数学文·吉林省长春市普通高中2017届高三上学期第一次教学质量监测文数试题+Word版含解析] 19页

全*品*高*考*网， 用后离不了！‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.‎ ‎1.复数在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】B 考点：复数几何意义 ‎【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如. 其次要熟悉复数相关基本概念，如复数的实部为、虚部为、模为、对应点为、共轭为 ‎2.已知集合，则（为自然数集）为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，则，故选C.‎ 考点：集合运算.‎ ‎【易错点睛】(1)认清元素的属性，解决集合问题时，认清集合中元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合是正确求解的两个先决条件.‎ ‎(2)注意元素的互异性.在解决含参数的集合问题时，要注意检验集合中元素的互异性，否则 很可能会因为不满足“互异性”而导致解题错误.‎ ‎(3)防范空集.在解决有关A∩B＝∅，A⊆B等集合问题时，往往忽略空集的情况，一定先考虑∅是否成立，以防漏解.‎ ‎3.3.已知向量，，则（ ）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：，故. 故选B.‎ 考点：向量的模 ‎4.我国南宋数学家秦九韶所著《数学九章》中有“米谷粒分”问题：粮仓开仓收粮，粮农送来米1512石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得216粒内夹谷27粒，则这批米内夹谷约（ ）‎ A．164石 B．178石 C．189石 D．196石 ‎【答案】C 考点：抽样中的用样本去估计总体.‎ ‎5.命题：“，使”，这个命题的否定是（ ）‎ A．，使 B．，使 C．，使 D．，使 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，命题的否定为，，故选B.‎ 考点：逻辑问题中的特称命题的否定 ‎【方法点睛】(1)对全称(存在性)命题进行否定的两步操作：①找到命题所含的量词，没有量 词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定；②对原命题的结论进行否定.(2)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每个元素x，证明p(x)成立；要判定一个全称命题是假命题，只要举出集合M中的一个特殊值x0，使p(x0)不成立即可.要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内至少能找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可，否则就是假命题. 6.按照如图的程序框图执行，若输出结果为31，则处条件可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：直到型循环结构程序框图运算.‎ ‎【名师点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.‎ ‎7.已知是等差数列的前项和，，，若，则的最小值为（ ）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 试题分析：由已知且，可得，因此，即，故选D.‎ 考点：等差数列基本量的求取，以及等差数列求和.‎ ‎8.某几何体的三视图如图，其正视图中的曲线部分为半圆，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C 考点：三视图 ‎【名师点睛】三视图问题的常见类型及解题策略 ‎(1)由几何体的直观图求三视图．注意正视图、侧视图和俯视图的观察方向，注意看到的部分用实线表示，不能看到的部分用虚线表示．‎ ‎(2)由几何体的部分视图画出剩余的部分视图．先根据已知的一部分三视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分三视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合．‎ ‎(3)由几何体的三视图还原几何体的形状．要熟悉柱、锥、台、球的三视图，明确三视图的形成原理，结合空间想象将三视图还原为实物图．‎ ‎9.已知圆上到直线的距离等于1的点有且仅有2个，则的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，圆的半径为2，可知圆心到直线的距离属于时，满足只有两个圆上的点到直线的距离为，根据点到直线的距离公式可得，因此. 故选C.‎ 考点：直线与圆的位置关系，点到直线距离 ‎10.“龟兔赛跑”是一则经典故事：兔子与乌龟在赛道上赛跑，跑了一段后，兔子领先太多就躺在道边睡着了，当他醒来后看到乌龟已经领先了，因此他用更快的速度去追，结果还是乌龟先到了终点，请根据故事选出符合的路程一时间图象（ ）‎ ‎【答案】D 考点：函数图像 ‎【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ ‎11.双曲线的左右焦点分别为，为右支上一点，且，，则双曲线的离心率为（ ）‎ A．3 B．5 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，，则.又因为，则，即. 则双曲线离心率为5，故选B.‎ 考点：双曲线的定义及渐近线 ‎【方法点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于a，b，c的方程或不 等式，再根据a，b，c的关系消掉b得到a，c的关系式，建立关于a，b，c的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.‎ ‎12.已知函数，函数，若，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D　‎ 考点：分段函数的性质以及函数的图像 ‎【思路点睛】(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.‎ ‎(2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.抛物线的焦点坐标为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：已知抛物线，可化为，故焦点坐标应为.‎ 考点：抛物线性质 ‎14.函数的定义域为 .‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ 试题分析：由函数的符号可以确定必须满足约束：，解得或.‎ 考点：函数定义域 ‎15.动点满足，则的最小值为 .‎ ‎【答案】‎ 考点：线性规划 ‎【易错点睛】线性规划的实质是把代数问题几何化，即数形结合的思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域；二，画目标函数所对应的直线时，要注意与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错；三，一般情况下，目标函数的最大或最小值会在可行域的端点或边界上取得.