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  • 2021-07-01 发布

数学理卷·2017届江西省重点中学盟校高三第二次联考(2017

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江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考 ‎2017.5‎ 数学(理科)试卷 考试用时:120分 全卷满分:150分 ‎ 命题人:南昌二中 周启新 高安中学 朱细秀 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复数(是虚数单位)在复平面上对应的点位于( )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎2.已知全集,集合,集合,则=( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4. 已知数列为等差数列,数列为等比数列,且满足,,则( )‎ A.-1 B. C.1 D.‎ ‎5.将的图象上的所有点的纵坐标不变,横坐标缩小到原来的一半,然后再将所得图象向左平移个单位长度,则最后所得图象的解析式为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎6. 若双曲线的渐近线将圆平分,则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图,一竖立在水平地面上的圆锥形物体的母线长为,一只小虫从圆锥的底面圆上的点出发,绕圆锥表面爬行一周后回到点处,若该小虫爬行的最短路程为,则圆锥底面圆的半径等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.元朝著名数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走,遇店添一倍,逢友饮一斗,店友经三处,没了壶中酒,借问此壶中,当原多少酒?”用程序框图表达如图所示,即最终输出的,则一开始输入的的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎9. 给出下列四个命题:[]‎ ‎①若样本数据的方差为16,则数据的方差为64;‎ ‎②“平面向量夹角为锐角,则>0”的逆命题为真命题;‎ ‎③命题“,均有”的否定是“,使得≤”;‎ ‎④是直线与直线平行的必要不充分条件.‎ 其中正确的命题个数是( )‎ A.1 B.2 C.3 D.4‎ ‎10.一个几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的表面积为( )‎ A. B.   C. D.‎ ‎11.记“点满足()”为事件,记“满足”为事件,若,则实数的最大值为( )‎ A. B. C.1 D.13‎ ‎12.定义在上的函数满足,,其中是函数的导函数,若对任意正数,都有,则的取值范围是( )‎ A. () B. ()‎ C. () D. ()‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 本卷包括必考题和选考题两部分.第13题~第21题为必考题,每个试题考生都必须作答.第22题~第23题为选考题,考生根据要求作答.‎ 二、填空题:本大题共有4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13.设,则的展开式中的常数项为 . ‎ ‎14.在边长为1的正三角形中,设,,则__________.‎ ‎15.过抛物线的焦点的直线交该抛物线于、两点,若,为坐标原点,则__________.‎ ‎16.已知数列的首项,其前项和为,且满足,若对,恒成立,则实数的取值范围是 .‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.(本小题满分12分)‎ 已知向量,,设函数,‎ 若函数的图象关于直线对称且.‎ ‎(Ⅰ) 求函数的单调递减区间;‎ ‎ (Ⅱ) 在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,若,,‎ 求的最大值.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 高考改革新方案,不分文理科,高考成绩实行“3+3”的构成模式,第一个“3”是语文、数学、外语,每门满分150分,第二个“3”由考生在思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中自主选择其中3个科目参加等级性考试,每门满分100分,高考录取成绩卷面总分满分750分.