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- 2021-07-01 发布
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第一节绝对值不等式
1.绝对值三角不等式
定理1:如果a,b是实数,则|a+b|≤|a|+|b|,当且仅当ab≥0时,等号成立.
定理2:如果a,b,c是实数,那么|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立.
2.绝对值不等式的解法
(1)含绝对值不等式|x|a的解法:
不等式
a>0
a=0
a<0
|x|a
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法:
①|ax+b|≤c⇔-c≤ax+b≤c;
②|ax+b|≥c⇔ax+b≥c或ax+b≤-c.
1.设a,b为满足ab<0的实数,那么( )
A.|a+b|>|a-b| B.|a+b|<|a-b|
C.|a-b|<||a|-|b|| D.|a-b|<|a|+|b|
解析:选B ∵ab<0,
∴|a-b|=|a|+|b|>|a+b|.
2.若不等式|kx-4|≤2的解集为,则实数k=________.
解析:由|kx-4|≤2⇔2≤kx≤6.
∵不等式的解集为,∴k=2.
答案:2
3.函数y=|x-4|+|x+4|的最小值为________.
解析:因为|x-4|+|x+4|≥|(x-4)-(x+4)|=8,
所以所求函数的最小值为8.
答案:8
4.不等式|x+1|-|x-2|≥1的解集是________.
解析:令f(x)=|x+1|-|x-2|=
当-11恒成立.
所以不等式的解集为.
答案:
[考什么·怎么考]
绝对值不等式的解法是每年高考的重点,既单独考查,也与函数的图象、含参问题等的综合考查,难度较小,属于低档题.
1.(2016·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=|x+1|-|2x-3|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)求不等式|f(x)|>1的解集.
解:(1)由题意得f(x)=
故y=f(x)的图象如图所示.
(2)由f(x)的函数表达式及图象可知,
当f(x)=1时,可得x=1或x=3;
当f(x)=-1时,可得x=或x=5.
故f(x)>1的解集为{x|11的解集为.
2.解下列不等式.
(1)|2x+1|-2|x-1|>0;
(2)|x+3|-|2x-1|<+1.
解:(1)法一:原不等式可化为|2x+1|>2|x-1|,
两边平方得4x2+4x+1>4(x2-2x+1),
解得x>,
所以原不等式的解集为.
法二:原不等式等价于
或或
解得x>,所以原不等式的解集为.
(2)①当x<-3时,
原不等式化为-(x+3)-(1-2x)<+1,
解得x<10,∴x<-3.
②当-3≤x≤时,
原不等式化为(x+3)-(1-2x)<+1,
解得x<-,∴-3≤x<-.
③当x>时,
原不等式化为(x+3)+(1-2x)<+1,
解得x>2,∴x>2.
综上可知,原不等式的解集为.
[怎样快解·准解]
绝对值不等式的常见3解法
(1)零点分段讨论法
含有两个或两个以上绝对值符号的不等式,可用零点分段讨论法脱去绝对值符号,将其转化为与之等价的不含绝对值符号的不等式(组),一般步骤如下:
①令每个绝对值符号里的代数式为零,并求出相应的根;
②将这些根按从小到大排序,它们把实数集分为若干个区间;
③在所分的各区间上,根据绝对值的定义去掉绝对值符号,求所得的各不等式在相应区间上的解集;
④这些解集的并集就是原不等式的解集.
(2)利用绝对值的几何意义
由于|x-a|+|x-b|与|x-a|-|x-b|分别表示数轴上与x对应的点到与a,b对应的点的距离之和与距离之差,因此对形如|x-a|+|x-b|0)或|x-a|-|x-b|>c(c>0)的不等式,利用绝对值的几何意义求解更直观.
(3)数形结合法
在直角坐标系中作出不等式两边所对应的两个函数的图象,利用函数图象求解.
[易错提醒] 用零点分段法和几何意义求解绝对值不等式时,去绝对值符号的关键点是找零点,将数轴分成若干段,然后从左到右逐段讨论.
[典题领悟]
1.若对于实数x,y有|1-x|≤2,|y+1|≤1,求|2x+3y+1|的最大值.
解:因为|2x+3y+1|=|2(x-1)+3(y+1)|
≤2|x-1|+3|y+1|≤7,
所以|2x+3y+1|的最大值为7.
2.若a≥2,x∈R,求证:|x-1+a|+|x-a|≥3.
证明:因为|x-1+a|+|x-a|
≥|(x-1+a)-(x-a)|=|2a-1|,
又a≥2,故|2a-1|≥3,
所以|x-1+a|+|x-a|≥3成立.
[解题师说]
证明绝对值不等式的3种主要方法
(1)利用绝对值的定义去掉绝对值符号,转化为一般不等式再证明.
(2)利用三角不等式||a|-|b||≤|a±b|≤|a|+|b|进行证明.
(3)转化为函数问题,利用数形结合进行证明.
[冲关演练]
已知x,y∈R,且|x+y|≤,|x-y|≤,求证:|x+5y|≤1.
证明:∵|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|.
∴由绝对值不等式的性质,得
|x+5y|=|3(x+y)-2(x-y)|≤|3(x+y)|+|2(x-y)|
=3|x+y|+2|x-y|≤3×+2×=1.
即|x+5y|≤1成立.
