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  • 2021-07-01 发布

数学卷·2018届上海外国语大学附中高二上学期期中数学试卷(解析版)

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‎2016-2017学年上海外国语大学附中高二(上)期中数学试卷 ‎ ‎ 一、填空题(共14小题,每小题3分,满分42分)‎ ‎1.若等差数列{an}中有a6+a9+a12+a15=20,则其前20项和等于  .‎ ‎2.前100个正整数中,除以7余数为2的所有数的和是  .‎ ‎3.在等差数列{an}中,a1=45,a3=41,则前n项的和Sn达到最大值时n的值是  .‎ ‎4.公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一等比数列,该等比数列的公比q=  .‎ ‎5.设Sn使等比数列{an}的前n项和,若S3=3a3,则公比q=  .‎ ‎6.数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{}是等差数列,则a1=  .‎ ‎7.已知数列{an}的通项公式an=11﹣2n,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,则S10=  .‎ ‎8.一个项数为偶数的等差数列,其奇数项之和为24,偶数项之和为30,最后一项比第一项大,则最后一项为 ‎  .‎ ‎9.已知an=an﹣1﹣an﹣2(n≥3),a1=1,a2=2,a2016=  .‎ ‎10.已知x、y、x+y成等差数列,x、y、xy成等比数列,且0<logmxy<1,则实数m的取值范围是  .‎ ‎11.用数学归纳法证明命题:1+2+3+…+(n﹣1)+n+(n﹣1)+…+3+2+1=n2,当从k到k+1时左边增加的式子是  .‎ ‎12.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升,然后加满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒  次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.‎ ‎13.数列{an}满足a1=2016,前n项和Sn=(1+2+…+n)•an,对任意n∈N*成立,则a2015=  .‎ ‎14.若an>0,a1=2,且an+an﹣1=+2(n≥2),则++…+=  .‎ ‎ ‎ 二、选择题(共4小题,每小题3分,满分12分)‎ ‎15.设等差数列的首项为a,公差为d,则它含负数项且只有有限个负数项的条件是(  )‎ A.a>0,d>0 B.a>0,d<0 C.a<0,d>0 D.a<0,d<0‎ ‎16.已知数列{an}中,,(n∈N+),则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是(  )‎ A.a1,a50 B.a1,a8 C.a8,a9 D.a9,a50‎ ‎17.等比数列前n项和为Sn,有人算得S1=27,S2=63,S3=109,S4=175,后来发现有一个数算错了,错误的是(  )‎ A.S1 B.S2 C.S3 D.S4‎ ‎18.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5•a2n﹣5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=(  )‎ A.n(2n﹣1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n﹣1)2‎ ‎ ‎ 三、解答题:共46分.‎ ‎19.已知四个数,前三个数成等比数列,和为19,后三个数成等差数列,和为12,求此四个数.‎ ‎20.求和:Sn=++…+,并用数学归纳法证明.‎ ‎21.