为了调查学生对物理、化学、生物的选考情况,“将A市某一届学生在物理、化学、生物三个科目中至少选考一科的学生”记作学生群体B,从学生群体B中随机抽取了50名学生进行调查,他们选考物理,化学,生物的科目数及人数统计表如下:‎ 选考物理、化学、生物的科目数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 人数 ‎5‎ ‎25‎ ‎20‎ ‎(Ⅰ)从所调查的50名学生中任选2名,求他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率;‎ ‎(Ⅱ)从所调查的50名学生中任选2名,记X表示这2名学生选考物理、化学、生物的科目 数量之差的绝对值,求随机变量X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)将频率视为概率,现从学生群体B中随机抽取4名学生,记其中恰好选考物理、化学、生物中的两科目的学生数记作Y,求事件“”的概率.‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图1,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,AB⊥BC,BD⊥DC,点E是BC边的中点,将△ABD沿BD折起,使平面ABD⊥平面BCD,连接AE,AC,DE,得到如图2所示的几何体.‎ ‎(Ⅰ)求证:AB⊥平面ADC;‎ ‎(Ⅱ)若AD=2,直线CA与平面ABD所成角的正弦值为,求二面角E-AD-C的余弦值.‎ 图2‎ A B D C E 图1‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ y N P A O x B M 已知⊙:与⊙:,以,分别为左右焦点的椭圆:经过两圆的交点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ),分别为椭圆的左右顶点,,,是椭圆上非顶点的三点,若∥, ∥,试问的面积是否为定值?若是,求出这个定值;若不是,请说明理由.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知,函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)若函数有两个相异零点,,求证:.(其中e为自然对数的底数)‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.作答时请写清题号.‎ ‎22.(本小题满分10分)选修4-4:坐标系与参数方程 已知直线l的参数方程为(t为参数),曲线C的参数方程为(为参数),以坐标原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点P的极坐标为.‎ ‎(Ⅰ)求直线l以及曲线C的极坐标方程;‎ ‎(Ⅱ)设直线l与曲线C交于A,B两点,求△PAB的面积.‎ ‎23.(本小题满分10分)选修4-5:不等式选讲 已知函数.‎ ‎(Ⅰ)若a=2时,解不等式:;‎ ‎(Ⅱ)对任意实数x,不等式恒成立,求实数a的取值范围.‎ 江西省重点中学协作体2017届高三第二次联考 数学(理)参考答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分. ‎ ‎1—5 BACCD 6—10 BABBC 11—12 A D ‎12.【解析】由可得,‎ 即,令,则,且,‎ 所以,令,‎ 所以,‎ 当时,,单调递增,当时,,单调递减,‎ 所以,‎ 所以,,即在上单调递减。‎ 因为(当且仅当,时等号成立)‎ 依题意,即。因为在上单调递减,所以,‎ 解得(),故选D。‎ 二、填空题:本大题共有4小题,每小题5分,共20分.‎ ‎13. 14. 15. 6 16.‎ ‎16.【解析】由得(),‎ 两式相减得:(),所以(),‎ 两式相减得:(),‎ 所以,数列……是以2为公差的等差数列,数列……是以2为公差的等差数列,‎ 将代入及可得,‎ 将代入()可得,且,‎ 要使得,恒成立,只需要即可,‎ 所以,解得:,即实数的取值范围是.‎ 三、解答题:本大题共6小题,共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.解:(Ⅰ)‎ ‎   …………………2分 ‎ 函数的图象关于直线对称,则 ‎ 则,且,则 …………………4分 ‎ ∴,令,解得 ‎∴函数的单调递减区间为  …………………6分 ‎(Ⅱ),且A是△ABC内角,‎ ‎∴,则,所以,则,‎ ‎  ∵,由余弦定理 ‎  则,而,所以 ‎,当且仅当时,‎ 所以的最大值为.…………………12分 ‎18.