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- 2021-07-01 发布
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微专题27 三角函数的值域与最值
一、基础知识
1、形如解析式的求解:详见“函数解析式的求解”一节,本节只列出所需用到的三角公式
(1)降幂公式:
(2)
(3)两角和差的正余弦公式
(4)合角公式:,其中
2、常见三角函数的值域类型:
(1)形如的值域:使用换元法,设,根据的范围确定的范围,然后再利用三角函数图像或单位圆求出的三角函数值,进而得到值域
例:求的值域
解:设 当时,
(2)形如的形式,即与的复合函数:通常先将解析式化简为同角同三角函数名的形式,然后将此三角函数视为一个整体,通过换元解析式转变为熟悉的函数,再求出值域即可
例:求的值域
解:
设
,即的值域为
(3)含三角函数的分式,要根据分子分母的特点选择不同的方法,通常采用换元法或数形结合法进行处理(详见例5,例6)
二、典型例题
例1:已知向量
(1)求函数的单调递增区间
(2)当时,求的取值范围
解:(1)
单调递增区间为:
(2)思路:由(1)可得:,从得到角的范围,进而求出的范围
解:由(1)得:
小炼有话说:对于形如的形式,通常可先计算出的范围,再确定其三角函数值的范围
例2:已知函数
(1)求函数的最小正周期和图像的对称轴方程
(2)求函数在区间的值域
解:(1)
对称轴方程:
(2)思路:将视为一个整体,先根据的范围求出的范围,再判断其正弦值的范围
解:
例3:函数的最大值为___________
思路:解析式中的项种类过多,不利于化简与分析,所以考虑尽量转化为同一个角的某一个三角函数。观察可得次数较低,所以不利于转化,而均可以用进行表示,确定核心项为,解析式变形为,化简后为,当时,
答案:2
小炼有话说:当解析式无法化成的形式时,要考虑是否是三角函数与其他函数的复合函数,进而要将某个三角函数作为核心变量,并将其余的三角函数用核心变量进行表示,再将核心变量进行换元求出值域即可
例4:设函数,若,则函数的最小值是______
思路:同例4考虑将解析式中的项统一,,进而可将作为一个整体,通过换元来求值域。
解:
设,由可得:,从而
,所以
所以最小值为
答案:0
例5:函数的值域为___________
思路:可将视为研究对象,令,进而只需求的值域即可。
解:令,可得
答案:
小炼有话说:要注意在时自身带范围,即
例6:函数的值域为____________
思路:可变形为,且可视为与连线的斜率的取值范围,为单位圆上的一点,所以问题转化为直线与圆有公共点的的范围。所以,解得:或,所以
答案:
小炼有话说:(1)对比例5和例6,尽管都是同一个角的分式值域,但是例5的三角函数名相同,所以可视为同一个量,利用换元求解,而例6的三角函数名不同,所以不能视为同一个量。要采取数形结合的方式。
(2)本题还可利用方程与函数的关系求得值域,解法如下:
所以的取值范围(即值域)要能保证存在使得等式成立
所以只需
,解得:
例7:设函数的值域是,则实数的取值范围是_____________
思路:本题是已知值域求参数,所以考虑先带着计算角的范围为,
可知,值域中最大值为1,所以说明经过
,同时范围不能超过(否则最小值就要小于),从而可得,解得:
答案:
例8:已知函数的最大值为,且,则 ( )
A. B. C. 或 D. 或
思路:观察到的项具备齐二次的特点,所以想到将解析式化为的形式,通过变形可得:,所以最大值为,即①,再利用可得:②,通过①②可解得:,进而求出的值为或
解:
所以可得:
另一方面:
整理可得: ,解得:
当时,
当时,
的值为或
例9:当时,函数的最小值为__________
思路一:考虑将所有项转变为关于的三角函数,即,从而想到分式与斜率的关系,可视为,结合可得为单位圆半圆上的点,通过数形结合可得:最小值为4
思路二:考虑将所有项转变为关于的三角函数,则,观察到分子分母为齐二次式,从而上下同时除以,可得:,因为,所以,所以利用均值不等式可得:
答案:4
例10:求函数的值域
思路:本题很难转化为同名三角函数解析式,解题的关键在于了解与之间的联系:,从而将解析式的核心变量转化为,通过换元求出值域即可
解:
因为
时,
当时,
所以可得:的值域为