某企业投资1千万元用于一个高科技项目,每年可获利25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.经过多少年后,该项目的资金可以达到4倍的目标?‎ ‎22.设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t(t>0,n=2,3,4…)‎ ‎(1)求证:数列{an}是等比数列;‎ ‎(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使,求数列{bn}的通项bn;‎ ‎(3)求和:b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1.‎ ‎23.如图,平面直角坐标系中,射线y=x(x≥0)和y=0(x≥0)上分别依次有点A1、A2,…,An,…,和点B1,B2,…,Bn…,其中,,.且,(n=2,3,4…).‎ ‎(1)用n表示|OAn|及点An的坐标;‎ ‎(2)用n表示|BnBn+1|及点Bn的坐标;‎ ‎(3)写出四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积关于n的表达式S(n),并求S(n)的最大值.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年上海外国语大学附中高二(上)期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、填空题(共14小题,每小题3分,满分42分)‎ ‎1.若等差数列{an}中有a6+a9+a12+a15=20,则其前20项和等于 100 .‎ ‎【考点】等差数列的前n项和;等差数列的性质.‎ ‎【分析】由等差数列{an}中有a6+a9+a12+a15=20,知a1+a20=10,由此能求出其前20项和.‎ ‎【解答】解:等差数列{an}中,‎ ‎∵a6+a9+a12+a15=2(a1+a20)=20,‎ ‎∴a1+a20=10,‎ ‎∴=10×10=100.‎ 故答案为:100.‎ ‎ ‎ ‎2.前100个正整数中,除以7余数为2的所有数的和是 765 .‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】前100个正整数中,除以7余数为2的所有数为:2,9,…,100,此数列是公差为7的等差数列,利用求和公式即可得出.‎ ‎【解答】解:前100个正整数中,除以7余数为2的所有数为:2,9,…,100,此数列是公差为7的等差数列.‎ 令100=2+7(n﹣1),解得n=15.‎ ‎∴前100个正整数中,除以7余数为2的所有数的和==765.‎ 故答案为:765.‎ ‎ ‎ ‎3.在等差数列{an}中,a1=45,a3=41,则前n项的和Sn达到最大值时n的值是 23 .‎ ‎【考点】等差数列的前n项和.‎ ‎【分析】利用等差数列的通项公式可得公差d,令an≥0,解得n即可得出.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}的公差为d,∵a1=45,a3=41,‎ ‎∴45+2d=41,解得d=﹣2.‎ ‎∴an=45﹣2(n﹣1)=47﹣2n.‎ 令an≥0,解得n=23+.‎ 则前n项的和Sn达到最大值时n的值是23.‎ 故答案为:23.‎ ‎ ‎ ‎4.公差不为0的等差数列的第2,3,6项依次构成一等比数列,该等比数列的公比q= 3 .‎ ‎【考点】等比数列;等差数列.‎ ‎【分析】设出等差数列的首项为a,公差为d,根据等差数列的通项公式分别表示出第2,3,6项,根据等比数列的性质列出关于a与d的等式,由d不为0得到d与a的关系式,用a表示出d,代入表示出的第2,3,6项,此三项可以用a表示,然后根据等比数列的性质可用第3项除以第2项即可求出公比q的值.‎ ‎【解答】解:设等差数列的首项为a,公差为d(d不为0),‎ 则等差数列的第2,3,6项分别为a+d,a+2d,a+5d,‎ 则(a+2d)2=(a+d)(a+5d),即d2+2ad=0,‎ ‎∵d≠0,‎ ‎∴在等式两边同时除以d得:d=﹣2a,‎ ‎∴等差数列的第2,3,6项分别为:﹣a,﹣3a,﹣9a,‎ ‎∴公比q==3.‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎5.设Sn使等比数列{an}的前n项和,若S3=3a3,则公比q= 1或 .‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】当公比q=1时,符合题意;当公比q≠1时,由已知可得2q2﹣q﹣1=0,解之即可.‎ ‎【解答】解:当公比q=1时,an=a1,故S3=3a1=3a3,符合题意;‎ 当公比q≠1时,S3==3a1q2,即2q2﹣q﹣1=0,‎ 解之可得q=,或q=1(舍去)‎ 综上可得,q=1或,‎ 故答案为:1或 ‎ ‎ ‎6.数列{an}中,a3=2,a7=1,又数列{}是等差数列,则a1= 3 .‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】由a3=2,a7=1求出等差数列{}的公差,再代入通项公式求出,可求出a1.‎ ‎【解答】解:因为数列{}是等差数列,且a3=2,a7=1,‎ 所以=, =,﹣=,‎ 设{}公差为d,则4d=,故d=,‎ 所以=+(n﹣3)d=+(n﹣3)×=,‎ 故an=,‎ 所以a1==3.‎ 故答案是:3.‎ ‎ ‎ ‎7.已知数列{an}的通项公式an=11﹣2n,Sn=|a1|+|a2|+…+|an|,则S10= 50 .‎ ‎【考点】数列的函数特性.‎ ‎【分析】由数列的通项公式得到数列的首项和公差,再由通项大于等于0解出数列的前5项为正数,从第6项起为负数,则Sn=|a1|+|a2|+…+|an|可求.‎ ‎【解答】解:由an=11﹣2n≥0,得,‎ ‎∴数列{an}的前5项为正数,从第6项起为负数,‎ 又由an=11﹣2n,得a1=9,an+1﹣an=11﹣2(n+1)﹣11+2n=﹣2,‎ ‎∴数列{an}是首项为9,公差为﹣2的等差数列.‎ 则Sn=|a1|+|a2|+…+|an|=(a1+a2+…+a5)﹣(a6+a7+…+a10)‎ ‎=﹣(a1+a2+…+a10)+2(a1+a2+…+a5)‎ ‎=﹣S10+2S5=‎ ‎=﹣(10×9﹣90)+2(5×9﹣20)=50.‎ 故答案为:50.‎ ‎ ‎ ‎8.一个项数为偶数的等差数列,其奇数项之和为24,偶数项之和为30,最后一项比第一项大,则最后一项为 ‎ 12 .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】根据等差数列的性质建立方程即可得到结论.‎ ‎【解答】解:设等差数列{an}项数为2n,‎ ‎∵末项与首项的差为,‎ ‎∴a2n﹣a1=(2n﹣1)d=,‎ ‎∵S奇=24,S偶=30,‎ ‎∴S偶﹣S奇=30﹣24=6=nd,‎ 解得d=;n=4,即项数是8.‎ ‎∵a1+a3+a5+a7=24,‎ ‎∴4a1+12d=24.‎ ‎∴.‎ ‎∴a8==12.‎ 故答案为:12.‎ ‎ ‎ ‎9.已知an=an﹣1﹣an﹣2(n≥3),a1=1,a2=2,a2016= ﹣1 .‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】由a1=1,a2=2,an=an﹣1﹣an﹣2(n≥3),求得a3,a4,a5,a6,a7,…,可知数列{an}是以6为周期的周期数列,a2016=a336×6=a6=﹣1.‎ ‎【解答】解:由a1=1,a2=2,an=an﹣1﹣an﹣2(n≥3),得 a3=a2﹣a1=2﹣1=1,‎ a4=a3﹣a2=1﹣2=﹣1,‎ a5=a4﹣a3=﹣1﹣1=﹣2,‎ a6=a5﹣a4=﹣2﹣(﹣1)=﹣1,‎ a7=a6﹣a5=﹣1﹣(﹣2)=1,‎ ‎…‎ 由上可知,数列{an}是以6为周期的周期数列,‎ 则a2016=a336×6=a6=﹣1.‎ 故答案为:﹣1.‎ ‎ ‎ ‎10.已知x、y、x+y成等差数列,x、y、xy成等比数列,且0<logmxy<1,则实数m的取值范围是 m>8 .‎ ‎【考点】等差数列的通项公式.