.‎ ‎(1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程；‎ ‎(2)设直线l与圆C相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的值．‎ 解：(1)由圆C的参数方程可得它的标准方程为x2＋y2＝16，‎ 由题意知直线l的参数方程为 (t为参数)，即，(t为参数)．‎ ‎(2)把直线l的参数方程代入x2＋y2＝16，‎ 得2＋2＝16，‎ 即t2＋(＋2)t－11＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，‎ 则t1t2＝－11，则|PA|·|PB|＝|t1|·|t2|＝|t1t2|＝11.‎ ‎4．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)，在以O为极点，以x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2的方程为ρsin＝2，求曲线C1与曲线C2的交点个数．‎ 解：曲线C1，C2化为普通方程和直角坐标方程分别为x2＝2y，x＋y ‎－4＝0，联立消去y得x2＋2x－8＝0，因为判别式Δ>0，所以方程有两个实数解．故曲线C1与曲线C2的交点个数为2.‎ ‎5．在直角坐标系xOy中，圆C的方程为(x＋6)2＋y2＝25.‎ ‎(1)以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；‎ ‎(2)直线l的参数方程是(t为参数)，l与C交于A，B两点，|AB|＝，求l的斜率．‎ 解：(1)由x＝ρcos θ，y＝ρsin θ可得圆C的极坐标方程为ρ2＋12ρcos θ＋11＝0.‎ ‎(2)(方法一)由直线l的参数方程(t为参数)，消去参数得y＝x·tan α.‎ 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kx－y＝0.‎ 由圆C的方程(x＋6)2＋y2＝25知，圆心坐标为(－6,0)，半径为5.‎ 又|AB|＝，由垂径定理及点到直线的距离公式得 ＝，即＝，‎ 整理得k2＝，解得k＝±，即l的斜率为±.‎ ‎(方法二)在(1)中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R)．设A，B所对应的极径分别为ρ1，ρ2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得ρ2＋12ρcos α＋11＝0，于是ρ1＋ρ2＝－12cos α，ρ1ρ2＝11.‎ ‎|AB|＝|ρ1－ρ2|＝ ‎＝.‎ 由|AB|＝得cos2α＝，tan α＝±.‎ 所以l的斜率为或－.‎ ‎[B组　能力突破]‎ ‎(时间：30分钟)‎ ‎6．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C的方程为ρ＝6sin θ.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设圆C与直线l交于点A，B，若点P的坐标为(1,2)，求|PA|＋|PB|的最小值．‎ 解：(1)由ρ＝6sin θ得ρ2＝6ρsin θ，化为直角坐标方程为x2＋y2＝6y，即x2＋(y－3)2＝9.‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋(y－3)2＝9.‎ ‎(2)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α－sin α)t－7＝0.‎ 由已知得Δ＝(2cos α－2sin α)2＋4×7>0，所以可设t1，t2是上述方程的两根，‎ 则由题意得直线l过点(1,2)，结合t的几何意义得 ‎|PA|＋|PB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|‎ ‎＝＝ ‎＝≥＝2.‎ 所以|PA|＋|PB|的最小值为2.‎ ‎7．