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- 2021-07-01 发布
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文科数学
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.集合,,则= ( )
A. B. C. D.
2.若复数,则的虚部为 ( )
A. B. C. D.
3.已知向量a=(4,x),b=(-4,4),若a∥b,则x的值为 ( ).
A.0 B.4 C.-4 D.±4
4.已知角的顶点在坐标原点,始边与轴的非负半轴重合,终边经过点,则的值为( )
A. B. C. D.
5.下列函数中,在其定义域上为增函数的是( )
A. B. C. D.
6.各项均为正数的等比数列的前项和为,若,则( )
A. B. C. D.
7.设函数,“是偶函数”是“的图像关于原点对称”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
8. 某公司为激励创新,计划逐年加大研发奖金投入。若该公司2015年全年投入研发奖金130万元,在此基础上,每年投入的研发奖金比上一年增长12%,则该公司全年投入的研发奖金开始超过200万元的年份是 (参考数据:lg1.12=0.05,lg1.3=0.11,lg2=0.30)
A.2018年 B. 2019年 C.2020年 D.2021年
9.将函数的图象向右平移,再把所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数的图象,则下列说法正确的是( )
A. 函数的最大值是 B. 函数的最小正周期为
C. 函数在区间上单调递增 D. 函数的图像关于直线对称
10.如图,平面四边形ABCD中,E,F是AD,BD中点,AB=AD=CD=2,,将沿对角线BD折起至,使平面,则四面体中,下列结论不正确的是( )
A. 平面
B.异面直线CD与所成的角为
C.异面直线EF与所成的角为
D.直线与平面BCD所成的角为
11.已知 ,则下列不等式一定成立的是( )
A. B. C. D.
12.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正实数的取值范围为
A. B.
C. D.
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13.函数的值域为________.
14.若则
15.定义“等和数列”:在一个数列中,如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数,那么这个数列叫做等和数列,这个常数叫做该数列的公和.已知数列是等和数列,且,公和为5,这个数列的前项和_______.
16.已知三棱锥PABC的所有棱长都相等,现沿PA,PB,PC三条侧棱剪开,将其表面展开成一个平面图形,若这个平面图形外接圆的半径为2,则三棱锥PABC的内切球的体积为________.
三、解答题(本大题共 6小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
18.(本题满分12分)
在中,角A、B、C所对的边分别为,且满足。
(1) 求角A的大小;
(2)若,求周长的最大值。
19. (本小题满分12分)
已知数列的前项和为,.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求.
20. (本小题满分12分)
在△ABC中,点D在线段AC上,且,
(I)求;
(II)求BC和AC的长
21.(本小题满分12分)
如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(Ⅰ)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;
(Ⅱ)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(Ⅲ)若,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
22.(本小题满分12分)
函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)当时,方程在区间内有唯一实数解,
求实数的取值范围.
文科数学答案
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
D
C
A
C
D
B
B
C
C
C
D
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,满分20分.
13. 14. 15. 16.
三、解答题(本大题共 6小题,满分 70 分.解答须写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)
等差数列中,且成等比数列,求数列前20项的和.
解:设数列的公差为,则,,
. 由成等比数列得,
即,整理得, 解得或.
当时,.
当时,,
18.(本题满分12分)
在中,角A、B、C所对的边分别为,且满足。
(1) 求角A的大小;
(2)若,求周长的最大值。
18解:(1)依正弦定理可将化为
又因为在中,所以有.
∵ ,
(2)因为的周长, 所以当最大时,的周长最大.
解法一: (当且仅当时等号成立)
所以周长的最大值12
19. (本小题满分12分)
已知数列的前项和为,.
(Ⅰ)求证:数列是等差数列;
(Ⅱ)求.
19.(Ⅰ)证明:因为当时,,
所以.所以,2分
因为所以,所以, 3分 所以. 4分
所以是以为首项,以1为公差的等差数列. 6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得,所以.8分
所以. 10分
所以1. 12分
20. (本小题满分12分)
在△ABC中,点D在线段AC上,且,
(I)求;
(II)求BC和AC的长
20.(Ⅰ)、................4分
(Ⅱ)、设则
在中,,
即….① ........6分
在中,,............8分
由得…② .....................10分
由①、②解得,所以BC=3,AC=3............................12分
21.(本小题满分12分)
如图,AB是圆O的直径,点C是圆O上异于A,B的点,PO垂直于圆O所在的平面,且PO=OB=1.
(Ⅰ)若D为线段AC的中点,求证:AC⊥平面PDO;
(Ⅱ)求三棱锥P-ABC体积的最大值;
(Ⅲ)若,点E在线段PB上,求CE+OE的最小值.
21解法一:(Ⅰ)在中,因为为的中点,所以
又垂直于圆所在的平面,所以因为,所以平面.
(Ⅱ)因为点在圆上,所以当时,到AB的距离最大,且最大值为1.
又,所以面积的最大值为
又因为三棱锥的高,故三棱锥体积的最大值为
(Ⅲ)在中,,
所以,同理,所以
在三棱锥中,将侧面BCP绕PB旋转至平面,使之与平面共面,如图所示。当共线时,取得最小值
又因为,所以垂直平分,
即为中点从而,亦即的最小值为.
解法二:(Ⅰ)(Ⅱ)同解法一.
(Ⅲ)在中,,所以,同理
所以,所以.在三棱锥中,将侧面BCP绕PB旋转至平面,使之与平面共面,如图所示。当共线时,取得最小值.
所以在中,由余弦定理得:
从而所以的最小值为.
22.(本小题满分12分)
函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调性;
(Ⅱ)当时,方程在区间内有唯一实数解,
求实数的取值范围.
22.【解析】(I),
(i)当时,,令,得,令,得,
函数f(x)在上单调递增,上单调递减; (2分)
(ii)当时,令,得, (3分)
令,得,令,得,
函数f(x)在和上单调递增,上单调递减; (4分)
(iii)当时,,函数f(x)在上单调递增;(5分)
(iv)当时, (6分)
令,得,令,得, (7分)
函数f(x)在和上单调递增,上单调递减; (8分)
综上所述:当时,函数f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为;
当时,函数f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为;
当时,函数f(x)的单调递增区间为;
当时,函数f(x)的单调递增区间为和,单调递减区间为 (9分)
(II)当时,,由,得,又,所以,要使方程在区间上有唯一实数解,
只需有唯一实数解,(10分)
令,∴,由得;得,
∴在区间上是增函数,在区间上是减函数. (11分)
,, ,故 或 (12分)