‎ ‎【分析】由条件可得y=2x,y=x2,由此求得x=2,y=4,xy=8,从而得到0<logm8<1,则答案可求.‎ ‎【解答】解:∵x、y、x+y成等差数列,‎ ‎∴2y=2x+y,即y=2x.‎ ‎∵x、y、xy成等比数列,‎ ‎∴y2=x2y,即y=x2.‎ 综上可得,x=2,y=4,xy=8.‎ 再由0<logmxy<1,可得 0<logm8<1,‎ ‎∴m>8.‎ 故答案为:m>8.‎ ‎ ‎ ‎11.用数学归纳法证明命题:1+2+3+…+(n﹣1)+n+(n﹣1)+…+3+2+1=n2,当从k到k+1时左边增加的式子是 2k+1 .‎ ‎【考点】数学归纳法.‎ ‎【分析】分别计算当n=k时,以及n=k+1时,观察计算即可 ‎【解答】解:从n=k到n=k+1时,左边添加的代数式为:k+1+k=2k+1.‎ 故答案为:2k+1.‎ ‎ ‎ ‎12.从盛满2升纯酒精的容器里倒出1升,然后加满水,再倒出1升混合溶液后又用水填满,以此继续下去,则至少应倒 4 次后才能使纯酒精体积与总溶液的体积之比低于10%.‎ ‎【考点】等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】设开始的浓度为1,操作1次后的浓度为a1=1﹣,操作n次后的浓度为an,则an+1=an(1﹣),利用等比数列的通项公式即可得出.‎ ‎【解答】解:设开始的浓度为1,操作1次后的浓度为a1=1﹣,‎ 操作n次后的浓度为an,则an+1=an(1﹣),‎ ‎∴数列{an}构成a1=1﹣为首项,q=1﹣为公比的等比数列,‎ ‎∴an=(1﹣)n,即第n次操作后溶液的浓度为(1﹣)n;‎ 当a=2时,可得an=(1﹣)n=,由an=()n<,解得n>4.‎ ‎∴至少应倒4次后才能使酒精的浓度低于10%.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎13.数列{an}满足a1=2016,前n项和Sn=(1+2+…+n)•an,对任意n∈N*成立,则a2015=  .‎ ‎【考点】数列递推式.‎ ‎【分析】由前n项和Sn=(1+2+…+n)•an=an,可得n≥2时,an=Sn﹣Sn,化为: =.利用“累乘求积”即可得出.‎ ‎【解答】解:∵前n项和Sn=(1+2+…+n)•an=an,‎ ‎∴n≥2时,an=Sn﹣Sn=an﹣,‎ 化为: =.‎ ‎∴an=••…•a1=••…××××2016‎ ‎=.‎ ‎∴a2015==.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎14.若an>0,a1=2,且an+an﹣1=+2(n≥2),则++…+=  .‎ ‎【考点】数列的求和.‎ ‎【分析】an+an﹣1=+2(n≥2),取分母化为:﹣=n.利用“累加求和”可得,再利用“裂项求和”方法即可得出.‎ ‎【解答】解:∵an+an﹣1=+2(n≥2),‎ ‎∴=n+2(an﹣an﹣1),‎ 化为:﹣=n.‎ ‎∴=[﹣]+[﹣+…++‎ ‎=n+(n﹣1)+…+2+1=.‎ ‎∴==2.‎ ‎∴++…+=2+…+‎ ‎=2=.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ 二、选择题(共4小题,每小题3分,满分12分)‎ ‎15.设等差数列的首项为a,公差为d,则它含负数项且只有有限个负数项的条件是(  )‎ A.a>0,d>0 B.a>0,d<0 C.a<0,d>0 D.a<0,d<0‎ ‎【考点】等差数列的性质.‎ ‎【分析】先利用反证法证明d大于0,方法为:假设d小于0,由首项为a,公差为d,利用等差数列的通项公式表示出此数列的通项,假设ak小于0,则n大于k时,后面的项都为负数,这就与此数列只有负数项矛盾,故d不能小于0,得到d大于0,再根据此数列含有负数项,首项a必须小于0,从而得到满足题意的条件.‎ ‎【解答】解:若d<0,由等差数列的通项公式得:an=a+(n﹣1)d,‎ 此时设ak<0,则n>k时,后面的项都为负数,‎ 与只有有限个负数项矛盾,‎ ‎∴d>0,又数列有负数项,‎ ‎∴a<0,‎ 则满足题意的条件是a<0,d>0.