在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(其中θ为参数)，点M是曲线C1上的动点，点P在曲线C2上，且满足＝2，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l：θ＝.‎ ‎(1)求曲线C2的普通方程，射线l的参数方程；‎ ‎(2)射线l与曲线C1，C2分别交于A，B两点，求|AB|.‎ 解：(1)设P(x，y)，M(x′，y′)，‎ ‎∵＝2，∴ ‎∵点M在曲线C1上，‎ ‎∴ ‎∴(x′－1)2＋y′2＝3，‎ 故曲线C2的普通方程为(x－2)2＋y2＝12.‎ 由l：θ＝可得l：(t为参数且t≥0)．‎ ‎(2)(方法一)将l：(t为参数且t≥0)代入C1的方程得t2－t－2＝0，‎ ‎∵t≥0，∴t＝2.‎ 同理代入C2的方程得t2－2t－8＝0，‎ ‎∵t≥0，∴t＝4.‎ ‎∴|AB|＝4－2＝2.‎ ‎(方法二)曲线C1的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－2＝0，‎ 将θ＝代入得ρ＝2，‎ ‎∴A的极坐标为，‎ 曲线C2的极坐标方程为ρ2－4ρcos θ－8＝0，‎ 将θ＝代入得ρ＝4，‎ ‎∴B的极坐标为，‎ ‎∴|AB|＝4－2＝2.‎ ‎8．已知直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4sin.‎ ‎(1)求圆C的直角坐标方程；‎ ‎(2)点P(x，y)是直线l与圆面ρ≤4sin的公共点，求x＋y的取值范围．‎ 解：(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin，‎ 所以ρ2＝4ρsin＝4ρ.‎ 又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，‎ 所以x2＋y2＝2y－2x，‎ 所以圆C的直角坐标方程为x2＋y2＋2x－2y＝0.‎ ‎(2)设z＝x＋y，‎ 由圆C的方程x2＋y2＋2x－2y＝0，得 ‎(x＋1)2＋(y－)2＝4，‎ 所以圆C的圆心是(－1，)，半径是2.‎ 将代入z＝x＋y，得z＝－t.‎ 又直线l过C(－1，)，圆C的半径是2，‎ 所以－2≤t≤2，‎ 所以－2≤－t≤2，‎ 即x＋y的取值范围是[－2,2]．‎ ‎9．在平面直角坐标系xOy中，动圆x2＋y2－4xcos θ－4ysin θ＋7cos2θ－8＝0(θ∈R，θ为参数)的圆心轨迹为曲线C，点P在曲线C上运动．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，若直线l的极坐标方程为2ρcos＝3，求点P到直线l的最大距离．‎ 解：将动圆的方程配方，得 ‎(x－2cos θ)2＋(y－2sin θ)2＝9＋3sin2θ，‎ 设圆心(x，y)，则(θ∈R，θ为参数)，‎ 即曲线C的参数方程为(θ∈R，θ为参数)，‎ 直线l的直角坐标方程为x－y－3＝0，‎ 设点P(x1，y1)，则(θ∈R，θ为参数)，点P到直线l的距离d＝＝，‎ 其中tan φ＝－.‎ ‎∴当sin(θ＋φ)＝－1，点P到直线l的距离d取得最大值.‎ ‎§13.2　不等式选讲 课时1　绝对值不等式 ‎[知识梳理]‎ ‎1．绝对值不等式的解法 ‎(1)含绝对值的不等式|x|a的解集：‎ 不等式 a>0‎ a＝0‎ a<0‎ ‎|x|a ‎(－∞，－a)∪‎ ‎(a，＋∞)‎ ‎(－∞，0)∪‎ ‎(0，＋∞)‎ R ‎(2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；‎ ‎②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c；‎ ‎(3)|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法：‎ ‎①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；‎ ‎②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；‎ ‎③通过构造函数，利用函数的图像求解，体现了函数与方程的思想．‎ ‎2．