2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷一（含附加题Word版附答案） 11页

2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一 数学Ⅰ 参考公式： 样本数据 1 2, , , nx x x 的方差  22 1 1 n i i s x x n    ，其中 1 1 n i i x x n    柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高． 锥体的体积 1 3 V Sh ，其中 S 是椎体的底面积，h 是椎体的高． 一．填空题：本题共 14 小题．请把答案填写在答题卡相应位置上 1．已知集合  2{ | 1 3}, | 9A x x B x Z x       ，则 A∩B=________． 2．已知复数 z 满足 4 3iz i  （i 为虚数单位），则 z=________． 3．执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为________． 4．下图是青年歌手大奖赛上 9 位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最 低分，所剩数据的平均数为________． 5．直线 x+y+a=0 是圆 x2+y2-4y=0 的一条对称轴，则 a=________． 6．函数 3( ) 2 logf x x  的定义域________． 7．已知存在 2, , sin 3sin 0 2 2 x x x a          恒成立，则实数 a 的取值范围是________． 8．在区间 [0,2]上随机取两个数 x，y，则事件“x2+y2≤4”发生的概率为________． 9．等差数列 na 的前 n 项和 Sn，若 S2=4，S6=10，则 S10=________． 10．已知双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a b a b     的右焦点为 F，直线 : 3l y x 与 C 交于 A，B 两 点，AF，BF 的中点分别为 M，N，若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线 C 的离心 率为________． 11．已知函数 ( )f x 的定义域为 R，其导函数 '( )f x 既是 R 上增函数，又是奇函数，则满足不 等式 ( 1) (3 )f m f m  的实数 m 的取值范围为________． 12．已知球 O 与棱长为 8 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的所有棱都相切，点 P 是球 O 上一点， 点 Q 是△A1C1B 的外接圆上的一点，则线段 PQ 的取值范围是________． 13．已知正数 ab 满足 a+b=1，则 1 4 1 1a b    的最小值为________． 14．在△ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A， B， C 的对边，若 2 2 22020a b c  ，则 2 tan tan tan (tan tan ) A B C A B     ________． 二．解答题：本大题共 6 小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 15．已知 10 10sin sin( ),sin , 0, 2 10 2              ． （Ⅰ）求 cos 2 ； （Ⅱ）求 tan( )  的值． 16．如图，已知四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD BC ，BC=CD=PD=2AD， AD⊥CD，PD⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点． （Ⅰ）求证： AE  平面 PDC； （Ⅱ）求证：AE⊥BC． 17．如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为弧 EF 的中点，其所在圆 O 的半径为 8dm（圆心 O 在弓形 EMF 内）， 2 3 EOF    ．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD（不计 损耗）， AD BC ，且点 A，D 在EF 上，设 2AOD   ． （Ⅰ）求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于 的函数关系式 （Ⅱ）当裁出的矩形铁片 ABCD 面积最大时，求 cos 的值． 18．已知点 52, 3 M       在椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a b a b     上， 1 2,A A 分别为 E 的左、右顶点，直 线 A1M 与 A2M 的斜率之积为 5 9  ，F 为椭圆的右焦点，直线 9: 2 l x  ． （Ⅰ）求椭圆 E 的方程； （Ⅱ）直线 m 过点 F 且与椭圆 E 交于 B，C 两点，直线 BA2，CA2分别与直线 l交于 P，Q 两点，以 PQ 为直径的圆过定点 3 ,1 2       ，求直线 m 的方程． 19．已知函数 ( 1)( ) ln 1 a xf x x x     . （Ⅰ）讨论 ( )f x 的单调性； （Ⅱ）当 x>1 时， ( ) 0f x  恒成立，求 a 的取值范围． 20．在数列 na 中，若 * na N ，且 1 , ( 1,2,3, )2 3, n n n n n a a a n a a        是偶数 是奇数 ，则称 na 为“J 数 列”．设 na 为“J 数列”，记 na 的前 n 项和为 Sn． （Ⅰ）若 a1=10，求 S3n的值； （Ⅱ）若 S3=17，求 a1 的值； （Ⅲ）证明： na 中总有一项为 1 或 3． 数学Ⅱ（附加题） 21【选做题】：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作 答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A．[选修 4-2：矩阵与变换] 给定矩阵 3 1 1 3 A       ． （Ⅰ）求矩阵 A 的特征值； （Ⅱ）证明： 1 1 1 e         和 2 1 1 e        是矩阵 A 的特征向量． B．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在极坐标系中，直线 l的方程 1sin 6 2        ，曲线 C 的方程为 4cos 3        ，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 | |AB 的值． C．[选修 4-5：不等式选讲] 若 m，n 都是正数，且存在实数 x 使得 1 1|1 4 | |1 2 |x x m n           成立，求 m+n 的最小值． 