2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二下学期期中考试数学（文）试题（解析版） 14页

‎2018-2019学年福建省宁德市高中同心顺联盟校高二下学期期中考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．在复平面内，复数对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：，在复平面内对应的点为，位于第一象限。故A正确。‎ ‎【考点】复数的运算。‎ ‎2．一个物体的位移(米)与时间(秒)的关系为，则该物体在3秒末的瞬时速度是（ ）‎ A．3米/秒 B．4米/秒 C．5米/秒 D．6米/秒 ‎【答案】B ‎【解析】对函数求导，将代入导函数，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为关于的函数为：，‎ 所以，‎ 因此，物体在3秒末的瞬时速度是.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查物体的瞬时速度，根据导函数的几何意义即可求解，属于基础题型.‎ ‎3．曲线在点处的切线斜率为（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】A ‎【解析】先对函数求导，再将代入导函数，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因此，曲线在点处的切线斜率为.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查曲线在某点处的切线斜率，熟记导数的几何意义即可，属于基础题型.‎ ‎4．设的周长为，的面积为，内切圆半径为，则，类比这个结论可知：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，则等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】用类比推理的方法，即可直接写出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为的周长为，的面积为，内切圆半径为，则；‎ 类比可得：四面体的表面积分别为，内切球半径为，体积为，‎ 则.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查类比推理，熟记类比推理的方法即可，属于常考题型.‎ ‎5．函数的单调递增区间为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】求得，令，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 令，即且，解得，‎ 即函数的单调递增区间为，故选D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数求解函数的单调区间，其中解答中熟记导数和函数的单调性之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎6．已知 (为虚数单位)，则复数的共轭复数等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据复数的除法运算，先得到，再由共轭复数的概念，即可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，‎ 所以 因此，复数的共轭复数等于.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的除法运算，以及共轭复数的计算，熟记除法运算法则以及共轭复数的概念即可，属于常考题型.‎ ‎7．函数的最小值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先对函数求导，用导数的方法研究函数的单调性，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 由得；由得；‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增；‎ 此时函数有极小值，也即是最小值为.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，利用导数的方法研究函数单调性，以及函数最值即可，属于常考题型.‎ ‎8．若大前提是“任何实数的绝对值都大于0”，小前提是“”，结论是“”，那么这个演绎推理(　　)‎ A．大前提错误 B．小前提错误 C．推理形式错误 D．没有错误 ‎【答案】A ‎【解析】根据题中三段论，可直接判断出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎0是实数，但0的绝对值仍然是0；因此大前提“任何实数的绝对值都大于0”错误.‎ 故选A ‎【点睛】‎ 本题主要考查演绎推理，会分析三段论即可，属于常考题型.‎ ‎9．函数在内有极小值，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】求得函数的导数，要使得函数在内有极小值，则满足，即可求解，得到答案．