‎ 故选C ‎ ‎ ‎16.已知数列{an}中,,(n∈N+),则在数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是(  )‎ A.a1,a50 B.a1,a8 C.a8,a9 D.a9,a50‎ ‎【考点】数列的函数特性.‎ ‎【分析】令=1+,根据,,我们易判断数列各项的符号及单调性,进而得到答案.‎ ‎【解答】解:∵ =1+,(n∈N+),‎ ‎∵,,‎ ‎∴数列的前8项小于1且递减,从第9项开始大于1且递减,‎ 故数列{an}的前50项中最小项和最大项分别是a8,a9.‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎17.等比数列前n项和为Sn,有人算得S1=27,S2=63,S3=109,S4=175,后来发现有一个数算错了,错误的是(  )‎ A.S1 B.S2 C.S3 D.S4‎ ‎【考点】等比数列的前n项和.‎ ‎【分析】由已知可得:a1=27,a1+a2=a1(1+q)=63,a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=109,a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=175,不妨假设第一个与第二个等式成立,解得a1=27,q=,经过验证即可判断出结论.‎ ‎【解答】解:由已知可得:a1=27,a1+a2=a1(1+q)=63,a1+a2+a3=a1(1+q+q2)=109,a1+a2+a3+a4=a1(1+q+q2+q3)=175,‎ 不妨假设第一个与第二个等式成立,解得a1=27,q=,经过验证第四个等式成立,第三个等式不成立,因此:算错的这个数是S3,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎18.已知等比数列{an}满足an>0,n=1,2,…,且a5•a2n﹣5=22n(n≥3),则当n≥1时,log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=(  )‎ A.n(2n﹣1) B.(n+1)2 C.n2 D.(n﹣1)2‎ ‎【考点】等比数列的性质.‎ ‎【分析】先根据a5•a2n﹣5=22n,求得数列{an}的通项公式,再利用对数的性质求得答案.‎ ‎【解答】解:∵a5•a2n﹣5=22n=an2,an>0,‎ ‎∴an=2n,‎ ‎∴log2a1+log2a3+…+log2a2n﹣1=log2(a1a3…a2n﹣1)=log221+3+…+(2n﹣1)=log2=n2.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ 三、解答题:共46分.‎ ‎19.已知四个数,前三个数成等比数列,和为19,后三个数成等差数列,和为12,求此四个数.‎ ‎【考点】等差数列的性质;等比数列的性质.‎ ‎【分析】先根据题意设出这四个数,进而根据前三个数和为19列出方程求得d,则四个数可得.‎ ‎【解答】解:依题意可设这四个数分别为:‎ ‎,4﹣d,4,4+d,则由前三个数和为19可列方程得,‎ ‎,整理得,‎ d2﹣12d+28=0,解得d=﹣2或d=14.‎ ‎∴这四个数分别为:25,﹣10,4,18或9,6,4,2.‎ ‎ ‎ ‎20.求和:Sn=++…+,并用数学归纳法证明.‎ ‎【考点】数学归纳法;数列的求和.‎ ‎【分析】利用条件计算S1,S2,S3,由此推测Sn的计算公式;利用归纳法进行证明,检验n=1时等式成立,假设n=k时命题成立,证明当n=k+1时命题也成立.‎ ‎【解答】解:S1=,S2=,S3=‎ 猜想:Sn=.‎ ‎①n=1时,S1成立;‎ ‎②假设n=k时,猜想成立,即Sk=,‎ 则n=k+1时,Sk+1=+=,‎ ‎∴n=k+1时猜想也成立 根据①②可知猜想对任何n∈N*都成立 ‎ ‎ ‎21.某企业投资1千万元用于一个高科技项目,每年可获利25%.