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  • 2021-07-01 发布

广东省深圳市外国语学校2020届高三第一次测试数学(文)试卷

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文科数学 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.集合,,则= ( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.若复数,则的虚部为           (  )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.已知向量a=(4,x),b=(-4,4),若a∥b,则x的值为 (  ).‎ A.0 B.‎4 C.-4 D.±4‎ ‎4.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.下列函数中,在其定义域上为增函数的是( )‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.设函数,“是偶函数”是“的图像关于原点对称”的( )‎ ‎ A.充分不必要条件 B.必要不充条件 ‎ ‎ C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎8. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)‎ ‎ A.2018年 B. 2019年 C.2020年 D.2021年 ‎9.将函数的图象向右平移,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则下列说法正确的是( )‎ A. 函数的最大值是 B. 函数的最小正周期为 C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图像关于直线对称 ‎10.如图,平面四边形ABCD中,E,F是AD,BD中点,AB=AD=CD=2,,将沿对角线BD折起至,使平面,则四面体中,下列结论不正确的是( )‎ A. 平面 ‎ B.异面直线CD与所成的角为 ‎ C.异面直线EF与所成的角为 ‎ ‎ D.直线与平面BCD所成的角为 ‎ ‎11.已知 ,则下列不等式一定成立的是( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎12.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正实数的取值范围为 ‎ A. B.‎ ‎ C.   D.‎ 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13.函数的值域为________. ‎ ‎14.若则 ‎15.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列,且,公和为5,这个数列的前项和_______. ‎ ‎16.已知三棱锥PABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为2,则三棱锥PABC的内切球的体积为________.‎ 三、解答题(本大题共 6小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 在中,角A、B、C所对的边分别为,且满足。 ‎ ‎(1) 求角A的大小;‎ ‎(2)若,求周长的最大值。‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和为,. (Ⅰ)求证:数列是等差数列; (Ⅱ)求.‎ ‎20. (本小题满分12分)‎ 在△ABC中,点D在线段AC上,且,‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)求BC和AC的长 ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.‎ ‎(Ⅰ)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥P-ABC体积的最大值;‎ ‎(Ⅲ)若,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,方程在区间内有唯一实数解,‎ 求实数的取值范围.‎ 文科数学答案 一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 B D C A C D B ‎ B C C C D 二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.‎ ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题(本大题共 6小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.‎ 解:设数列的公差为,则,, ‎ ‎. 由成等比数列得,‎ 即,整理得, 解得或. ‎ 当时,.‎ 当时,,‎ ‎18.(本题满分12分)‎ 在中,角A、B、C所对的边分别为,且满足。 ‎ ‎(1) 求角A的大小;‎ ‎(2)若,求周长的最大值。‎ ‎18解:(1)依正弦定理可将化为 ‎ 又因为在中,所以有.‎ ‎∵ ,             ‎ ‎(2)因为的周长,   所以当最大时,的周长最大.‎ 解法一: (当且仅当时等号成立)‎ 所以周长的最大值12‎ ‎19. (本小题满分12分)‎ 已知数列的前项和为,. (Ⅰ)求证:数列是等差数列; (Ⅱ)求.‎ ‎19.(Ⅰ)证明:因为当时,,‎ 所以.所以,2分 因为所以,所以, 3分 所以. 4分 所以是以为首项,以1为公差的等差数列. 6分 ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,所以.8分 所以. 10分 所以1. 12分 ‎20. (本小题满分12分)‎ 在△ABC中,点D在线段AC上,且,‎ ‎(I)求;‎ ‎(II)求BC和AC的长 ‎20.(Ⅰ)、................4分 ‎(Ⅱ)、设则 在中,,‎ 即….① ........6分 在中,,............8分 由得…② .....................10分 由①、②解得,所以BC=3,AC=3............................12分 ‎21.(本小题满分12分)‎ 如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.‎ ‎(Ⅰ)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;‎ ‎(Ⅱ)求三棱锥P-ABC体积的最大值;‎ ‎(Ⅲ)若,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.‎ ‎21解法一:(Ⅰ)在中,因为为的中点,所以 又垂直于圆所在的平面,所以因为,所以平面.‎ ‎(Ⅱ)因为点在圆上,所以当时,到AB的距离最大,且最大值为1.‎ 又,所以面积的最大值为 又因为三棱锥的高,故三棱锥体积的最大值为 ‎(Ⅲ)在中,,‎ 所以,同理,所以 在三棱锥中,将侧面BCP绕PB旋转至平面,使之与平面共面,如图所示。当共线时,取得最小值 又因为,所以垂直平分,‎ 即为中点从而,亦即的最小值为.‎ 解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.‎ ‎(Ⅲ)在中,,所以,同理 所以,所以.在三棱锥中,将侧面BCP绕PB旋转至平面,使之与平面共面,如图所示。当共线时,取得最小值.‎ 所以在中,由余弦定理得:‎ 从而所以的最小值为.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 函数.‎ ‎(Ⅰ)讨论函数的单调性;‎ ‎(Ⅱ)当时,方程在区间内有唯一实数解,‎ 求实数的取值范围.‎ ‎22.【解析】(I), ‎ ‎(i)当时,,令,得,令,得,‎ 函数f(x)在上单调递增,上单调递减; (2分)‎ ‎(ii)当时,令,得, (3分)‎ 令,得,令,得,‎ 函数f(x)在和上单调递增,上单调递减; (4分)‎ ‎(iii)当时,,函数f(x)在上单调递增;(5分)‎ ‎(iv)当时, (6分)‎ 令,得,令,得, (7分)‎ 函数f(x)在和上单调递增,上单调递减; (8分) ‎ 综上所述:当时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;‎ ‎ 当时,函数f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为;‎ 当时,函数f(x)的单调递增区间为;‎ 当时,函数f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为 (9分)‎ ‎(II)当时,,由,得,又,所以,要使方程在区间上有唯一实数解,‎ 只需有唯一实数解,(10分)‎ 令,∴,由得;得,‎ ‎∴在区间上是增函数,在区间上是减函数. (11分)‎ ‎,, ,故 或 (12分)‎