2017-2018学年山东省济南第一中学高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版 20页

绝密★启用前 山东省济南第一中学2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设复数满足，则（ ）‎ A. B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先根据复数除法得，再根据复数的模求结果.‎ 详解：因为，所以,‎ 因此 选D.‎ 点睛：首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎2．某工厂生产的零件外直径（单位：）服从正态分布，今从该厂上、下午生产的零件中各随机取出一个，测得其外直径分别为和，则可认为（ ）‎ A. 上午生产情况异常，下午生产情况正常 B. 上午生产情况正常，下午生产情况异常 C. 上、下午生产情况均正常 D. 上、下午生产情况均异常 ‎【答案】B ‎【解析】分析：根据3σ原则判断.‎ 详解：因为服从正态分布，‎ 所以 所以上午生产情况正常，下午生产情况异常,‎ 选B.‎ 点睛：利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.‎ ‎3．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设为正面向上的次数，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先确定随机变量得取法，再根据独立重复试验求概率.‎ 详解：因为 所以 选C.‎ 点睛：次独立重复试验事件A恰好发生次得概率为.‎ 其中为1次试验种A发生得概率.‎ ‎4．为了弘扬我国优秀传统文化，某中学广播站在春节、元宵节、清明节、端午节、中秋节五个中国传统节日中，随机选取两个节日来讲解其文化内涵，那么春节和端午节恰有一个被选中的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：先根据组合数确定随机选取两个节日总事件数，再求春节和端午节恰有一个被选中的事件数，最后根据古典概型概率公式求结果.‎ 详解：因为五个中国传统节日中，随机选取两个节日共有种，春节和端午节恰有一个被选中的选法有,所以所求概率为 选C.‎ 点睛：古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎(4)排列组合法：适用于限制条件较多且元素数目较多的题目.‎ ‎5．设的三边长分别为，，，面积为，内切圆半径为，则.类比这个结论可知：四面体的四个面的面积分别为，，，，体积为，内切球半径为，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】的三条边长，，类比为四面体的四个面的面积，，，，三角形面积公式中的系数类比为三棱锥体积公式中的系数，从而可知．‎ 证明如下：以四面体各面为底，内切球心为顶点的各三棱锥体积的和为，则，故．故选C．‎ ‎6．由直线与曲线围成的封闭图形的面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先求曲线交点，再确定被积上下限，最后根据定积分求面积.‎ 详解：因为，所以 所以由直线与曲线围成的封闭图形的面积是 ‎,‎ 选B.‎ 点睛：利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数．当图形的边界不同时，要分不同情况讨论．‎ ‎7．函数，则在点处的切线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先求导数，根据导数几何意义得切线斜率，再根据点斜式求切线方程.‎ 详解：因为，所以 所以切线方程为 选A.‎ 点睛：求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异，过点P的切线中，点P不一定是切点，点P也不一定在已知曲线上，而在点P处的切线，必以点P为切点.‎ ‎8．在二项式的展开式中，各项系数之和为，二项式系数之和为，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据赋值法得各项系数之和，再根据二项式系数性质得，最后根据解出 详解：因为各项系数之和为，二项式系数之和为,‎ 因为，所以,‎ 选A.‎ 点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法， 只需令即可；对形如的式子求其展开式各项系数之和，只需令 即可.‎ ‎9．一个盒子里装有大小、形状、质地相同的个球，其中黄球个，篮球个，绿球个.现从盒子中随机取出两个球，记事件为“取出的两个球颜色不同”，事件为“取出一个黄球，一个绿球”，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先求取出的两个球颜色不同得概率，再求取出一个黄球，一个绿球得概率可，最后根据条件概率公式求结果.‎ 详解：因为 所以,‎ 选D.‎ 点睛：本题考查条件概率计算公式，考查基本求解能力.‎ ‎10．已知是定义在上的可导函数，的图象如图所示，则的单调减区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】分析：先根据图像求出，即得，也即得结果.‎ 详解：因为当时，，所以当时，，‎ 所以的单调减区间是，‎ 选B.‎ 点睛：函数单调性问题，往往转化为导函数符号是否变号或怎样变号问题，经常转化为解方程或不等式.‎ ‎11．甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，决出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军”；对乙说：“你当然不会是最差的”.从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情形种数共有（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：先排乙，再排甲，最后排剩余三人.‎ 详解：先排乙，有种，再排甲，有种，最后排剩余三人，有种 因此共有，‎ 选D.