2019届二轮复习第2讲　三角恒等变换与解三角形课件（35张）（全国通用） 35页

第 2 讲　三角恒等变换与解三角形 高考定位　 1. 三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中关键是利用两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式等进行恒等变换， “ 角 ” 的变换是三角恒等变换的核心； 2. 正弦定理与余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查边、角、面积的计算及有关的范围问题 . 答案　 A 真 题 感 悟 3. (2018· 全国 Ⅰ 卷 ) 在平面四边形 ABCD 中， ∠ ADC ＝ 90° ， ∠ A ＝ 45° ， AB ＝ 2 ， BD ＝ 5. 在 △ BCD 中，由余弦定理得 所以 BC ＝ 5. 1. 三角函数公式 考 点 整 合 2. 正弦定理、余弦定理、三角形面积公式 探究提高　 1. 三角恒等变换的基本思路：找差异，化同角 ( 名 ) ，化简求值 . 2. 解决条件求值问题的三个关注点 (1) 分析已知角和未知角之间的关系，正确地用已知角来表示未知角 . (2) 正确地运用有关公式将所求角的三角函数值用已知角的三角函数值来表示 . (3) 求解三角函数中给值求角的问题时，要根据已知求这个角的某种三角函数值，然后结合角的取值范围，求出角的大小 . 所以 cos( α ＋ β ) ＝ cos[(2 α － β ) － ( α － 2 β )] ＝ cos(2 α － β )·cos( α － 2 β ) ＋ sin(2 α － β )sin( α － 2 β ) 热点二　正弦定理与余弦定理 考法 1 　利用正 ( 余 ) 弦定理进行边角计算 【例 2 － 1 】 (2018· 潍坊一模 ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 ( a ＋ 2 c )cos B ＋ b cos A ＝ 0. 解　 (1) 由已知及正弦定理得 (sin A ＋ 2sin C )cos B ＋ sin B cos A ＝ 0 ， (sin A cos B ＋ sin B cos A ) ＋ 2sin C cos B ＝ 0 ， sin( A ＋ B ) ＋ 2sin C cos B ＝ 0 ， 又 sin( A ＋ B ) ＝ sin C ，且 C ∈ (0 ， π) ， sin C ≠0 ， (2) 由余弦定理，得 9 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B . ∴ a 2 ＋ c 2 ＋ ac ＝ 9 ，则 ( a ＋ c ) 2 － ac ＝ 9. 由余弦定理，得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ＝ ( a ＋ c ) 2 － ac ， 解　 由 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ＝ a 2 ＋ c 2 － ac ， 则 9 ＝ a 2 ＋ c 2 － ac ≥ 2 ac － ac ＝ ac ， 所以 ac ≤ 9( 当且仅当 a ＝ c ＝ 3 时，取等号 ) ， 探究提高 　 1. 高考中主要涉及利用正弦、余弦定理求三角形的边长、角、面积等基本计算，或将两个定理与三角恒等变换相结合综合解三角形 . 2. 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意 “ 三统一 ” ，即 “ 统一角、统一函数、统一结构 ” ，这是使问题获得解决的突破口 . 上式两边平方，整理得 17cos 2 B － 32cos B ＋ 15 ＝ 0 ， 由余弦定理及 a ＋ c ＝ 6 得 b 2 ＝ a 2 ＋ c 2 － 2 ac cos B ＝ ( a ＋ c ) 2 － 2 ac (1 ＋ cos B ) 所以 b ＝ 2. 考法 2 　应用正、余弦定理解决实际问题 【例 2 － 2 】 (2018· 衡水质检 ) 某气象仪器研究所按以下方案测试一种 “ 弹射型 ” 气象观测仪器的垂直弹射高度：在 C 处 ( 点 C 在水平地面下方， O 为 CH 与水平地面 ABO 的交点 ) 进行该仪器的垂直弹射，水平地面上两个观察点 A ， B 两地相距 100 米， ∠ BAC ＝ 60° ，其中 A 到 C 的距离比 B 到 C 的距离远 40 米 . A 地测得该仪器在 C 处的俯角为 ∠ OAC ＝ 15° ， A 地测得最高点 H 的仰角为 ∠ HAO ＝ 30° ，则该仪器的垂直弹射高度 CH 为 ( 　　 ) 解析　 由题意，设 AC ＝ x 米，则 BC ＝ ( x － 40) 米 ， 在 △ ABC 内，由余弦定理： BC 2 ＝ BA 2 ＋ CA 2 － 2 BA · CA ·cos ∠ BAC ， 即 ( x － 40) 2 ＝ x 2 ＋ 10 000 － 100 x ，解得 x ＝ 420( 米 ). 在 △ ACH 中， AC ＝ 420 米， ∠ CAH ＝ 30° ＋ 15° ＝ 45° ， ∠ CHA ＝ 90° － 30° ＝ 60° ， 答案　 B 探究提高　 1. 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解 . 2. 实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程 ( 组 ) ，解方程 ( 组 ) 得出所要求的解 . 【训练 3 】 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 A 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30° 的方向上，行驶 600 m 后到达 B 处，测得此山顶在西偏北 75° 的方向上，仰角为 30° ，则此山的高度 CD ＝ ________m. 解析　 由题意，在 △ ABC 中， ∠ BAC ＝ 30° ， ∠ ABC ＝ 180° － 75° ＝ 105° ， 故 ∠ ACB ＝ 45°. 又 ω ＞ 0 ，所以 ω ＝ 1. 设 △ ABC 中角 A ， B ， C 所对的边分别是 a ， b ， c . 探究提高　 1. 破解平面向量与 “ 三角 ” 相交汇题的常用方法是 “ 化简转化法 ” ，即先活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅助角公式等对三角函数进行巧 “ 化简 ” ；然后把以向量共线、向量垂直形式出现的条件转化为 “ 对应坐标乘积之间的关系 ” ；再活用正、余弦定理，对三角形的边、角进行互化 . 2. 这种问题求解的关键是利用向量的知识将条件 “ 脱去向量外衣 ” ，转化为三角函数的相关知识进行求解 . 1. 对于三角函数的求值，需关注： (1) 寻求角与角关系的特殊性，化非特殊角为特殊角，熟练准确地应用公式； (2) 注意切化弦、异角化同角、异名化同名、角的变换等常规技巧的运用； (3) 对于条件求值问题，要认真寻找条件和结论的关系，寻找解题的突破口，对于很难入手的问题，可利用分析法 . 2. 三角形中判断边、角关系的具体方法： (1) 通过正弦定理实施边角转换； (2) 通过余弦定理实施边角转换； (3) 通过三角变换找出角之间的关系； (4) 通过三角函数值符号的判断以及正、余弦函数的有界性进行讨论； (5) 若涉及两个 ( 或两个以上 ) 三角形，这时需作出这些三角形，先解条件多的三角形，再逐步求出其他三角形的边和角，其中往往用到三角形内角和定理，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程 ( 组 ) 求解 .