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- 2021-07-01 发布
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第六类 函数与导数问题重在“分”——分离、分解
以函数为载体、以导数为工具的综合问题是高考常考的压轴大题，多涉及含参数的函数的单调性、极值或最值的探索与讨论、复杂函数的零点的讨论、不等式中参数范围的讨论、恒成立和能成立问题的讨论等，是近几年高考试题的命题热点.对于此类综合试题，一般先求导，再变形或分解出基本函数，再根据题意处理.
【例6】 (2017·全国Ⅱ卷)已知函数f(x)＝ax2－ax－xln x，且f(x)≥0.
(1)求a；
(2)证明：f(x)存在唯一的极大值点x0，且e－21时，g′(x)>0，g(x)单调递增，
所以x＝1是g(x)的极小值点，故g(x)≥g(1)＝0.
综上，a＝1.
(2)证明 由(1)知f(x)＝x2－x－xln x，f′(x)＝2x－2－ln x，
设h(x)＝2x－2－ln x，(分解)
则h′(x)＝2－.
当x∈时，h′(x)<0；
当x∈时，h′(x)>0.
所以h(x)在单调递减，在单调递增.
又h(e－2)>0，h<0，h(1)＝0，
所以h(x)在有唯一零点x0，在有唯一零点1，且当x∈(0，x0)时，h(x)>0；当x∈(x0，1)时，h(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，h(x)>0.
因为f′(x)＝h(x)，所以x＝x0是f(x)的唯一极大值点.
由f′(x0)＝0得ln x0＝2(x0－1)，故f(x0)＝x0(1－x0).
由x0∈得f(x0)<.
因为x＝x0是f(x)在(0，1)的最大值点，
由e－1∈(0，1)，f′(e－1)≠0得f(x0)>f(e－1)＝e－2.
所以e－2b对任意x∈(0，＋∞)恒成立，求实数b的取值范围.
解 (1)f′(x)＝ex(2x＋b＋2)，
由f′(x)<0得x<－；由f′(x)>0得x>－.
F(x)的定义域为(0，＋∞)，且F′(x)＝b－＝，
∵b<0，∴F′(x)<0，即F(x)在(0，＋∞)上单调递减.
∵f(x)和F(x)在区间M上具有相同的单调性，
∴－>0，得b<－2，即实数b的取值范围是(－∞，－2).
(2)由F(x＋1)>b得ln(x＋1)－bx<0.
∵x>0，∴b>在x∈(0，＋∞)上恒成立.
设g(x)＝ln(x＋1)－x，则g′(x)＝－1＝<0，
∴g(x)在(0，＋∞)上递减，∴g(x)
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