‎ 点睛：求解排列、组合问题常用的解题方法：‎ ‎(1)元素相邻的排列问题——“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题——“插空法”；(3)元素有顺序限制的排列问题——“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题——“间接法”； （5） “在”与“不在”问题——“分类法”.‎ ‎12．已知定义在上的函数的导函数为，满足，且，则不等式的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先构造函数，再根据函数单调性解不等式.‎ 详解：令，因为，‎ 所以 因此解集为 ，‎ 选A.‎ 点睛：利用导数解抽象函数不等式，实质是利用导数研究对应函数单调性，而对应函数需要构造. 构造辅助函数常根据导数法则进行：如构造，‎ 构造，构造，构造等 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．随机变量，变量，是__________．‎ ‎【答案】40‎ ‎【解析】分析：先根据二项分布得,再根据，得 详解：因为，所以，‎ 因为，所以 点睛：二项分布)，则此随机变量的期望可直接利用这种典型分布的期望公式.‎ ‎14．二项式展开式中含项的系数是__________．‎ ‎【答案】210.‎ ‎【解析】分析：先根据二项展开式通项公式得含项的项数，再代入得系数 详解：因为，所以 因此含项的系数是.‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎15．已知函数的导函数为，且满足，则__________．‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】分析：先求导数，解得，代入解得.‎ 详解：因为，所以 所以 因此，‎ 点睛：利用导数的几何意义解题，主要是利用导数、切点坐标、切线斜率之间的关系来进行转化.‎ ‎16．设，若随机变量的分布列是：‎ 则当变化时，的极大值是______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析:先求出,再求,利用二次函数的图像求的极大值.‎ 详解:由题得,‎ 所以 所以当时,的极大值是.‎ 故答案为：.‎ 点睛：（1）本题主要考查离散型随机变量的方差的计算，意在考查学生对这些知识的掌握水平和基本的计算能力.(2) 对于离散型随机变量，如果它所有可能取的值是，，…，，…，且取这些值的概率分别是，，…，，那么＝＋＋…＋‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知数列满足，，.‎ ‎（1）求，，；‎ ‎（2）判断数列是否为等比数列，并说明理由.‎ ‎【答案】(1) ，，.‎ ‎(2) 是首项为，公比为的等比数列；理由见解析.‎ ‎【解析】分析：（1）先根据递推关系式求，，；，再求，，；（2）根据等比数列定义证明为等比数列.‎ 详解： (1）由条件可得：，‎ 将代入，得，而，∴，‎ 将代入，得，∴，‎ ‎∴，，.‎ ‎（2）是首项为2，公比为3的等比数列.‎ 由条件可得：，即，‎ 又，∴是首项为2，公比为3的等比数列.‎ 点睛：证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可.‎ 等比数列的判定方法 ‎18．已知函数，且当时，取得极值为.‎ ‎（1）求的解析式；‎ ‎（2）若关于的方程在上有两个不同的实数解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：(1)先根据导数几何意义得 ，再与函数值 联立方程组解得的解析式；(2)先化简方程得，再利用导数研究函数在上单调性，结合函数图像确定条件，解得结果.‎ 详解：（1），‎ 由题意得，，即，‎ 解得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）由有两个不同的实数解，‎ 得在上有两个不同的实数解，‎ 设，‎ 由，‎ 由，得或，‎ 当时，，则在上递增，‎ 当时，，则在上递减，‎ 由题意得，即，‎ 解得，‎ 点睛：涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎19．对某种书籍的成本费（元）与印刷册数（千册）的数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值.‎ 表中.‎ 为了预测印刷20千册时每册的成本费，建立了两个回归模型：.‎ ‎（1）根据散点图，拟认为选择哪个模型预测更可靠?（只选出模型即可）‎ ‎（2）根据所给数据和（1）中的模型选择，求关于的回归方程，并预测印刷20千册时每册的成本费.‎ 附：对于一组数据，其回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，.‎ ‎【答案】（1）模型更可靠.（2），1.6‎ ‎【解析】分析: (1)根据散点图的形状得到选择模型更可靠.(2) 令，则建立关于的线性回归方程，求得关于的线性回归方程为，再求出求关于的回归方程，令x=20，求出的值，得到印刷20千册时每册的成本费.‎ 详解：（1）由散点图可以判断，模型更可靠.‎ ‎（2）令，则建立关于的线性回归方程，‎ 则，‎ ‎∴‎ ‎∴关于的线性回归方程为，‎ 因此，关于的回归方程为 当时，该书每册的成本费元.‎ 点睛：（1）本题主要考查线性回归方程的求法，考查非线性回归方程的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.（2）建立非线性回归模型的基本步骤：①确定研究对象，明确哪个是解释变量，哪个是预报变量；②画出确定好的解释变量和预报变量的散点图，观察它们之间的关系（是否存在非线性关系）；③由经验确定非线性回归方程的类型（如我们观察到数据呈非线性关系，一般选用反比例函数、指数函数、对数函数模型等）；‎ ‎④通过换元，将非线性回归方程模型转化为线性回归方程模型；⑤按照公式计算线性回归方程中的参数（如最小二乘法），得到线性回归方程；⑥消去新元，得到非线性回归方程；⑦得出结果后分析残差图是否有异常.若存在异常，则检查数据是否有误，或模型是否合适等.‎ ‎20．某大学餐饮中心为了了解新生的饮食习惯，在某学院大一年级名学生中进行了抽样调查，发现喜欢甜品的占.这名学生中南方学生共人。南方学生中有 人不喜欢甜品.