绝对值不等式的综合应用是每年高考的热点,主要涉及绝对值不等式的解法、恒成立问题,难度适中,属于中档题.
[典题领悟]
(2017·全国卷Ⅲ)已知函数f(x)=|x+1|-|x-2|.
(1)求不等式f(x)≥1的解集;
(2)若不等式f(x)≥x2-x+m的解集非空,求m的取值范围.
解:(1)f(x)=
当x<-1时,f(x)≥1无解;
当-1≤x≤2时,由f(x)≥1,得2x-1≥1,解得1≤x≤2;
当x>2时,由f(x)≥1,解得x>2.
所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.
(2)由f(x)≥x2-x+m,得m≤|x+1|-|x-2|-x2+x.
而|x+1|-|x-2|-x2+x≤|x|+1+|x|-2-x2+|x|=-2+≤,
当且仅当x=时,|x+1|-|x-2|-x2+x=.
故m的取值范围为.
[解题师说]
设函数f(x)中含有绝对值,则
(1)f(x)>a有解⇔f(x)max>a.
(2)f(x)>a恒成立⇔f(x)min>a.
(3)f(x)>a恰在(c,b)上成立⇔c,b是方程f(x)=a的解.
[冲关演练]
1.(2017·全国卷Ⅰ)已知函数f(x)=-x2+ax+4,g(x)=|x+1|+|x-1|.
(1)当a=1时,求不等式f(x)≥g(x)的解集;
(2)若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,不等式f(x)≥g(x)等价于
x2-x+|x+1|+|x-1|-4≤0. ①
当x<-1时,①式化为x2-3x-4≤0,无解;
当-1≤x≤1时,①式化为x2-x-2≤0,从而-1≤x≤1;
当x>1时,①式化为x2+x-4≤0,
从而1<x≤.
所以f(x)≥g(x)的解集为.
(2)当x∈[-1,1]时,g(x)=2.
所以f(x)≥g(x)的解集包含[-1,1],等价于当x∈[-1,1]时,f(x)≥2.
又f(x)在[-1,1]的最小值必为f(-1)与f(1)之一,
所以f(-1)≥2且f(1)≥2,得-1≤a≤1.
所以a的取值范围为[-1,1].
2.已知函数f(x)=|2x-a|+a.
(1)当a=2时,求不等式f(x)≤6的解集;
(2)设函数g(x)=|2x-1|.当x∈R时,f(x)+g(x)≥3,求a的取值范围.
解:(1)当a=2时,f(x)=|2x-2|+2.
解不等式|2x-2|+2≤6,得-1≤x≤3.
因此f(x)≤6的解集为{x|-1≤x≤3}.
(2)当x∈R时,f(x)+g(x)=|2x-a|+a+|1-2x|≥3,
即+≥.
又min=,
所以≥,解得a≥2.
所以a的取值范围是[2,+∞).
1.已知函数f(x)=|x-4|+|x-a|(a∈R)的最小值为a.
(1)求实数a的值;
(2)解不等式f(x)≤5.
解:(1)f(x)=|x-4|+|x-a|≥|a-4|=a,
从而解得a=2.
(2)由(1)知,f(x)=|x-4|+|x-2|=
故当x≤2时,由-2x+6≤5,得≤x≤2,
当24时,由2x-6≤5,得40,b>0,函数f(x)=|x+a|+|2x-b|的最小值为1.
(1)证明:2a+b=2;
(2)若a+2b≥tab恒成立,求实数t的最大值.
解:(1)证明:因为-a<,所以f(x)=|x+a|+|2x-b|=显然f(x)在上单调递减,在上单调递增,所以f(x)的最小值为f=a+,所以a+=1,即2a+b=2.
(2)因为a+2b≥tab恒成立,所以≥t恒成立,
=+=(2a+b)
=≥=.
当且仅当a=b=时,取得最小值,
所以t≤,即实数t的最大值为.
7.已知函数f(x)=|x+1|-2|x-a|,a>0.
(1)当a=1时,求不等式f(x)>1的解集;
(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6,求a的取值范围.
解:(1)当a=1时,
f(x)>1化为|x+1|-2|x-1|-1>0.
当x≤-1时,不等式化为x-4>0,无解;
当-10,
解得0,解得1≤x<2.
所以f(x)>1的解集为.
(2)由题设可得f(x)=
所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A,B(2a+1,0),C(a,a+1),
所以△ABC的面积为(a+1)2.
由题设得(a+1)2>6,故a>2.
所以a的取值范围为(2,+∞).
8.已知函数f(x)=|3x+2|.
(1)解不等式f(x)<4-|x-1|;
(2)已知m+n=1(m,n>0),若|x-a|-f(x)≤+(a>0)恒成立,求实数a的取值范围.
解:(1)不等式f(x)<4-|x-1|,
即|3x+2|+|x-1|<4.
当x<-时,不等式化为-3x-2-x+1<4,
解得-1时,不等式化为3x+2+x-1<4,无解.
综上所述,原不等式的解集为.
(2)+=(m+n)=1+1++≥4,
当且仅当m=n=时等号成立.
令g(x)=|x-a|-f(x)=|x-a|-|3x+2|=
∴x=-时,g(x)max=+a,
要使不等式恒成立,只需g(x)max=+a≤4,
解得0