【数学】2020届一轮复习（文）人教通用版4-5-2简单的三角恒等变换学案 13页

第2课时　简单的三角恒等变换 题型一　三角函数式的化简 ‎1．化简：＝ .‎ 答案　2cos α 解析　原式＝＝2cos α.‎ ‎2．化简：＝ .‎ 答案　cos 2x 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ ‎3．化简：－2cos(α＋β)．‎ 解　原式＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ 思维升华 (1)三角函数式的化简要遵循“三看”原则 一看角，二看名，三看式子结构与特征．‎ ‎(2)三角函数式的化简要注意观察条件中角之间的联系(和、差、倍、互余、互补等)，寻找式子和三角函数公式之间的共同点．‎ 题型二　三角函数的求值 命题点1　给角求值与给值求值 例1 (1)(2018·阜新质检)[2sin 50°＋sin 10°(1＋tan 10°)]·＝ .‎ 答案　 解析　原式＝·‎ sin 80°＝·‎ cos 10°＝2[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]‎ ‎＝2sin(50°＋10°)＝2×＝.‎ ‎(2)(2018·赤峰模拟)已知cos＝，θ∈，则sin＝ .‎ 答案　 解析　由题意可得cos2＝＝，cos＝－sin 2θ＝－，即sin 2θ＝.‎ 因为cos＝>0，θ∈，‎ 所以0<θ<，2θ∈，‎ 根据同角三角函数基本关系式，可得cos 2θ＝，‎ 由两角差的正弦公式，可得 sin＝sin 2θcos －cos 2θsin ‎＝×－×＝.‎ 命题点2　给值求角 例2 (1)设α，β为钝角，且sin α＝，cos β＝－，则α＋β的值为(　　)‎ A. B. C. D.或 答案　C 解析　∵α，β为钝角，sin α＝，cos β＝－，‎ ‎∴cos α＝－，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝>0.‎ 又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈，‎ ‎∴α＋β＝.‎ ‎(2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，则2α－β的值为 ．‎ 答案　－ 解析　∵tan α＝tan[(α－β)＋β]‎ ‎＝＝＝>0，‎ ‎∴0<α<.‎ 又∵tan 2α＝＝＝>0，‎ ‎∴0<2α<，‎ ‎∴tan(2α－β)＝＝＝1.‎ ‎∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0，‎ ‎∴2α－β＝－.‎ 引申探究 本例(1)中，若α，β为锐角，sin α＝，cos β＝，则α＋β＝ .‎ 答案　 解析　∵α，β为锐角，∴cos α＝，sin β＝，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ‎＝×－×＝.‎ 又0<α＋β<π，∴α＋β＝.‎ 思维升华 (1)给角求值与给值求值问题的关键在“变角”，通过角之间的联系寻找转化方法．‎ ‎(2)给值求角问题：先求角的某一三角函数值，再求角的范围确定角．‎ 跟踪训练1　(1)已知α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，则＝ .‎ 答案　 解析　∵α∈，且2sin2α－sin α·cos α－3cos2α＝0，‎ 则(2sin α－3cos α)·(sin α＋cos α)＝0，‎ 又∵α∈，sin α＋cos α>0，‎ ‎∴2sin α＝3cos α，又sin2α＋cos2α＝1，‎ ‎∴cos α＝，sin α＝，‎ ‎∴ ‎＝＝＝.‎ ‎(2)已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则β＝ .‎ 答案　 解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，所以cos α＝，‎ 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝×－×＝.‎ 所以β＝.‎ 题型三　三角恒等变换的应用 例3 已知函数f(x)＝sin2x－cos2x－2sin xcos x(x∈R)．‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)求f(x)的最小正周期及单调递增区间．‎ 解　(1)由sin ＝，cos ＝－，得 f＝2－2－2××＝2.‎ ‎(2)由cos 2x＝cos2x－sin2x与sin 2x＝2sin xcos x，‎ 得f(x)＝－cos 2x－sin 2x＝－2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期是π.‎ 由正弦函数的性质，得 ＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 所以f(x)的单调递增区间为 (k∈Z)．‎ 思维升华 三角恒等变换的应用策略 ‎(1)进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎(2)把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期性、单调性、最值与对称性．‎ 跟踪训练2 (2018·北京)已知函数f(x)＝sin2x＋sin xcos x.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值为，求m的最小值．‎ 解　(1)f(x)＝sin2x＋sin xcos x ‎＝－cos 2x＋sin 2x ‎＝sin＋，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝sin＋.‎ 由题意知－≤x≤m，‎ 所以－≤2x－≤2m－.‎ 要使得f(x)在区间上的最大值为，‎ 即sin在区间上的最大值为1，‎ 所以2m－≥，即m≥.‎ 所以m的最小值为.‎ 化归思想和整体代换思想在三角函数中的应用 讨论形如y＝asin ωx＋bcos ωx型函数的性质，一律化成y＝sin(ωx＋φ)型的函数；研究y＝Asin(ωx＋φ)型函数的最值、单调性，可将ωx＋φ视为一个整体，换元后结合y＝sin x的图象解决．‎ 例 已知函数f(x)＝4tan x·sin·cos－.‎ ‎(1)求f(x)的定义域与最小正周期；‎ ‎(2)讨论f(x)在区间上的单调性．‎ 解　(1)f(x)的定义域为.‎ f(x)＝4tan xcos xcos－ ‎＝4sin xcos－＝4sin x－ ‎＝2sin xcos x＋2sin2x－＝sin 2x＋(1－cos 2x)－ ‎＝sin 2x－cos 2x＝2sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.‎ ‎(2)因为x∈，所以2x－∈，‎ 由y＝sin x的图象可知，当2x－∈，‎ 即x∈时，f(x)单调递减；‎ 当2x－∈，即x∈时，f(x)单调递增．‎ 所以当x∈时，f(x)在区间上单调递增，在区间上单调递减．‎ ‎1．(2018·乌海质检)若sin＝，则cos 等于(　　)‎ A．－ B．－ C. D. 答案　A 解析　cos＝cos ‎＝－cos＝－ ‎＝－＝－.‎ ‎2.等于(　　)‎ A．－ B. C. D．1‎ 答案　C 解析　原式＝ ‎＝＝＝.‎ ‎3．已知sin 2α＝，tan(α－β)＝，则tan(α＋β)等于(　　)‎ A．－2 B．－1 C．－ D. 答案　A 解析　由题意，可得cos 2α＝－，则tan 2α＝－，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2.‎ ‎4．在斜三角形ABC中，sin A＝－cos Bcos C，且tan B·tan C＝1－，则角A的值为(　　)‎ A. B. C. D. 答案　A 解析　由题意知，sin A＝sin(B＋C)＝sin Bcos C＋cos Bsin C＝－cos Bcos C，‎ 在等式－cos Bcos C＝sin Bcos C＋cos Bsin C两边同除以cos Bcos C，得tan B＋tan C＝‎ ‎－，‎ 又tan(B＋C)＝＝－1＝－tan A，‎ 即tan A＝1，‎ 因为0