2018-2019学年天津市天津一中高二下学期期末考试数学试题 （Word版） 6页

天津一中 2018-2019-2 高二年级数学学科期末质量调查试卷 本试卷分为第 I 卷(试题)、第 II 卷(答题)两部分,共 100 分,考试用时 90 分钟。考生务必将答案涂写答题卡的规定位置上,答在试卷上的无效。祝各位考生考试顺利!‎ 一、选择题:(每小题 3 分,共 24 分）‎ ‎1. 在复平面上,复数 2 + i 对应的点在 i A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限2. 设全集 U=R,集合 A={x|x2-2x≥0},B={x|y=log2(x2-1)}, 则 B∩∁UA =‎ A. [1,2) B. (1,2) C. (1,2] D. (-∞,-1)∪[0,2]‎ 3. 设函数 f(x)= ex2 -3x (e 为自然底数),则使 f(x)<1 成立的一个充分丌必要条件是 A. 0a>b B. a>c>b C. b>c>a D. a>b>c 6. 已知函数 f(x)=ln(|x|+1)-(x2+1)-1,则使得 f(x)>f(2x-1)成立的x 解集为 A. ( 1 ,1) B. (-∞, 1 )∪(1,+∞)‎ ‎3 3‎ C. (- 1 , 1 ) D. (-∞,- 1 )∪( 1 ,+∞)‎ ‎3 3 3 3‎ 7. 已知函数 f(x)= ì-x2 + ax, x £ 1,若 ‎x 、x ∈R,x ≠x ,使得 f(x )=f(x )成立,则 a 的取值范围 î íax -1, x > 1‎ 是.‎ ‎∃ 1 2 1 2 1 2‎ A. a>2 B. a<2 C. -22‎ 8. 已知函数 f(x)=x2+mx+2,x∈R,若方程 f(x)+|x2-1|=2 在(0,2)上有两个丌等实根,则实数m 的取值范围是 A. (- 5 ,-1) B. (- 7 ,-1] C. (- 7 ,-1) D. (- 5 ,-1]‎ ‎2 2 2 2‎ 二、填空题:(每小题 4 分,共 24 分)‎ 9. 已知a为实数,若复数a+ 10‎ ‎3+i ‎是纯虚数,则a= .‎ ‎10. 设全集U=R,集合P={x∈P|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪∁UQ= .‎ ‎11. “∀x∈R,x2+2x+1>0”的否定是 .‎ ‎12. 函数 f(x)= ì2x , x < 1‎ ‎的值域为 .‎ î í-log x, x ³ 1‎ ílg(x +1), x > 0‎ ‎13. 已知函数 f(x)= ì2x -1, x £ 0‎ î ‎,若 f(2-a2)>f(a),则实数 a 的取值范围是 .‎ 14. 已知函数f(x)=3-x+a 的图像经过第二、三、四象限,g(a)=f(a)-f(a+1),则 g(a)的取值范围是 .‎ 三、解答题:(共 5 题,52 分)‎ 14. 某校高二年级某班的数学课外活动小组有 6 名男生,4 名女生,从中选出 4 人参加数学竞赛考试,用 X 表示其中男生的人数.‎ (1) 请列出 X 的分布列;‎ (2) 根据你所列的分布列求选出的 4 人中至少有 3 名男生的概率.‎ 15. 从装有大小相同的 2 个红球和 6 个白球的袋子中,每摸出 2 个球为一次试验,直到摸出的球 中 有 红 球 ( 丌 放 回 ), 则 实 验 结 束 (1) 求 第 一 次 实 验 恰 好 摸 到 1 个 红 球 和 1 个 白 球 的 概 率 ; (2)记实验次数为 X ,求X 的分布列及数学期望.‎ 16. 已知函数 f(x)=ln(x+a)-x2-x 在x=0 处取得极值. (1)求实数 a 的值;‎ (2) 若关亍 x 的方程 f(x)= - 5 x + b 在区间[0,2]上恰有两个丌同的实数根,求实数 b 的取值范 ‎2‎ ‎2‎ 围.‎ 17. 已知椭圆: x2 y2‎ ‎ ‎ ‎(a>b>0)的焦距为 2‎ ‎,其上下顶点分别为 C 、C ,点 a2 A(1,0),B(3,2), AC1⊥AC2.