2015届高三一轮理科数学《三年经典双基测验》31 4页

一．单项选择题。（本部分共 5 道选择题） 1．若 a∈R，则“a＝1”是“|a|＝1”的(　　) A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件 解析：若 a＝1，则有|a|＝1 是真命题，即 a＝1⇒|a|＝1，由|a|＝1 可得 a＝±1，所以若| a|＝1，则有 a＝1 是假命题，即|a|＝1⇒a＝1 不成立，所以 a＝1 是|a|＝1 的充分而不必要 条件． 答案 ：A 2．已知函数 f(x)＝Error!(a＞0，且 a≠1)是(－∞，＋∞)上的减函数，则 a 的取值范围是 (　　)． A.(0， 2 3 ] B.(1 3，1 ) C.(2，3 ) D.(1 2， 2 3 ] 解析　由 f(x)是(－∞，＋∞)上的减函数，可得Error!化简得 0＜a≤ 2 3. 答案　A 3.若 x≥0，y≥0，且 x＋2y＝1，那么 2x＋3y2 的最小值为(　　)． A．2 B. 3 4 C. 2 3 D．0 解析　由 x≥0，y≥0 x＝1－2y≥0 知 0≤y≤ 1 2 t＝2x＋3y2＝2－4y＋3y2＝3(y－ 2 3 )2＋ 2 3 在[0， 1 2 ]上递减，当 y＝ 1 2时，t 取到 最小值，tm in＝ 3 4. 答案　B[来源:Zxxk.Com] 4.若 cos(2π－α)＝ 5 3 且 α∈(－ π 2 ，0)，则 sin(π－α)＝(　　)． A．－ 5 3 B．－2 3 C．－1 3 D．±2 3 解析　cos(2π－α)＝cos α＝ 5 3 ，又 α∈(－ π 2 ，0)， ∴sin α＝－ 1－cos2α＝－ 1－( 5 3 )2＝－2 3. ∴sin(π－α)＝sin α＝－2 3. 答案　B 5.已知向量 a＝(x＋z,3)，b＝(2，y－z)，且 a⊥b，若 x，y 满足不等式|x|＋|y|≤1， 则 z 的取值范围为(　　)． A．[－2,2] B．[－2,3][来源:学科网] C．[－3,2] D．[－3,3] 解析　因为 a⊥b，所以 a·b＝0，所以 2x＋3y＝z，不等式|x|＋|y|≤1 可转化为Error!由图可得其对应的可行域为边长为 2，以点(1,0)，(－1,0)，(0,1)，(0，－1)为顶点的正方形，结合图象可知当 直线 2x＋3y＝z 过点(0，－1)时 z 有最小值－3，当过点(0,1)时 z 有最大值 3. 所以 z 的取值范围为[－3,3]． 答案　D 二．填空题。（本部分共 2 道填空题） 1．两个等差数列的前 n 项和之比为5n＋10 2n－1 ，则它们的第 7 项之比为________． 解析　设两个数列{an}，{bn}的前 n 项和为 Sn，Tn，则Sn Tn＝5n＋10 2n－1 ，而a7 b7＝a1＋a13 b1＋b13 ＝S13 T13＝5 × 13＋10 2 × 13－1 ＝3 1. 答案　3∶1[来源:学科网 ZXXK] 2.用单位正方体块搭一个几何体，使它的主视图和俯视图如图所示，则它的体 积的最大值为________，最小值为________． （三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图） 解析 由俯视图及主视图可得，如图所示，由图示可得体积的最大值为 14，体积 的最小值为 9. （三视图：主（正）试图、左（侧）视图、俯视图） 答案 14　9 三．解答题。（本部分共 1 道解答题）[来源:学科网 ZXXK] 设 A，B 分别为双曲线x2 a2－y2 b2＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线的距离为 3. (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y＝ 3 3 x－2 与双曲线的右支交于 M、N 两点，且在双曲线的右支上 存在点 D，使OM→ ＋ON→ ＝tOD→ ，求 t 的值及点 D 的坐标．[来源:Zxxk. Com][来源:学|科|网] 解析　(1)由题意知 a＝2 3，∴一条渐近线为 y＝ b 2 3x， 即 bx－2 3y＝0，∴ |bc| b2＋12＝ 3， ∴b2＝3，∴双曲线的方程为x2 12－y2 3 ＝1. (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(x0，y0)， 则 x1＋x2＝tx0，y1＋y2＝ty0， 将直线方程代入双曲线方程得 x2－16 3x＋84＝0， 则 x1＋x2＝16 3，y1＋y2＝12， ∴Error!∴Error! ∴t＝4，点 D 的坐标为(4 3，3)．