福建省厦门市湖滨中学2019-2020学年高二上学期期中考试数学试题 9页

厦门市湖滨中学2019---2020学年第一学期期中考 高二数学试卷 注意事项:‎ ‎1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。‎ ‎3，考试来后，将答题卡交回。‎ 一、单选題:本題共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。‎ ‎1. 抛物线的焦点坐标是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎2.,方程表示的曲线是椭圆,则是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 ‎ C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎3.某学校高一、高二、高三的学生人数之比为2：3：5，若用分层抽样的方法抽取容量为200的样本，则应从高三学生中抽取的人数为（ ）‎ A．40 B．‎60 ‎C．80 D．100‎ ‎4.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的直线，交双曲线于、，是另一焦点，若∠，则双曲线的离心率等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5. 从装有3个红球、2个白球的袋中任取3个球，若事件“所取的3个球中至少有1个白球”，则事件的对立事件是（ ）‎ A．1个白球2个红球 B．2个白球1个红球 C．3个都是红球 D．至少有一个红球 ‎6. 双曲线的左右焦点分别为，若双曲线上一点满足，则的周长等于（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图所示,直线的方程为，向边长为2的正方形内随机地投飞镖，飞镖都能投入正方形内，且投到每个点的可能性相等，则飞镖落在阴影部分（的内部）的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.已知点为双曲线的右焦点,过作直线与双曲线相交于两点,若满足的直线有且仅有两条,则双曲线的方程可以是（ ）‎ A. B. C. D.‎ 二、多选題:本題共2小题，每小题5分，共10分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，有选错的的0分。‎ ‎9. 某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收人构成比例，得到如下饼图:‎ 则下面结论中正确的有（ ）‎ A.新农村建设后，种植收入减少；‎ B.新农村建设后，其他收入加了一倍以上；‎ C.新农村建设后，养殖收入增加了一倍；‎ D.新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.‎ ‎10. 下列命题的有（ ）‎ A． 命题“若，则”的逆否命题为真命题；‎ B． 命题“”为假命题，则命题与命题都是假命题；‎ C． “”是“”成立的必要不充分条件；‎ D． 命题“，.”的否定是：“，.”‎ 三、填空题：本题共6小题，每题5分，共30分。‎ ‎11.命题“若,则”的否命题是：____________ . ‎ ‎12.如果点在运动过程中，总满足关系式，点的轨迹方程是:____________ .‎ ‎13. 某篮球运动员在一个赛季的40场比赛中的得分 的茎叶图如下图所示：‎ 则中位数与众数分别为 和 .‎ ‎14. 在一个袋子中有形状、大小、质地均相同的白球2个，红球1个，每次随机摸出一球，且记下球的颜色后放回袋子，连续摸球两次，则仅在第二次摸到白球的概率为________.‎ ‎15. 是抛物线上一点，是抛物线的焦点，以为始边，以为终边的角，求=________.‎ ‎16. 平面直角坐标系中，双曲线的渐近线与抛物线：交于点.若的垂心为的焦点，则的离心率为_____.‎ 四、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎17.（10分）设命题；命题关于的不等式一切均成立。‎ ‎（1）若命题为真命题，求实数的取值范围（用集合表示）；‎ ‎（2）若命题为真命题，且命题为假命题，求实数的取值范围.‎ ‎18.（12分） 第41届联合国教科文组织世界遗产委员会会议于‎2017年7月2日在波兰开幕，并于‎7月8日投票表决通过厦门鼓浪屿成为世界文化遗产．申遗成功后，吸引了世界各地大批游客来游玩，某部门为了了解游客对鼓浪屿旅游服务的满意度，在20‎17年10月1日上岛的名游客中随机调查了名，统计后得到如下频数分布表和频率分布直方图：‎ ‎（1）求a，b，n并估计当日上岛游客中满意度不低于80的人数；‎ ‎（2）该部门认为：如果当日游客满意度的平均值低于85，就有必要采取适当的措施改进服务质量，你认为是否有必要采取措施改进服务质量，请说明理由．