【数学】2019届一轮复习人教A版四种命题及其相互关系的智能转化学案 11页

考纲要求:‎ 1、 了解命题的概念，会分析原命题及其逆命题、否命题与逆否命题这四种命题的相互关系；‎ 2、 给出四种命题中的一种，能够写出其他的三种.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1．命题的概念 在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题．其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题．‎ ‎2．四种命题及其关系 ‎（1）四种命题 原命题：若则； 原命题的逆命题：若则；‎ 原命题的否命题：若则； 原命题的逆否命题：若则。‎ ‎【注】命题的否定：若则。（命题的否命题既否定命题的条件又否定命题的结论，而命题的否定仅是否定命题的结论。）‎ ‎（2）四种命题间的关系 ‎（3）四种命题的真假关系, , ]‎ ‎①两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；‎ ‎②两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系.‎ 应用举例:‎ 类型一、四种命题之间的关系　‎ 例1．【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】下列有关命题的说法正确的是（ ）‎ A. 命题“若，则”的否命题为“若，则”‎ B. 命题“若，则，互为相反数”的逆命题是真命题 C. 命题“，使得”的否定是“，都有” ]‎ D. 命题“若，则”的逆否命题为真命题 ‎【答案】B 例2．【上海市虹口区2018届高三上学期期末教学质量监控】命题：“若，则”的逆否命题为（ ）‎ A. 若，则或 B. 若，则或 C. 若，则且 D. 若，则且 ‎【答案】C ‎【解析】命题：“若，则”的逆否命题为若，则且。‎ 故答案为：C. 学 ‎ 类型二、命题的真假判断 例3．【新疆乌鲁木齐市2018届高三第二次质量监测】命题若，则； 是的逆命题，则（ ）‎ A. 真， 真 B. 真， 假 C. 假， 真 D. 假， 假 ‎【答案】C ‎【解析】由题意， ，所以，得，‎ 所以命题为假命题，‎ 又因为是的逆命题，所以命题：若，则为真命题，故选C.‎ 例4．【河南省南阳市第一中学2018届高三第十二次考试】设有下面四个命题：‎ ‎①“若，则与的夹角为锐角”及它的逆命题均为真命题 ‎②若,则 ‎③“”是“或”的充分不必要条件 ‎④命题“中，若，则”的逆命题为真命题 其中正确命题的个数是( )‎ A. 3 B. 2 C. 1 D. 0‎ ‎【答案】B ‎【解析】①“若，则与的夹角为锐角,” 向量同向时不是锐角，故原命题为假，逆命题均为真，故①错误；命题②若,则，，故②错误；③原命题等价于“且”是“”的充分不必要条件，故③正确；④命题中，若 ，故 ④正确，故选B. 学 ‎ 类型三、命题的否定与否命题 ‎【例5】【2017河北邯郸市成安一中高三入学考试】“在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B都是锐角”的否命题为______________________________．该命题的否定为______________________________．‎ ‎【答案】在△ABC中，若∠C＝90°，则∠A、∠B不都是锐角 例6．【河北省衡水中学2018届高三第十六次模拟考试】下面几个命题中，假命题是（ ）‎ A. “若，则”的否命题 B. “，函数在定义域内单调递增”的否定 C. “是函数的一个周期”或“是函数的一个周期”‎ D. “”是“”的必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】分析：对，利用否命题的定义可判断；对，利用指数函数的单调性即可得出；对，利用正弦函数的单调性与“或命题”的定义可判断；对，利用实数的性质和充分必要条件可判断.‎ 详解：对.“若，则”的否命题是“若，则” ， 是真命题；‎ 对，“，函数在定义域内单调递增”的否定为“，函数在定义域内不单调递增”正确，例如时，函数在上单调递减， 为真命题；‎ 对，“是函数的一个周期”，不正确，“是函数的一个周期”正确，根据或命题的定义可知， 为真命题；‎ 对，“” “”反之不成立，因此“”是“”的充分不必要条件， 是假命题，故选D. 学 ‎ 点睛：本题通过判断命题的真假综合考查四种命题及其关系以及充分条件与必要条件、全称命题与特称命题，判断命题的真假应注意以下几个方面：(l)首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系；(2)要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应地确定了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”，注意利用“原命题”与“逆否命题”同真假；(3)判断命题真假时，可直接依据定义、定理、性质直接判断，也可使用特值进行排除.‎ 类型四、已知命题真假求参数范围 例7．【2018年普通高校招生全国卷 I A 信息卷】命题：若，则；命题：若，则恒成立.若的逆命题， 的逆否命题都是真命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ 例8．【2019届高考数学人教A版理 第一轮复习单元测试题】设p:方程x2+2mx+1=0有两个不相等的正根;q:方程x2+2(m-2)x-3m+10=0无实根,则使p∨q为真,p∧q为假的实数m的取值范围是_________________.‎ ‎【答案】(-∞,-2]∪[-1,3)‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1、一个区别：否命题与命题的否定是两个不同的概念：①否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；②命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法．