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数，则，‎ 要使得函数在内有极小值，则满足，‎ 解答，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数研究函数的极值问题，其中解答中熟记导数与函数的极值之间的关系，以及极值的概念是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．‎ ‎10．用反证法证明命题“设为实数，则方程至多有一个实根”时，要做的假设是 A．方程没有实根 B．方程至多有一个实根 C．方程至多有两个实根 D．方程恰好有两个实根 ‎【答案】D ‎【解析】反证法证明命题时，首先需要反设，即是假设原命题的否定成立.‎ ‎【详解】‎ 命题“设为实数，则方程至多有一个实根”的否定为“设为实数，则方程恰好有两个实根”；‎ 因此，用反证法证明原命题时，只需假设方程恰好有两个实根.‎ 故选D ‎【点睛】‎ 本题主要考查反证法，熟记反设的思想，找原命题的否定即可，属于基础题型.‎ ‎11．直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A．1 B．－1 C．2 D．－2‎ ‎【答案】C ‎【解析】先由直线与曲线相切于点，求出；再对求导，根据题意列出方程组，即可求出的值，得出结果.‎ ‎【详解】‎ 直线与曲线相切于点，‎ 所以，解得；‎ 又由得，‎ 由题意可得，解得，‎ 所以.‎ 故选C ‎【点睛】‎ 本题主要考查已知曲线在某点处的切线求参数的问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎12．函数的定义域为，对任意则的解集为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】先构造，对求导，根据题中条件，判断 单调性，再由求出进而可结合函数单调性解不等式.‎ ‎【详解】‎ 令，则，‎ 因为对任意 所以对任意恒成立；‎ 因此，函数在上单调递增；‎ 又所以，‎ 因此不等式可化为，‎ 所以.‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的应用，以及导数的方法研究函数的单调性，熟记函数单调性即可，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．若复数 ()，则=_________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先由复数相等，求出的值，再由复数的除法运算，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 因为复数 ()，‎ 所以，解得，‎ 因此.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数相等与复数的除法，熟记复数相等的充要条件以及复数的除法运算法则即可，属于基础题型.‎ ‎14．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数 在内有________个极大值点。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先记导函数与轴交点依次是，且；根据导函数图像，确定函数单调性，进而可得出结果.‎ ‎【详解】‎ 记导函数与轴交点依次是，且；‎ 由导函数图像可得：‎ 当时，，则单调递增；‎ 当时，，则单调递减；‎ 当时，，则单调递增；‎ 当时，，则单调递减；‎ 所以，当或，原函数取得极大值，即极大值点有两个.‎ 故答案为2‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导函数与原函数间的关系，熟记导数的方法研究函数单调性与极值即可，属于常考题型.‎ ‎15．曲线上的任意一点处切线的倾斜角的取值范围是______。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先对函数求导，根据其导函数的范围，求出切线斜率的范围，进而可得倾斜角范围.‎ ‎【详解】‎ 因为，则 所以曲线上的任意一点处切线的斜率为，‎ 记切线的倾斜角为，则，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查曲线上任一点切线的倾斜角问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎16．如图所示的数阵中，第21行第2个数字是________。‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据题中所给数据，找到每一行第二个数的分母对应的规律，即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 由题中数据可得：‎ 第2行第2个数的分母为，‎ 第3行第2个数的分母为，‎ 第4行第2个数的分母为，‎ 第5行第2个数的分母为，‎ ‎….‎ 归纳可得：第n行第2个数的分母为，‎ 因此，第21行第2个数字的分母为.‎ 故答案为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查归纳推理，只需由题中数据找出规律即可，属于常考题型.‎ 三、解答题 ‎17．用分析法证明。‎ ‎【答案】见证明 ‎【解析】用分析法证明，直到推出显然成立的结论，即可.‎ ‎【详解】‎ 证明：要证，只要证 ‎ 只要证 只要证 ‎ 只要证 ‎ 只要证显然成立，故原结论成立。