含有绝对值的不等式的性质 ‎(1)如果a，b是实数，则|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．‎ ‎(2)如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．若存在实数x使|x－a|＋|x－1|≤3成立，求实数a的取值范围．‎ 解：∵|x－a|＋|x－1|≥|(x－a)－(x－1)|＝|a－1|，‎ 要使|x－a|＋|x－1|≤3有解，‎ 可使|a－1|≤3，∴－3≤a－1≤3，∴－2≤a≤4.‎ ‎2．(2016·高考全国乙卷)已知函数f (x)＝|x＋1|－|2x－3|.‎ ‎(1)画出y＝f (x)的图像；‎ ‎(2)求不等式|f (x)|>1的解集．‎ 解：(1)由题意得f (x)＝ 故y＝f (x)的图像如图所示．‎ ‎(2)由f (x)的函数表达式及图像可知，‎ 当f (x)＝1时，可得x＝1或x＝3；‎ 当f (x)＝－1时，可得x＝或x＝5.‎ 故f (x)>1的解集为{x|11的解集为.‎ ‎3．(2016·高考全国丙卷)已知函数f (x)＝|2x－a|＋a.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f (x)≤6的解集；‎ ‎(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f (x)＋g(x)≥3，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝2时，f (x)＝|2x－2|＋2.‎ 解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.‎ 因此f (x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}．‎ ‎(2)当x∈R时，‎ f (x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥‎ ‎|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，‎ 所以当x∈R时，f (x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①‎ 当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解．‎ 当a>1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.‎ 所以a的取值范围是[2，＋∞)．‎ 类型一　绝对值不等式的解法 ‎[例1]　设函数f (x)＝|x－a|＋3x，其中a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f (x)≥3x＋2的解集；‎ ‎(2)若不等式f (x)≤0的解集为{x|x≤－3}，求a的值．‎ 解　(1)当a＝1时，f (x)≥3x＋2可化为|x－1|≥2.‎ 由此可得x≥3或x≤－1.‎ 故不等式f (x)≥3x＋2的解集为 ‎{x|x≥3或x≤－1}．‎ ‎(2)由f (x)≤0得|x－a|＋3x≤0，‎ 此不等式化为不等式组 或 即或 因为a>0，‎ 所以不等式组的解集为，‎ 由题设可得－＝－3，故a＝6.‎ ‎1．(1)解不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集．‎ 解：当x<－2时，不等式等价于－(x－1)－(x＋2)≥5，解得x≤－3；‎ 当－2≤x＜1时，不等式等价于－(x－1)＋(x＋2)≥5，即3≥5，无解；‎ 当x≥1时，不等式等价于x－1＋x＋2≥5，解得x≥2.‎ 综上，不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}．‎ ‎(2)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，求a的值．‎ 解：∵|ax－2|<3，∴－10时，－3或 解得x>.