由于企业间竞争激烈,每年底需要从利润中取出资金200万元进行科研、技术改造与广告投入,方能保持原有的利润增长率.经过多少年后,该项目的资金可以达到4倍的目标?‎ ‎【考点】函数模型的选择与应用.‎ ‎【分析】设第n年终资金为an万元,由题意可得an=(1+25%)an﹣1﹣200(n≥2),变形整理可得:an﹣800=(an﹣1﹣800),利用等比数列的通项公式可得an,进而得出.‎ ‎【解答】解:设第n年终资金为an万元,由题意可得an=(1+25%)an﹣1﹣200(n≥2),‎ 变形整理可得:an﹣800=(an﹣1﹣800),‎ 故{an﹣800}构成一个等比数列,a1=1000(1+25%)﹣200=1050,⇒a1﹣800=250,‎ ‎∴an﹣800=250×,‎ 令an≥4000,得≥16,两边取对数可得:n≥≈13,‎ 故至少要13年才能达到目标.‎ ‎ ‎ ‎22.设数列{an}的首项a1=1,前n项和Sn满足关系式:3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t(t>0,n=2,3,4…)‎ ‎(1)求证:数列{an}是等比数列;‎ ‎(2)设数列{an}的公比为f(t),作数列{bn},使,求数列{bn}的通项bn;‎ ‎(3)求和:b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1.‎ ‎【考点】数列的求和;等比数列的通项公式.‎ ‎【分析】(1)通过3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t与3tSn﹣1﹣(2t+3)Sn﹣2=3t作差、整理得(n=2,3,…),进而可得结论;‎ ‎(2)通过(1)可知bn=f+bn﹣1,即数列{bn}是一个首项为1、公差为的等差数列,进而即得结论;‎ ‎(3)通过bn=可知数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和、公差均为的等差数列,并项取公因式,计算即得结论.‎ ‎【解答】(1)证明:∵a1=S1=1,S2=1+a2,‎ ‎∴a2=‎ 又3tSn﹣(2t+3)Sn﹣1=3t ①‎ ‎∴3tSn﹣1﹣(2t+3)Sn﹣2=3t ②‎ ‎①﹣②得:3tan﹣(2t+3)an﹣1=0,‎ ‎∴,(n=2,3,…)‎ ‎∴{an}是一个首项为1、公比为的等比数列;‎ ‎(2)解:∵f(t)=,‎ ‎∴bn=f+bn﹣1.‎ ‎∴数列{bn}是一个首项为1、公差为的等差数列.‎ ‎∴bn=1+(n﹣1)=;‎ ‎(3)解:∵bn=,‎ ‎∴数列{b2n﹣1}和{b2n}是首项分别为1和,公差均为的等差数列,‎ 于是b1b2﹣b2b3+b3b4﹣b4b5+…+b2n﹣1b2n﹣b2nb2n+1‎ ‎=b2(b1﹣b3)+b4(b3﹣b5)+b6(b5﹣b7)+…+b2n(b2n﹣1+b2n+1)‎ ‎=﹣(b2+b4+…+b2n)‎ ‎=﹣‎ ‎=﹣(2n2+3n).‎ ‎ ‎ ‎23.如图,平面直角坐标系中,射线y=x(x≥0)和y=0(x≥0)上分别依次有点A1、A2,…,An,…,和点B1,B2,…,Bn…,其中,,.且,(n=2,3,4…).‎ ‎(1)用n表示|OAn|及点An的坐标;‎ ‎(2)用n表示|BnBn+1|及点Bn的坐标;‎ ‎(3)写出四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积关于n的表达式S(n),并求S(n)的最大值.‎ ‎【考点】数列与解析几何的综合;数列递推式.‎ ‎【分析】(1)由,能求出.‎ ‎(2)由,知,由此能用n表示|BnBn+1|及点Bn的坐标.‎ ‎(3)由,写出四边形AnAn+1Bn+1Bn的面积关于n的表达式S(n),并求出S(n)的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)∵…‎ ‎∴…‎ ‎(2)…‎ ‎,‎ ‎∴…‎ ‎(3),‎ ‎∴…‎ ‎∵,‎ ‎∴n≥4时,S(n)单调递减.‎ 又,.‎ ‎∴n=2或3时,S(n)取得最大值…‎ ‎ ‎