‎ ‎2、写一个命题的其他三种命题时的2个注意点 ‎(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写；‎ ‎(2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提．如“题组练透”第3题②易忽视．‎ ‎3、命题真假的2种判断方法 ‎(1)联系已有的数学公式、定理、结论进行正面直接判断．‎ ‎(2)利用原命题与逆否命题，逆命题与否命题的等价关系进行判断．‎ ‎（1）逆命题与否命题互为逆否命题；（2）互为逆否命题的两个命题同真假，故当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．‎ ‎4、根据命题真假求参数的3步骤 学 ]‎ ‎(1)先根据题目条件，推出每一个命题的真假(有时不一定只有一种情况)；‎ ‎(2)然后再求出每个命题是真命题时参数的取值范围；‎ ‎(3)最后根据每个命题的真假情况，求出参数的取值范围．‎ ‎5、判断含有逻辑联结词命题真假的2个步骤 ‎(1)先判断简单命题p，q的真假．(2)再根据真值表判断含有逻辑联结词命题的真假．‎ 实战演练:‎ ‎1．【江苏省盐城中学2018届高三全仿真模拟检测】命题:若，则.其否命题是___________. 学_ _ _X_X_ ]‎ ‎【答案】若，则.‎ ‎ 2．【浙江省镇海中学2018届高三上学期期末考试】命题“若实数满足，则”的逆否命题是________命题（填“真”或者“假”）；否命题是________命题（填“真”或者“假”）．‎ ‎【答案】 假 真 ‎【解析】 ，所以原命题是假命题，由于原命题和逆否命题的真假性是一致的，所以其逆否命题是假命题. 其否命题是“若实数满足，则”，所以其否命题是真命题. 故填(1). 假 (2). 真. 学 ‎ ‎3．【湖南省衡阳市2018届高三第二次联考（二模）】下列说法错误的是( )‎ A. “若，则”的逆否命题是“若，则”‎ B. “”是“”的充分不必要条件 C. “”的否定是“”‎ D. 命题：“在锐角中，”为真命题 ‎【答案】D ‎【解析】依题意，根据逆否命题的定义可知选项正确；由得或“”是“”的充分不必要条件，故正确；因为全称命题命题的否是特称命题，所以正确；锐角中，，，错误，故选D. 学 ‎ ‎4．【广东省六校2018届高三上学期第一次联考】下列说法中，说法正确的是（ ）．‎ A. 若，则 B. 向量，垂直的充要条件是 C. 命题“”，”的否定是“，”‎ D. 已知函数在区间上的图象是连续不断的，则命题“若，则在区间内至少有一个零点”的逆命题为假命题 ‎【答案】D ‎ 5．【重庆市西南大学附中高2018级第四次月考】下列说法正确的是（ ）‎ A. “”是“函数是奇函数”的充要条件 B. 样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越小 学 ]‎ C. 若为假命题，则，均为假命题 D. “若，则”的否命题是“若，则”‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：依次判断各个命题的真假，可得出正确结论．‎ 详解：A．是奇函数，但不存在，是偶函数，也满足，因此应为既不充分也不必要条件，A错；‎ B．样本的相关系数，越接近于，线性相关程度越大，B错；‎ C．只要中有一个是假命题，则为假命题，C错；‎ D．由否命题的定义知D正确．‎ 故选D．学 ‎ 点睛：本题考查命题的真假判断，一般需要对每个命题进行判断，这就要求学生必须掌握相应的概念、性质，属于难题．‎ ‎6．【山东省肥城市2018届高三适应性训练】下列命题中，真命题的序号是__________．‎ ‎①“若，则”的否命题；‎ ‎②“，函数在定义域内单调递增”的否定；‎ ‎③“”是“”的必要条件；‎ ‎④函数与函数的图象关于直线对称.‎ ‎【答案】①②‎ 便于考察知识掌握的全面性，这几年的高考中经常出现，有时达到三个选择题这多，对此类题的解题的规律要认真总结，本题考察了对知识掌握的熟练程度及判断推理的能力 ‎7．【2018年普通高等学校招生全国统一考试高三调研卷模拟二】已知，命题函数的值域为，命题函数在区间内单调递增.若是真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎ 8．【四川省乐山四校2019届第三学期半期联考】已知设成立； 指数函数为增函数，如果“”为真，“”为假，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】或. ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意可得：若为真，则；若为真，则，原问题等价于与一真一假，结合计算结果分类讨论可得实数的取值范围是或.‎ 试题解析：‎ 若为真：对， 恒成立，‎ 设，配方得，‎ 所以在上的最小值为，‎ 所以，解得，所以为真时： ；‎ 若为真： ，‎ 因为”为真，“”为假，所以与一真一假，‎ 当真假时，所以，‎ 当假真时，所以，‎ 综上所述，实数的取值范围是或.‎ ‎9．设命题p：关于x的二次方程x2＋(a＋1)x＋a－2＝0的一个根大于零，另一根小于零；命题q：不等式2x2＋x>2＋ax对∀x∈(－∞，－1)恒成立．如果命题“p∨q”为真命题，命题“p∧q”为假命题，求实数a的取值范围．‎ ‎【答案】(－∞，1)∪[2，＋∞)．‎ ‎ 10．【河北省衡水中学2018届高三上学期一轮复习周测】已知是定义域为的奇函数，且当时， ，设 “”.‎ ‎（1）若为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）设集合与集合的交集为，若为假， ‎ 为真，求实数的取值范围. ‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎（2），‎ 若为真，则，‎ ‎∵为假， 为真，‎ ‎∴、一真一假，‎ 若真假，则；‎ 若假真，则.‎ 综上，实数的取值范围是.‎ 考点：1.函数性质的应用；2.命题的真假判断及其逻辑运算.‎