‎ ‎(2)函数g(x)≤f (x)在x∈[－2,2]上恒成立，‎ 即|x＋a|－4≤|x－3|－|x＋1|在x∈[－2,2]上恒成立，在同一个坐标系中画出函数f (x)和g(x)的图像，如图所示．‎ 故当x∈[－2,2]时，若0≤－a≤4时，则函数g(x)在函数f (x)的图像的下方，g(x)≤f (x)在x∈[－2,2]上恒成立，‎ 求得－4≤a≤0，故所求的实数a的取值范围为[－4,0]．‎ ‎3．(2015·高考课标卷Ⅰ)已知函数f (x)＝|x＋1|－2|x－a|，a>0.‎ ‎(1)当a＝1时，求不等式f (x)>1的解集；‎ ‎(2)若f (x)的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f (x)＞1化为|x＋1|－2|x－1|－1＞0.‎ 当x≤－1时，不等式化为x－4＞0，无解；‎ 当－1＜x＜1时，不等式化为3x－2＞0，解得＜x＜1；‎ 当x≥1时，不等式化为－x＋2＞0，解得1≤x＜2.‎ 所以f (x)＞1的解集为＜x＜2.‎ ‎(2)由题设可得f (x)＝ 所以函数f (x)的图像与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A，B(2a＋1,0)，C(a，a＋1)，△ABC的面积为(a＋1)2.‎ 由题设得(a＋1)2＞6，故a＞2.‎ 所以a的取值范围为(2，＋∞)．‎ 思想方法　感悟提高 ‎1．绝对值不等式的三种常用解法：零点分段法，数形结合法，构造函数法．‎ ‎2．可以利用绝对值三角不等式定理|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|求函数最值，要注意其中等号成立的条件．‎ ‎3．不等式恒成立问题、存在性问题都可以转化为最值问题解决．‎ 课时规范训练[单独成册]‎ ‎[A组　基础演练]‎ ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．求不等式|x＋3|－|2x－1|＜＋1的解集．‎ 解：①当x<－3时，原不等式化为－(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<10，∴x<－3.‎ ‎②当－3≤x＜时，原不等式化为(x＋3)－(1－2x)<＋1，解得x<－，∴－3≤x＜－.‎ ‎③当x≥时，原不等式化为(x＋3)－(2x－1)<＋1，解得x>2，∴x>2.‎ 综上可知，原不等式的解集为.‎ ‎2．已知关于x的不等式|2x－m|≤1的整数解有且仅有一个值为2，求关于x的不等式|x－1|＋|x－3|≥m的解集．‎ 解：由不等式|2x－m|≤1，可得≤x≤，‎ ‎∵不等式的整数解为2，‎ ‎∴≤2≤，解得3≤m≤5.‎ 再由不等式仅有一个整数解2，∴m＝4，‎ 本题即解不等式|x－1|＋|x－3|≥4，‎ 当x<1时，不等式等价于1－x＋3－x≥4，‎ 解得x≤0，不等式解集为{x|x≤0}．‎ 当1≤x≤3时，不等式等价于x－1＋3－x≥4，‎ 解得x∈∅，不等式解集为∅.‎ 当x>3时，不等式等价于x－1＋x－3≥4，‎ 解得x≥4，不等式解集为{x|x≥4}．‎ 综上，原不等式解集为(－∞，0]∪[4，＋∞)．‎ ‎3．已知函数f (x)＝|x－3|－2，g(x)＝－|x＋1|＋4.‎ ‎(1)若函数f (x)的值不大于1，求x的取值范围；‎ ‎(2)若不等式f (x)－g(x)≥m＋1的解集为R，求m的取值范围．‎ 解：(1)由题意得f (x)≤1，即 ‎|x－3|－2≤1，得|x－3|≤3.‎ 由|x－3|≤3得，－3≤x－3≤3，即0≤x≤6，‎ 所以x的取值范围是[0,6]．‎ ‎(2)f (x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6.‎ 因为任意x∈R，由绝对值三角不等式得 f (x)－g(x)＝|x－3|＋|x＋1|－6‎ ‎＝|3－x|＋|x＋1|－6‎ ‎≥|(3－x)＋(x＋1)|－6‎ ‎＝4－6＝－2，‎ 于是有m＋1≤－2，得m≤－3，‎ 即m的取值范围是(－∞，－3]．‎ ‎4．设f (x)＝|x|＋2|x－a|(a>0)．