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查分析法证明不等式，只需熟记分析法的一般步骤即可，属于常考题型.‎ ‎18．若复数，，且为纯虚数，‎ ‎(Ⅰ)求的值；‎ ‎（Ⅱ）求。‎ ‎【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）13‎ ‎【解析】(Ⅰ)先由复数的除法运算，将化为，再根据复数的分类，即可得出结果；‎ ‎（Ⅱ）根据(Ⅰ)的结果，结合复数的乘法运算，得到，进而可得到出结果.‎ ‎【详解】‎ 解:(Ⅰ) 由为纯虚数， ‎ 得 ‎ ‎（Ⅱ）由(Ⅰ)知: ‎ 又，‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数分类、复数的乘除运算，以及复数的模，熟记复数的运算法则，以及复数的分类即可，属于常考题型.‎ ‎19．已知函数.‎ ‎（I）求在处的切线方程；‎ ‎（II）讨论函数的单调性。‎ ‎【答案】（I）（Ⅱ）在和上单调递增，在和上单调递增 ‎【解析】（I）求得函数的导数，得到，利用直线的点斜式方程，即可求解在处的切线方程；‎ ‎（II）设，求得则，令，解得，进而可求得函数的单调区间．‎ ‎【详解】‎ ‎（I）由题意，函数，得，可得，‎ 故在处的切线方程为，即．‎ ‎（II）设，‎ 则 令，解得 则随的变化情况如下表： ‎ 极小 极大 极小 所以在和上单调递增，在和上单调递增．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了利用导数的几何意义求解切线的方程，以及利用导数求解函数的单调性，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性与，以及函数单调性，求解参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎20．已知函数（为实数）。‎ ‎（Ⅰ）若在处取得极值，求的值；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性。‎ ‎【答案】(Ⅰ) （Ⅱ）见解析 ‎【解析】（Ⅰ）先对函数求导，根据题意得到，进而可求出结果；‎ ‎（Ⅱ）对函数求导，得到，分别讨论，和三种情况，即可判断出函数的单调性.‎ ‎【详解】‎ 解：(Ⅰ) ， ‎ 由在处取得极值，有，‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ）易知 令，解得 ‎①当时，有，有，故在上单调递增；‎ ‎②当时，有，随的变化情况如下表： ‎ 极大 极小 由上表可知在和上单调递增，在上单调递减； ‎ ‎③同②当时，有，‎ 有在和上单调递增，在上单调递减； ‎ 综上，当时，在和上单调递增，在上单调递减；‎ 当时，在上单调递增；‎ 当时，在和上单调递增，在上单调递减。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，根据函数的极值点求参数，以及用导数的方法研究函数的单调性，灵活运用分类讨论的思想即可求解，属于常考题型.‎ ‎21．某地需要修建一条大型输油管道通过120公里宽的沙漠地带，该段输油管道两端的输油站已建好，余下工程只需要在该段两端已建好的输油站之间铺设输油管道和等距离修建增压站（又称泵站）。经预算，修建一个增压站的工程费用为400万元，铺设距离为公里的相邻两增压站之间的输油管道费用为万元。设余下工程的总费用为万元。‎ ‎（I）试将表示成关于的函数；‎ ‎（II）需要修建多少个増压站才能使总费用最小？‎ ‎【答案】（I）（Ⅱ）5个 ‎【解析】(Ⅰ)依题意可知余下工程有段管道，有个增压站，即可求得余下工程的总费用，得到函数的解析式；‎ ‎ (Ⅱ)由(Ⅰ)知，求得，令，解得，‎ 得出函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎(Ⅰ)依题意可知余下工程有段管道，有个增压站， ‎ 故余下工程的总费用为，‎ 所以将表示成关于的函数 ，‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，有，‎ 令，解得，‎ 随的变化情况如下表： ‎ ‎20‎ 极小 由上表易知，函数在时取得最小值，此时， ‎ 故需要修建5个増压站才能使总费用最小．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了导数的实际应用问题，其中解答中根据题意，得出函数的解析式，合理利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题．‎ ‎22．已知函数 ‎(Ⅰ)当时，求的极值；‎ ‎(Ⅱ)若在区间上是增函数，求实数的取值范围。‎ ‎【答案】(Ⅰ) 极小值，无极大值（Ⅱ）‎ ‎【解析】(Ⅰ)将代入原函数，再对求导，用导数的方法判断的单调性，进而可得出其极值；‎ ‎(Ⅱ)先对求导，根据题意得到在恒成立；分离参数得到在恒成立，再设，只需用导数的方法求出在上的最大值即可.‎ ‎【详解】‎ 解：（I）当时，，，‎ 令，有 随的变化情况如下表： ‎ 极小 由上表易知，函数在时取得极小值，无极大值；‎ ‎（II）由，有， ‎ 由题设在区间上是增函数，可知在恒成立；‎ 故在恒成立，‎ 设，则只需， ‎ ‎，令，有，‎ 随的变化情况如下表： ‎ 极小 又，，故，故 ‎ 实数的取值范围为。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查导数的应用，通常需要对函数求导，用导数的方法研究函数单调性、极值、最值等，属于常考题型.‎