‎ ‎19.（12分）如图，圆的半径为，点是圆的六个等分点．‎ ‎（1）从在随机取三点，总共可构成个不同的三角形，求这三点构成的三角形是直角三角形的概率；‎ ‎（2）在圆上随机取一点，求的面积大于的概率．‎ ‎20.（12分）已知抛物线 的焦点为，点 为其上一点，且  ‎ ‎(1)求与的值; ‎ ‎(2)如图,过点作直线交抛物线于两点,求直线的斜率之积. ‎ ‎21.（12分）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如下表 商店名称 A B C D E 销售额x(千万元)‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎9‎ 利润额y(百万元)‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎（1）画出散点图．观察散点图，说明两个变量有怎样的相关性;‎ 其中 ‎(2)用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程;‎ ‎(3)当销售额为4(千万元)时，估计利润额的大小.‎ ‎22.（12分）点是圆上一点，在轴上的射影为，点是线段的中点，当在圆上运动时，点的轨迹为.‎ ‎（1）求轨迹的方程;‎ ‎（2）动直线与圆交于两点，与曲线交于两点，当钝角的面积为时，的大小是否为定值？若是。求出该定值；若不是，说明理由.‎ 参考答案：‎ 一、CADCC CBD 二、9：BCD 10：BCD 三、11.若,则 12. 13.23，23 ‎ ‎14. 15.4 16. ‎ ‎17.解：（I）当命题为真命题时，不等式对一切均成立，‎ 所以 ,所以实数的取值范围是； ‎ ‎（II）由命题为真，且为假，得命题p、q一真一假 ‎ 当p真q假时，则，； 当假p真q时，则，得， ‎ 所以实数的取值范围是 ‎18. （1）由频率分布直方图，可知满意度在[50，60 之间的频率为0.005×10=0.05，‎ 所以0.05n=50，即n=1000，所以样本容量为1000．‎ 所以a=1000–50–100–250–200=400，‎ b．样本中满意度不低于80的频率为0.4+0.2=0.6，‎ 所以总体中满意度不低于80的频率为0.6，‎ 所以当日上岛游客中满意度不低于80的人数为0.6×49000=29400．‎ (2) 样本的平均满意度为 ‎ ‎ 所以当日上岛游客的平均满意度81＜85，‎ 所以有必要采取适当的措施改进服务质量。‎ ‎19：‎ 解答：（1）记事件“从A、B、C、D、E、F中随机选取三点这三点构成的三角形是直角三角形”为M；‎ 由题意可知从A、B、C、D、E、F为端点的线段中，只有AD、BE、CF是圆O的直径，所以事件M包含以下12个基本事件：‎ ‎，，，，，;‎ ‎，，，，，;‎ (2) 记事件“的面积大于”为N，‎ 在中，AD=4，‎ 由题意知是弧，其所对的圆周角；‎ 所以CD，AC；‎ 当的面积大于时，设点P到AC的距离为d，‎ 则有，即d＞2‎ 由题意已知四边形ACDF是矩形，‎ 所以AC∥FD，且AC与FD之间的距离为2，‎ 所以点P在上（不包含点D、F）；‎ 故所求的概率为.‎ ‎ ‎ 20. 解:(1)抛物线的焦点为,准线为 由抛物线定义知:点到F的距离等于M到准线的距离,  故,  ,抛物线C的方程为 点在抛物线C上,  ,即 ,;  (2)证明:由(1)知:抛物线C的方程为,焦点为 若直线l的斜率不存在,  则其方程为:,代入,  易得:,,  从而;  若直线l的斜率存在,设为,则其方程可表示为:,  由,消去x,得:,  即, 设,‎ ‎,  则,  从而 综上所述:直线OA、OB的斜率之积为 ‎21.‎ 解答：‎ y x 解：（1）根据所给的这一组数据，得到5个点坐标分别是（3,2），（5,3），（6,3），（7,4），（9,5）把这几个点的坐标在直角坐标系中描出对应的点，得到散点图.‎ (2) ‎；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ ；‎ ‎ 回归直线方程为. ‎ （3） 当x=4时，；‎ ‎ 所以当销售额为4（千万元）时，估计利润额为2.4千万元.‎ ‎22. （1）设点，，所以，‎ 因为点是线段中点，‎ 所以，。‎ 又因为点在圆：上，‎ 所以。‎ 即的方程是。‎ ‎（2）设点到直线的距离为，则 ‎，‎ 则或。‎ 因为为钝角三角形 ，‎ 所以，即。‎ ‎①当直线斜率不存在时，直线方程为，‎ 代入椭圆方程得，‎ 不妨设，，‎ 此时。‎ ‎②当直线斜率存在时，设直线方程为，‎ 所以，‎ 所以。‎ 由得，‎ 所以，‎ 将代入得。‎ 设，，‎ 所以，。‎ 所以 ‎，‎ 将代入式中可得，‎ 所以，‎ 即。‎ 综上所述，为定值且为。‎