‎ ‎(1)当a＝1时，解不等式f (x)≤8；‎ ‎(2)若f (x)≥6恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝1时，f (x)＝|x|＋2|x－1|＝ 所以f (x)≤8可转化成如下方程组，‎ 或 或 解得1≤x≤或01.‎ ‎(1)当a＝2时，求不等式f (x)≥4－|x－4|的解集；‎ ‎(2)已知关于x的不等式|f (2x＋a)－2f (x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值．‎ 解：(1)当a＝2时，‎ f (x)＋|x－4|＝|x－2|＋|x－4|＝ 当x≤2时，由f (x)≥4－|x－4|得－2x＋6≥4，解得x≤1；‎ 当21，所以|4x－2a|≤2，解得≤x≤.‎ 又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，‎ 所以解得a＝3.‎ ‎[B组　能力突破]‎ ‎(时间：30分钟)‎ ‎6．已知函数f (x)＝|x＋3|－|x－2|.‎ ‎(1)求不等式f (x)≥3的解集；‎ ‎(2)若f (x)≥|a－4|有解，求a的取值范围．‎ 解：(1)f (x)＝|x＋3|－|x－2|≥3，‎ 当x≥2时，有x＋3－(x－2)≥3，解得x≥2；‎ 当x≤－3时，－x－3＋(x－2)≥3，解得x∈∅；‎ 当－3－1，且当x∈时，f (x)≤g(x)，求a的取值范围．‎ 解：(1)当a＝－2时，不等式f (x)－1，则－<，‎ ‎∴f (x)＝|2x－1|＋|2x＋a|‎ ‎＝ 当x∈时，f (x)＝a＋1，‎ 即a＋1≤x＋3在x∈上恒成立．‎ ‎∴a＋1≤－＋3，即a≤，‎ ‎∴a的取值范围为.‎ ‎8．已知函数f (x)＝|x－a|.‎ ‎(1)若不等式f (x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}，求实数a的值；‎ ‎(2)在(1)的条件下，若f (x)＋f (x＋5)>m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．‎ 解：(1)由f (x)≤3，得|x－a|≤3，解得a－3≤x≤a＋3.‎ 又不等式f (x)≤3的解集为{x|－1≤x≤5}．‎ 所以解得a＝2.‎ 所以实数a的值为2.‎ ‎(2)当a＝2时，f (x)＝|x－2|.‎ 设g(x)＝f (x)＋f (x＋5)，于是 g(x)＝|x－2|＋|x＋3|‎ ‎＝ 其图像如图所示．‎ 由图像知，当x<－3时，g(x)>5；‎ 当－3≤x≤2时，g(x)＝5；‎ 当x>2时，g(x)>5.‎ 综上可得，g(x)的最小值为5.‎ 若f (x)＋f (x＋5)>m，即g(x)>m对一切实数x恒成立，则m的取值范围为(－∞，5)．‎ ‎9．已知函数f (x)＝|3x＋2|.‎ ‎(1)解不等式f (x)<4－|x－1|；‎ ‎(2)已知m＋n＝1(m，n>0)，若|x－a|－f (x)≤＋(a>0)恒成立，求实数a的取值范围．‎ 解：(1)不等式f (x)<4－|x－1|，即|3x＋2|＋|x－1|<4.‎ 当x<－时，即－3x－2－x＋1<4，‎ 解得－1时，即3x＋2＋x－1<4，无解．‎ 综上所述，x∈.‎ ‎(2)＋＝(m＋n)＝1＋1＋＋≥4，‎ 当且仅当m＝n＝时等号成立．‎ 令g(x)＝|x－a|－f (x)＝|x－a|－|3x＋2|＝‎ ‎∴x＝－时，g(x)max＝＋a，要使不等式恒成立，‎ 只需g(x)max＝＋a≤4，即0＜a≤.‎ 所以实数a的取值范围是.‎ 课时2　不等式的证明 ‎[知识梳理]‎ ‎1．不等式证明的方法 ‎(1)比较法：‎ ‎①求差比较法：‎ 知道a>b⇔a－b>0，ab，只要证明a－b>0即可，这种方法称为求差比较法．‎ ‎②求商比较法：‎ 由a>b>0⇔>1且a>0，b>0，因此当a>0，b>0时，要证明a>b，只要证明>1即可，这种方法称为求商比较法．‎ ‎(2)分析法：‎ 从所要证明的结论入手向已知条件反推直至达到已知条件为止，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法．‎ ‎(3)综合法：‎ 从已知条件出发，利用不等式的性质(或已知证明过的不等式)，推出了所要证明的结论，即“由因寻果”的方法．