‎ ‎+ = 1 1 2‎ b2‎ (1) 求椭圆的方程;‎ (2) 点 P 的坐标为(m,n)(m≠3),过点 A 任意作直线 l 不椭圆相交亍 M、N 两点,设直线 MB、BP、NB 的斜率依次成等差数列,探究 m、n 之间是否满足某种数量关系,若是,请给出 m、n 的关系式,幵证明;若丌是,请说明理由．‎ 18. 已知函数 f(x)= ln(x - a) ,‎ x (1) 若 a=-1,证明:函数 f(x)是(0,+∞)上的减函数；‎ (2) 若曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线不直线 x﹣y=0 平行,求a 的值；‎ ‎(3)若 x>0,证明: ln(x +1) > x (其中 e=2.71828…是自然对数的底数).‎ ‎ ‎ x ex -1‎ 参考答案 一、选择题:(每小题 3 分,共 24 分）‎ ‎1. D 2. B 3. A 4. D ‎5. C 6. A 7. B 8. C 二、填空题:(每小题 4 分,共 24 分)‎ ‎9. -3‎ ‎10. (-2，3]‎ ‎11. ∃x0∈R，使得 x02+2x0+1≤0‎ ‎12. (-∞，2)‎ ‎13. (-2，1)‎ ‎14. (2，+∞)‎ 三、解答题:(共 5 题,52 分)‎ 15. 解：‎ （1） 设 x 的取值分别为 0，1，2，3，4（超几何分布）‎ CkC4-k C P(x = k) = 6 4 (k = 0, 1, 2, 3, 4)‎ ‎10‎ x ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎1‎ ‎210‎ ‎4‎ ‎35‎ ‎3‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎21‎ ‎1‎ ‎14‎ E(x) = 0´ 1‎ ‎+1´ 4‎ ‎+ 2´ 3 + 3´ 8‎ ‎+ 4´ 1‎ ‎= 762 .‎ ‎210 35 7 21 14 105‎ （2） 设选出 4 人中至少有 3 名男生事件为 A P( A) = P(x = 3) + P(x = 4) = ‎8 + 1 = 19 .‎ ‎21 14 42‎ 16. 解：‎ （1） 设第一次实验恰好摸到一个红球和一个白球事件为 A C1C1 3‎ P( A) = 2 6 = .‎ C ‎7‎ ‎2‎ ‎8‎ （2） 设 x 的取值分别为 1，2，3，4‎ C 2 + C1C1 13‎ C ‎2‎ P(x = 1) = 2 2 6 =‎ ‎8 28‎ C 2(C1C1 + C 2) 9‎ P(x = 2) = 6 2 4 2 =‎ C C ‎ ‎28‎ ‎2 2‎ ‎8 6‎ C 2C 2(C 2 +C1C1) 5‎ P(x = 3) = 6 4 2 2 2 =‎ C C C ‎ ‎28‎ ‎2 2 2‎ ‎8 6 4‎ P(x = 6 4 2 24) = =‎ C 2C 2C 2C 2 1‎ C C C ‎ ‎28‎ ‎2 2 2‎ ‎8 6 4‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎13‎ ‎28‎ ‎9‎ ‎28‎ ‎5‎ ‎28‎ ‎1‎ ‎28‎ E(x) = 1´ 13 + 2´ 9‎ ‎+ 3´ 5‎ ‎+ 4´ 1‎ ‎= 25 .‎ ‎28 28 28 28 14‎ 15. 解：‎ ‎（1） f '(x) = ‎‎ ‎1‎ x + a ‎‎ - 2x -1由 f '(0) = 0‎ 即 1 -1 = 0‎ a ‎a = 1‎ f (x) = ln(x +1) - x2 - x f '(x) = -x(2x + 3)‎ x +1‎ 经检验 a = 1符合题意.