‎ ‎（1）完成下列列联表：‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 北方学生 合计 ‎（2）根据表中数据，问是否有的把握认为“南方学生和北方学生在选用甜品的饮食习惯方面有差异”；‎ ‎（3）已知在被调查的南方学生中有名数学系的学生，其中名不喜欢甜品；有名物理系的学生，其中名不喜欢甜品.现从这两个系的学生中，各随机抽取人，记抽出的人中不喜欢甜品的人数为，求的分布列和数学期望.‎ 附：.‎ ‎0.15‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】(1)列联表见解析.‎ ‎(2) 有的把认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”.‎ ‎(3)分布列见解析；.‎ ‎【解析】分析：（1）根据数据填写表格，（2）根据卡方公式得，再与参考数据比较得可靠率，（3）先列随机变量可能取法，再利用组合数求对应概率，最后根据数学期望公式求期望.‎ 详解：（1）‎ 喜欢甜品 不喜欢甜品 合计 南方学生 ‎60‎ ‎20‎ ‎80‎ 北方学生 ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ 合计 ‎70‎ ‎30‎ ‎100‎ ‎（2）由题意，‎ ‎，‎ ‎∴有的把握认为“南方学生和北方学生在选甜品的饮食习惯方面有差异”.‎ ‎（3）的所有可能取值为0，1，2，3，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 则的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 所以的数学期望.‎ 点睛：求解离散型随机变量的数学期望的一般步骤为：‎ 第一步是“判断取值”，即判断随机变量的所有可能取值，以及取每个值所表示的意义；‎ 第二步是“探求概率”，即利用排列组合、枚举法、概率公式(常见的有古典概型公式、几何概型公式、互斥事件的概率和公式、独立事件的概率积公式，以及对立事件的概率公式等)，求出随机变量取每个值时的概率；‎ 第三步是“写分布列”，即按规范形式写出分布列，并注意用分布列的性质检验所求的分布列或某事件的概率是否正确；‎ 第四步是“求期望值”，一般利用离散型随机变量的数学期望的定义求期望的值.‎ ‎21．已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个极值点，，且，证明：.‎ ‎【答案】（1）见解析.（2）见解析.‎ ‎【解析】分析：(1)先求导数，再根据二次方程 =0根得情况分类讨论：当时，.∴在上单调递减. 当时，根据两根大小再分类讨论对应单调区间， (2)先化简不等式消m得，再利用导数研究，单调性，得其最小值大于-1，即证得结果.‎ 详解：（1）由，得 ‎ ，.‎ 设，.‎ 当时，即时，，.‎ ‎∴在上单调递减.‎ 当时，即时，‎ 令，得，，.‎ 当时，，‎ 在上，，在上，，‎ ‎∴在上单调递增，在上单调递减.‎ 综上，当时，在上单调递减，‎ 当时，在，上单调递减，在上单调递增，‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎（2）∵有两个极值点，，且，‎ ‎∴由（1）知有两个不同的零点，，‎ ‎，，且，此时，，‎ 要证明，只要证明.‎ ‎∵，∴只要证明成立.‎ ‎∵，∴.‎ 设，，‎ 则，‎ 当时，，‎ ‎∴在上单调递增，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴有两个极值点，，且时，.‎ 点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，是过点且倾斜角为的直线.以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的参数方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）若直线与曲线交于两点，，求.‎ ‎【答案】(1) （为参数）；.‎ ‎(2) .‎ ‎【解析】分析：(1)先根据倾斜角写直线的参数方程，根据，将曲线极坐标方程化为直角坐标方程，(2)将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程，根据参数几何意义以及韦达定理得.‎ 详解：（1）直线的参数方程为（为参数）.‎ 由曲线的极坐标方程，得，‎ 把，，代入得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把代入圆的方程得，‎ 化简得，‎ 设，两点对应的参数分别为，，‎ 则，‎ ‎∴，，‎ 则.‎ 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程是.(t是参数，t可正、可负、可为0)‎ 若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则 ‎(1)M1，M2两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α).‎ ‎(2)|M1M2|＝|t1－t2|.‎ ‎(3)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则t＝，中点M到定点M0的距离|MM0|＝|t|＝.‎ ‎(4)若M0为线段M1M2的中点，则t1＋t2＝0.‎ ‎23．已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）当时，不等式对恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】分析：（1）利用零点分类讨论法解不等式.(2)先利用分段函数求得，再解不等式得到实数的取值范围.‎ 详解：（1）当时，由得，‎ 故有或或 ‎∴或或，‎ ‎∴或，‎ ‎∴的解集为或.‎ ‎（2）当时 ‎∴‎ 由得 ‎∴‎ ‎∴的取值范围为.‎ 点睛：（1）本题主要考查绝对值不等式的解法，考查分段函数的最值的求法，考查不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分类讨论的思想方法.(2)解题的关键是求的最小值，这里要利用分段函数的图像求解.‎