这种证明不等式的方法称为综合法．‎ ‎(4)放缩法和反证法：‎ 在证明不等式时，有时可以通过缩小(或放大)分式的分母(或分子)，或通过放大(或缩小)被减式(或减式)来证明不等式，这种证明不等式的方法称为放缩法．‎ 反证法是常用的证明方法．它是通过证明命题结论的否定不能成立，来肯定命题结论一定成立．其证明的步骤是：①作出否定结论的假设；②进行推理，导出矛盾；③否定假设，肯定结论．‎ ‎(5)数学归纳法：‎ 数学归纳法可以用于证明与正整数有关的命题．证明需要经过两个步骤：‎ ‎①验证当n取第一个值n0(如n0＝1或2等)时命题正确．‎ ‎②假设当n＝k时(k∈N＋，k≥n0)命题正确，证明当n＝k＋1时命题也正确．在完成了上述两个步骤之后，就可以断定命题对于从n0‎ 开始的所有正整数都正确．‎ ‎2．几个常用基本不等式 ‎(1)柯西不等式：‎ ‎①柯西不等式的代数形式：对任意实数a，b，c，d，有(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2(当向量(a，b)与向量(c，d)共线时，等号成立)．‎ ‎②柯西不等式的向量形式：设α，β是两个向量，则|α||β|≥|α·β|，当且仅当β是零向量，或存在实数k，使α＝kβ时，等号成立．‎ ‎③设a1，a2，…，an与b1，b2，…，bn是两组实数，则有(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当向量(a1，a2，…，an)与向量(b1，b2，…，bn)共线时，等号成立．‎ ‎(2)算术—几何平均不等式 若a1，a2，…，an为正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立．‎ ‎[基础自测]‎ ‎1．(2015·高考重庆卷)若函数f (x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝__________.‎ 解析：根据去绝对值符号后函数的图像求解．‎ 由于f (x)＝|x＋1|＋2|x－a|，‎ 当a>－1时，‎ f (x)＝ 作出f (x)的大致图像如图所示，‎ 由函数f (x)的图像可知f (a)＝5，‎ 即a＋1＝5，∴a＝4.‎ 同理，当a≤－1时，－a－1＝5，‎ ‎∴a＝－6.‎ 答案：－6或4‎ ‎2．已知a，b，m，n均为正数，且a＋b＝1，mn＝2，则(am＋bn)·(bm＋an)的最小值为________．‎ 解析：(am＋bn)(bm＋an)＝ab(m2＋n2)＋mn(a2＋b2)≥2mnab＋mn(a2＋b2)＝mn(a＋b)2＝mn＝2，‎ 当且仅当m＝n＝时等号成立．‎ 答案：2‎ ‎3．(2016·高考江苏卷)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|＜a.‎ 证明：因为|x－1|<，|y－2|<，‎ 所以|2x＋y－4|＝|2(x－1)＋(y－2)|≤2|x－1|＋|y－2|＜2×＋＝a.‎ ‎4．(2015·高考湖南卷)设a>0，b>0，且a＋b＝＋.‎ 证明：‎ ‎(1)a＋b≥2；‎ ‎(2)a2＋a<2与b2＋b<2不可能同时成立．‎ 证明：由a＋b＝＋＝，a>0，b>0，得ab＝1.‎ ‎(1)由基本不等式及ab＝1，有a＋b≥2＝2，即a＋b≥2.‎ ‎(2)假设a2＋a<2与b2＋b<2同时成立，则由a2＋a<2及a>0，得0－1；‎ 当－b>c，且a＋b＋c＝0，求证：0，‎ 只需证(a－b)(2a＋b)>0，‎ 只需证(a－b)(a－c)>0.‎ ‎∵a>b>c，‎ ‎∴a－b>0，a－c>0.‎ ‎∴(a－b)(a－c)>0显然成立，‎ 故原不等式成立．‎ 类型二　放缩法证明不等式 ‎[例2]　若a，b∈R，求证：≤＋.‎ 证明　当|a＋b|＝0时，不等式显然成立．‎ 当|a＋b|≠0时，‎ 由0<|a＋b|≤|a|＋|b|⇒≥，‎ 所以＝ ‎≤＝ ‎＝＋≤＋.‎ ‎[方法引航]　(1)在不等式的证明中，“放”和“缩”是常用的推证技巧．常见的放缩变换有：‎ ‎①变换分式的分子和分母，如<，>，<，>.