‎ ‎（2）由 f (x) =- 5 x+b 可知，‎ ‎2‎ b= ln(x +1) - x2 + 3 x ‎2‎ 设 g(x) = ln(x +1) - x2 + 3 x ‎2‎ ‎(x Î[0, 2])‎ g '(x) = ‎1 - 2x + 3 = -(x -1)(4x + 5)‎ ‎ ‎ x +1 2 2(x +1)‎ x ‎0‎ ‎(0，1)‎ ‎1‎ ‎（1，2）‎ ‎2‎ g’(x)‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ g(x)‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ g(0) = 0‎ g(1) = ln2+ 1‎ ‎2‎ g(2) = ln3 -1‎ 证明可知 b 的值范围是： ln3 -1 £ b < ln 2 + 1 .‎ ‎2‎ 16. 解：‎ ‎（1） C1 (0, b),‎ ‎‎ C2 (0, - b).‎ ‎‎ AC1 = (-1, b),‎ ‎‎ AC2 = (-1, - b)‎ ìï AC × AC ìïb2 = 1‎ ‎2‎ ‎3‎ 由í 1 2 即í a = ‎2‎ ïîC = 椭圆方程：‎ ‎‎ x2 + 2‎ y ‎3‎ ‎ïîC = = 1‎ （2） 当直线MN 为 x 轴时， M = ( 3, 0),‎ ‎N (- ‎3, 0)‎ ‎2‎ ‎3 - 3‎ K = , K ‎= 2 - n , K = 2‎ ‎2‎ ‎3 + 3‎ MB BP ‎3 - m NB 3 + 3‎ 由2K = K +K ‎即 2(2 - n) = 2 + BP MB NB m - n = 1‎ ‎3 - m 3 - 3‎ ìx = ty +1‎ î 当直线 MN 方程： íx2 + 2 y2 - 3 = 0‎ ‎(t2 + 3) y2 + 2ty + 2 = 0‎ ‎M (x1, y1),‎ ‎N (x2 , y2 )‎ ì y + y = ‎-2t ‎K = y1 - 2 , K ‎= 2 - n , K ‎= y2 - 2‎ ï 1 2‎ ‎t2 + 3‎ ‎MB x - 3‎ ‎BP 3 - m ‎NB x - 3‎ í 1 2‎ ï y y = -2‎ ‎由2K = K + K îï 1 2‎ ‎t2 + 3‎ ‎BP MB NB ‎2(2 - n) = y1 - 2 + y2 - 2 , 2ty1 y2 - 2( y1 + y2 ) - 2t( y1 + y2 ) + 8 = 2(2 - n)‎ ‎ ‎ ‎3 - m x - 3‎ ‎x - 3‎ ‎t 2 y y ‎- 2t( y ‎+ y ) + 4 3 - m ‎2(2 - n) =2‎ ‎3 - m m - n = 1‎ ‎1 2 1 2 1 2‎ 综上 m - n = 1.‎ 15. 解：‎ ‎（1）当 a = -1时， f (x) = ln(x +1) 的定义域(-1, 0) È(0, + ¥)‎ x x - ln(x +1)‎ f '(x) = x +1 = x - (x +1) ln(x +1)‎ x2 x2(x +1)‎ 设 g(x) = x -(x +1)ln(x +1) (x > 0)‎ g '(x) =1-ln(x +1) -1 = -ln(x +1) < 0‎ g(x) 在(0, + ¥) 上递减 g(x) < g(0) = 0‎ f '(x) < 0‎ f (x) 在(0, + ¥) 上减函数 x - ln(x - a)‎ ‎（2） f '(x)= x - a = x - (x - a) ln(x - a)‎ 由 f '(1)=1 可 知 1‎ ‎1- a ‎x2‎ - ln(1- a) = 1‎ ‎x2(x - a)‎ a ‎1- a ‎= ln(1- a)‎ a=0‎ （2） 由 x ex -1‎ ‎= ln(ex -1+1)‎ ex ln(x +1) > x ln(x +1) > ln(ex -1+1)‎ 需证明 ‎x ex -1‎ ‎只需证明 ‎x ex -1‎ 由（1）可知 f (x) 在(0, + ¥) 是减函数故只需证明 x < ex -1对"x > 0 成立 设 h(x) = ex - x -1‎ h'(x) = ex -1 > 0‎ h(x) 在(0, + ¥) 上递增 h(x) > h(0) = 0‎ 故 x < ex -1‎ ‎故ln(x +1) > ‎x 成立 x ex -1‎