解:(Ⅰ)记“所选取的2名学生选考物理、化学、生物科目数量相等”为事件A ‎ 则 ‎  所以他们选考物理、化学、生物科目数量不相等的概率为 ‎      ……………3分 ‎(Ⅱ)由题意可知X的可能取值分别为0,1,2‎ ‎  , ‎ ‎   …………………6分 ‎  从而X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎   …………………8分 ‎(Ⅲ)所调查的50名学生中物理、化学、生物选考两科目的学生有25名 ‎  相应的概率为,所以~   …………………10分 ‎  所以事件“”的概率为 ‎ …………12分 x O z ‎19题答图 y ‎19.(Ⅰ)证明:因为平面ABD⊥平面BCD,平面ABD∩平面BCD=BD,‎ ‎  又DC⊥BD所以DC⊥平面ABD,所以DC⊥AB,‎ 又AD⊥AB ,所以AB⊥平面ADC …………………4分 ‎(Ⅱ)因CD⊥平面ABD,所以∠CAD为直线CA与平面ABD所成的角,‎ ‎  CD⊥平面ABD所以CD⊥AD 则 则,依题意得 所以,‎ 即,所以 ………………8分 取BD的中点O,连结AO,EO,因为,∴AO⊥BD,平面ABD⊥平面BCD,∴AO⊥平面BCD 如图所示建立空间直角坐标系,‎ 则,,,,,‎ 由(1)可知AB⊥平面ADC,则平面ADC的法向量,‎ 设平面ADE的法向量,,,‎ 则,即,令,得, ………10分 所以,所以,,由图可知二面角为锐二面角,‎ 所以二面角的余弦值为. ……………12分 ‎20.解:(Ⅰ)设两圆的交点为,依题意有,‎ 由椭圆定义知,解得; ……………………2分 因为,分别为椭圆的左右焦点,所以,解得,‎ 所以椭圆的方程为; ……………………4分 ‎(Ⅱ)解法一 由题可知,,设,∵是椭圆上的点,‎ ‎∴,即,∴‎ ‎,‎ ‎∵∥,∥,∴,………………6分 ‎∵、、是椭圆上非顶点的三点,∴直线的斜率存在且不为零,‎ 设直线的方程为,,,‎ 由,得,‎ 由,得 ()‎ 且,,‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴,整理得, ……………………9分 代入()得, ‎ ‎∵,‎ 原点到直线的距离,∴(定值)。‎ 综上所述,的面积为定值3. ……………………12分 ‎(Ⅱ)解法二 同解法一可知,直线,的斜率存在且不为零,且,……6分 设直线的方程为,则直线的方程为,设,,‎ 由得,用换可得,则,………9分 因为,所以与异号,‎ ‎∴(定值)。‎ 综上所述,的面积为定值3. ……………………12分 ‎21.解:(Ⅰ)的定义域为,,‎ ‎   ① 当时,恒成立,在上单调递增,‎ ‎② 当时,令,解得,‎ 时,,在单调递增,‎ 时,,在单调递减,‎ 综上所述,当时,在上单调递增,‎ 当时,在上单调递增,在上单调递减;…………5分 ‎(Ⅱ)证法一 要证:,则证,‎ 即证,‎ 不妨设,∵,是函数的零点,则,,‎ ‎  所以,,‎ 所以,,‎ 则,……7分 则转化为证:,令,则,‎ 于是即证:,可化为,即证,…………9分 构造函数,,‎ 令,则,则在单增,则,‎ 则,则在单增,则,即成立,‎ 所以成立. …………………12分 ‎ 证法二 的定义域为,要证:,则证,‎ 即证,令,,‎ 即证,也即证, …………………6分 因为,是函数的相异零点,则,,‎ 所以,即,所以,,‎ 所以,…………………8分 不妨设,则,令(),‎ 要证,则转化为证(其中),即证,……10分 令(),则,‎ ‎,∴在上单调递增,∴,‎ ‎∴ 在上单调递增,∴,即成立,‎ 从而原命题成立………12分 证法三 的定义域为 ,要证:,则证,‎ 即证,令,,,‎ 则转化为证明命题“函数有两个相异的零点,,求证”,……6分 ‎∵,‎ ‎①当时,,所以在上单调递增,此时没有两个零点,不合题意;‎ ‎②当时,令,得,所以在上单调递增,在上单调递减,‎ 要使有两个相异零点,则,解得;‎ 且时,,时,,…………………8分 不妨设,要证,即证,‎ 而,所以,,‎ 而函数在上单调递增,要证,只要证,而,即证,‎ 由于,而,即,‎ ‎∴ (),记(),…………10分 ‎∴,‎ 令(),则,‎ ‎∴在上单调递增,则,‎ ‎∴,∴在上单调递减,则,即成立,‎ 从而原命题成立 . …………………12分 ‎22.解:(Ⅰ)由消去得到,则,∴,‎ 所以直线l的极坐标方程为()…………………2分 ‎  曲线,则 ‎  则曲线C的极坐标方程为 ……………5分 ‎(Ⅱ)由,得到,设其两根为,,‎ ‎  则,,∴,‎ ‎∵点P的极坐标为,∴,,‎ ‎  ∴ ……10分 ‎23. (Ⅰ)当时,原不等式即,‎ ‎   ,‎ ‎  或,‎ ‎  或,‎ ‎  所以原不等式的解集为 …………………5分 ‎(Ⅱ)‎ ‎  当时,,依题意, ‎ 所以或,解得或,‎ ‎  所以实数a的取值范围为 …………10分