上面不等式中k∈N＋，k>1；‎ ‎②利用函数的单调性；‎ ‎③真分数性质“若00，则<”．‎ ‎(2)在用放缩法证明不等式时，“放”和“缩”均需把握一个度．‎ ‎2．设n是正整数，求证：≤＋＋…＋<1.‎ 证明：由2n≥n＋k＞n(k＝1,2，…，n)，得 ≤＜.‎ 当k＝1时，≤＜；‎ 当k＝2时，≤＜；‎ ‎…‎ 当k＝n时，≤＜，‎ ‎∴＝≤＋＋…＋<＝1.‎ ‎∴原不等式成立．‎ 类型三　利用基本不等式、柯西不等式求最值 ‎[例3]　(1)已知a，b，c∈R，a＋2b＋‎3c＝6，则a2＋4b2＋‎9c2的最小值为________．‎ 解析　由柯西不等式(a2＋4b2＋9c2)(12＋12＋12)≥(a＋2b＋3c)2得3(a2＋4b2＋9c2)≥36，所以a2＋4b2＋9c2≥12，当且仅当a＝2b＝3c＝2时，a2＋4b2＋9c2取得最小值12.‎ 答案　12‎ ‎(2)若a>0，b>0，且＋＝.‎ ‎①求a3＋b3的最小值；‎ ‎②是否存在a，b，使得2a＋3b＝6？并说明理由．‎ 解　①由＝＋≥，得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．‎ 故a3＋b3≥2≥4，且当a＝b＝时等号成立．‎ 所以a3＋b3的最小值为4.‎ ‎②由(1)知，2a＋3b≥2≥4.‎ 由于4>6，从而不存在a，b，使得2a＋3b＝6.‎ ‎[方法引航]　利用基本不等式、柯西不等式求最值的方法 ‎(1)在运用基本不等式求函数的最大(小)值时，常需要对函数式作“添、裂、配、凑”变形，使其完全满足基本不等式要求的“正、定、等”三个条件．‎ ‎(2)在应用柯西不等式求最大值时，要注意符号成立的条件，柯西不等式在排列上规律明显，具有简洁、对称的美感，运用柯西不等式求解时，按照“一看、二构造、三判断、四运用”可快速求解此类问题．‎ ‎3．(2017·河北唐山模拟)已知x，y，z∈(0，＋∞)，x＋y＋z＝3.‎ ‎(1)求＋＋的最小值；‎ ‎(2)证明：3≤x2＋y2＋z2＜9.‎ 解：(1)因为x＋y＋z≥3>0，＋＋≥>0.‎ 所以(x＋y＋z)≥9，即＋＋≥3，‎ 当且仅当x＝y＝z＝1时，＋＋取得最小值3.‎ ‎(2)证明：x2＋y2＋z2＝‎ ‎≥＝＝3.‎ 又x2＋y2＋z2－9＝x2＋y2＋z2－(x＋y＋z)2＝－2(xy＋yz＋zx)<0.‎ 所以3≤x2＋y2＋z2＜9.‎ 思想方法　感悟提高 ‎　证明不等式的方法和技巧：‎ ‎(1)如果已知条件与待证明的结论直接联系不明显，可考虑用分析法；如果待证的命题以“至少”“至多”等方式给出或否定性命题、唯一性命题，则考虑用反证法；如果待证不等式与自然数有关，则考虑用数学归纳法等．‎ ‎(2)在必要的情况下，可能还需要使用换元法、构造法等技巧简化对问题的表述和证明．尤其是对含绝对值 不等式的解法或证明，其简化的基本思路是去绝对值号，转化为常见的不等式(组)求解．多以绝对值的几何意义或“找零点、分区间、逐个解、并起来”为简化策略，而绝对值三角不等式，往往作为不等式放缩的依据．‎ ‎(3)在使用基本不等式时，等号成立的条件是一直要注意的事情，特别是连续使用时，要求分析每次使用时等号是否成立．‎ ‎(4)柯西不等式使用的关键是出现其结构形式，也要注意等号成立的条件．‎ 课时规范训练[单独成册]‎ ‎[A组　基础演练]‎ ‎(时间：40分钟)‎ ‎1．设a＋b＝2，b>0，当＋取得最小值时，求a的值．‎ 解：由于a＋b＝2，所以＋＝＋＝＋＋，由于b>0，|a|>0，所以＋≥2 ＝1，因此当a>0时，＋的最小值是＋1＝；当a<0时，＋的最小值是－＋1＝.故＋的最小值为，此时即a＝－2.‎ ‎2．设不等式|2x－1|<1的解集为M.‎ ‎(1)求集合M.‎ ‎(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．‎ 解：(1)由|2x－1|<1得－1<2x－1<1，‎ 解得00.‎ 故ab＋1>a＋b.‎ ‎3．设a、b、c是正实数，且a＋b＋c＝9，求＋＋的最小值．‎ 解：∵(a＋b＋c) ‎＝[()2＋()2＋()2]·‎ ‎≥2＝18.‎ ‎∴＋＋≥2.‎ ‎∴＋＋的最小值为2.‎ ‎4．已知函数f (x)＝m－|x－2|，m∈R，且f (x＋2)≥0的解集为[－1,1]．