‎ ‎16. 已知三棱锥，满足两两垂直，且，是三棱锥 外接球上一动点，则点到平面的距离的最大值为 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由已知，可将三棱锥放入正方体中，其长宽高分别为，则到面距离最大的点应该在过球心且和面垂直的直径上，因为正方体的外接球直径和正方体的体对角线长相等，则. 则到面距离的最大值为.‎ 考点：三棱锥的外接球 ‎【思想点睛】空间几何体与球接、切问题的求解方法 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知.‎ ‎（1）求的单调增区间；‎ ‎（2）在中，为锐角且，，，，求.‎ ‎【答案】（1），.（2）‎ 试题解析：(1) 由题可知，‎ 令，，即函数的单调递增区间为，. （6分）‎ ‎(2) 由，所以，解得或（舍）‎ 因此. （12分）‎ 考点：三角函数的化简以及恒等变换公式，正弦定理 ‎【思路点睛】　三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等 ‎18.（本小题满分12分）‎ 某人种植一种经济作物，根据以往的年产量数据，得到年产量频率分布直方图如图所示，以各区间中点值作为该区间的年产量，得到平均年产量为455，已知当年产量低于350时，单位售价为20元/，若当年产量不低于350而低于550时，单位售价为15元/，当年产量不低于550时，单位售价为10元/.‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）试估计年销售额大于5000元小于6000元的概率？‎ ‎【答案】（1）（2）0.325‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，所有小长方形面积和为1得，再根据组中值估计平均数得，解方程组可得（2）由频率分布直方图中小长方形面积等于对应概率，得年销售额大于5000元小于6000元的概率为 考点：频率分布直方图，古典概型概率 ‎【方法点睛】古典概型中基本事件数的探求方法 ‎(1)列举法.‎ ‎(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本事件的探求.对于基本事件有“有序”与“无序”区别的题目，常采用树状图法.‎ ‎(3)列表法：适用于多元素基本事件的求解问题，通过列表把复杂的题目简单化、抽象的题目具体化.‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 已知四棱锥中，底面为矩形，底面，，，为上一点，为的中点.‎ ‎（1）在图中作出平面与的交点，并指出点所在位置（不要求给出理由）；‎ ‎（2）求平面将四棱锥分成上下两部分的体积比.‎ ‎【答案】（1）为中点，（2）‎ 试题解析：解：(1) 为中点，截面如图所示.（4分）‎ ‎(2)因为是的中位线，，所以，且，‎ 所以梯形的面积为，‎ 点到截面的距离为到直线的距离，‎ 所以四棱锥的体积，‎ 而四棱锥的体积，‎ 所以四棱锥被截下部分体积，‎ 故上，下两部分体积比.（12分）‎ 考点：线面平行性质与判定定理，棱锥体积 ‎【思想点睛】空间几何体体积问题的常见类型及解题策略 ‎(1)‎ 若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．‎ ‎(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知函数，，且函数与的图象在处的切线相同.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）令，若函数存在3个零点，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）4（2）‎ 试题解析：(1) 已知 ‎，则，又，所以在处的切线方程为，又因为和的图像在处的切线相同，‎ 所以. （4分）‎ 当时，，，可得函数在处取得极大值，‎ 当时，图像趋近于轴. ‎ 函数的大致图像如图所示，‎ 可知函数存在3个零点时，‎ 的取值范围是（12分）‎ 考点：导数几何意义，利用导数研究函数图像 ‎【思路点睛】涉及函数的零点问题、方程解的个数问题、函数图像交点个数问题，一般先通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，再借助函数的大致图象判断零点、方程根、交点的情况，归根到底还是研究函数的性质，如单调性、极值，然后通过数形结合的思想找到解题的思路.‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 以边长为4的等比三角形的顶点以及边的中点为左、右焦点的椭圆过两点.‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于两点，求证直线与的交点在一条直线上.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先建立直角坐标系，使椭圆方程为标准方程，则（2）研究圆锥曲线的定值问题，一般方法为以算代证，即先求两直线交点坐标，再确定交点所在定直线：由对称性可知两直线交点必在垂直于x轴的直线上，因此运算目标为求交点横坐标为定值，设的方程为，，则： ，：，消去y得，再 利用直线方程与椭圆方程联立方程组，结合韦达定理可得，，代入化简得 ‎②-①得 则，即. ‎ 考点：直线和椭圆的位置关系及定值 ‎【思路点睛】定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ 请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲 如图，为圆上一点，点在直线的延长线上，过点作圆的切线交 的延长线于点，.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求圆的半径.‎ ‎【答案】（1）详见解析（2）3‎ 考点：三角形相似 ‎【名师点睛】1.解决与圆有关的成比例线段问题的两种思路 ‎(1)直接应用相交弦、切割线定理及其推论；(2)当比例式(等积式)中的线段分别在两个三角形中时，可转化为证明三角形相似，一般思路为“相似三角形→比例式→等积式”．在证明中有时还要借助中间比来代换，解题时应灵活把握．‎ ‎2．应用相交弦定理、切割线定理要抓住几个关键内容：如线段成比例与相似三角形、圆的切线及其性质、与圆有关的相似三角形等．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，曲线 的参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）曲线的极坐标方程为，求与的公共点的极坐标.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 考点：参数方程化为普通方程，直角坐标方程与极坐标方程互化 ‎24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）2（2）2‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据绝对值定义将函数化为分段函数，再分别求各段最大值，比较三个最大值的最大得的值；（2）先化简条件，再利用基本不等式化简，最后确定等号能取到 考点：绝对值定义，利用基本不等式求最值 ‎【名师点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．‎ ‎ ‎