‎ ‎(1)求m的值；‎ ‎(2)若a，b，c∈(0，＋∞)，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋‎3c≥9.‎ 解：(1)由题知f (x＋2)＝m－|x|，f (x＋2)≥0等价于|x|≤m.‎ 由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．‎ 又f (x＋2)≥0的解集为[－1,1]，‎ 故m＝1.‎ ‎(2)证明：由(1)知＋＋＝1，‎ 又a，b，c∈(0，＋∞)，由柯西不等式得 a＋2b＋‎3c＝(a＋2b＋‎3c) ‎≥2＝9.‎ ‎5．已知定义在R上的函数f (x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a.‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3.‎ 解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，‎ 所以f (x)的最小值等于3，即a＝3.‎ ‎(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，又因为p，q，r是正实数，‎ 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3.‎ ‎[B组　能力突破]‎ ‎(时间：40分钟)‎ ‎6．设不等式－2<|x－1|－|x＋2|<0的解集为M，a，b∈M.‎ ‎(1)证明：<；‎ ‎(2)比较|1－4ab|与2|a－b|的大小，请说明理由．‎ 解：(1)证明：记f (x)＝|x－1|－|x＋2|‎ ‎＝ 由－2<－2x－1<0，‎ 解得－0，‎ 所以|1－4ab|2>4|a－b|2，‎ 故|1－4ab|>2|a－b|.‎ ‎7．已知关于x的不等式：|2x－m|≤1的整数解有且仅有一个值为2.‎ ‎(1)求整数m的值；‎ ‎(2)已知a，b，c∈R，若‎4a4＋4b4＋‎4c4＝m，求a2＋b2＋c2的最大值．‎ 解：(1)由|2x－m|≤1，‎ 得≤x≤.‎ ‎∵不等式的整数解为2，‎ ‎∴≤2≤⇔3≤m≤5.‎ 又不等式仅有一个整数解2，‎ ‎∴m＝4.‎ ‎(2)由(1)知，m＝4，故a4＋b4＋c4＝1，‎ 由柯西不等式可知，‎ ‎(a2＋b2＋c2)2≤(12＋12＋12)[(a2)2＋(b2)2＋(c2)2]，‎ 所以(a2＋b2＋c2)2≤3，‎ 即a2＋b2＋c2≤，‎ 当且仅当a2＝b2＝c2＝时取等号，最大值为.‎ ‎8．设a，b，c，d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：‎ ‎(1)若ab>cd，则＋>＋；‎ ‎(2)＋>＋是|a－b|<|c－d|的充要条件．‎ 解：(1)因为(＋)2＝a＋b＋2，‎ ‎(＋)2＝c＋d＋2，‎ 由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd，‎ 得(＋)2＞(＋)2.‎ 因此＋＞＋.‎ ‎(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，‎ 即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.‎ 由(1)，得＋＞＋.‎ ‎②若＋＞＋，则(＋)2＞(＋)2，‎ 即a＋b＋2＞c＋d＋2.‎ 因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.‎ 于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.‎ 因此|a－b|＜|c－d|.‎ 综上，＋＞＋是|a－b|＜|c－d|的充要条件．‎ ‎9．(1)关于x的不等式|x－3|＋|x－4|1，即a的取值范围是(1，＋∞)．‎ ‎(2)由柯西不等式，得 ‎[42＋()2＋22]· ‎≥2‎ ‎＝(x＋y＋z)2，‎ 即25×1≥(x＋y＋z)2.‎ ‎∴5≥|x＋y＋z|，‎ ‎∴－5≤x＋y＋z≤5.‎ ‎ ∴x＋y＋z的取值范围是[－5,5]．‎