【必做题】第 22 题、第 23 题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明 过程或演算步骤． 22．设 100 2 100 0 1 2 100(2 3 )x a a x a x a x      ，求下列各式的值： （Ⅰ）求 a 的值（用指数表示）； （Ⅱ）求    2 2 0 2 4 100 1 3 5 99a a a a a a a a          的值． 23．2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最 严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）． （Ⅰ）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他 们的年龄数据，得下面的频数分布表： 由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布  2,15.2N  ， 其中  近似为这 100 名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代 表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（≥70）的患者比例； （Ⅱ）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占 10%，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者 是否确诊相互独立．现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20 名密切接触者随机地按 n（12 时， '( ) 0f x  ，得 2 1,2 1 2x a a a    ． 此时， ( )f x 的单调递增区间 2(0, 1 2 )a a a   ，  21 2 ,a a a    ； 单调递减区间 2 2( 1 2 , 1 2 )a a a a a a      ； 综上所述，a≤2 时， ( )f x 的单调递增区间 (0, ) ，无单调递减区间； a>2 时， ( )f x 的单调递增区间 2(0, 1 2 )a a a   ，  21 2 ,a a a    ； 单调递减区间 2 2( 1 2 , 1 2 )a a a a a a      ； （Ⅱ）由（Ⅰ）知， （1）a≤2 时， ( )f x 在 (0, ) 单调递增． ∵x≥1 时，∴ ( ) (1) 0f x f  ，符合题意． （2）a>2 时， 2 21 2 1 1 2a a a a a a        ( )f x 在 2(1, 1 2 )a a a   单调递减， 2( 1 2 , )a a a    单调递增． ∴ 2( ) ( 1 2 ) (1) 0f x f a a a f     最小值 ，不符合题意．（15 分） ∴实数 a 的取值范围 ( ,2] ． 20．解：（Ⅰ）当 a1=10 时，{an}中的各项依次为 10，5，8，4，2，1，4，2，1，…， 所以 S3n=7n+16． （Ⅱ）（1）若 a1是奇数，则 a2=a1+3 是偶数， 2 1 3 3 2 2 a aa    ， 由 S3=17，得   1 1 1 33 17 2 aa a      ，解得 a1=5，适合题意． （2）若 a1是偶数，不妨设  * 1 2a k k N ，则 1 2 2 aa k  ． 若 k 是偶数，则 2 3 2 2 a ka   ， 由 S3=17，得 2 17 2 kk k   ，此方程无整数解； 若 k 是奇数，则 a3=k+3， 由 S3=17，得 2k+k+k+3=17，此方程无整数解． 综上， 1 5a  ． （Ⅲ）首先证明：一定存在某个 ia ，使得 6ia  成立． 否则，对每一个 *iN ，都有 6ia  ， 则在 ia 为奇数时，必有 2 3 2 i i i aa a    ； 在 ia 为偶数时，有 2 3 2 i i i aa a    ，或 2 4 i i i aa a   ． 因此，若对每一个 *iN ，都有 6ia  ，则 1 3 5, , ,a a a 单调递减， 注意到 * na N ，显然这一过程不可能无限进行下去， 所以必定存在某个 ia ，使得 6ia  成立． 经检验，当 2ia  ，或 4ia  ，或 5ia  时， na 中出现 1； 当 6ia  时， na 中出现 3， 综上， na 中总有一项为 1 或 3． 21【选做题】 A．[选修 4-2：矩阵与变换] 解：（Ⅰ） A 的特征多项式为 23 1 | | (3 ) 1 ( 4)( 2) 1 3                   A E 所以 A 的特征值为 1 2  ， 2 4  ． （Ⅱ）证明： 1 1 1 e         在矩阵 A 的作用下，其像与其保持共线，即 3 1 1 2 1 2 1 3 1 2 1                      ． 2 1 1 e        在矩阵 A 的作用下，其像与其保持共线，即 3 1 1 4 1 4 1 3 1 4 1                         成立． 所以 1 1 1 e         和 2 1 1 e        是矩阵 A 的特征向量． B．[选修 4-4：坐标系与参数方程] 解：由题意知，直线 l过点 (1,0)P ，且倾斜角 6  ， 直线 l的参数方程： 31 2 1 2 x t y t       （t 是参数）； 由 24cos 4 cos cos 4 sin sin 3 3 3                  2 2 2 22 2 3 0 ( 1) ( 3) 4x y x y x y          将直线 l的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 得 2 23 1 3 4 2 2 t t              ，整理， 得 2 3 1 0t t   ，由韦达定理得： 1 2 1 2 3 1 t t t t         ∴ 1 2| | | | | |AB PA PB t t     2 2 1 2 1 24 ( 3) 4 ( 1) 7t t t t          ． C．[选修 4-5：不等式选讲] 解：设 12 2, 4 1 1( ) | 4 1| | 2 1| 6 , 2 4 12 2, 2 x x f x x x x x x x                    当 1 4 x  ， min 3( ) 2 f x   ． 由题意， min 1 1 ( )f x m n        ，即 1 1 3 2m n         ， 1 1 3 2m n   ． 1 1( ) 2 2 2 4n mm n m n m n             ． 4 8 1 1 3 m n m n      . 当且仅当 m=n 时，m+n 的最小值 8 3 ． 【必做题】 22．解：（Ⅰ） 100 0 2a  ． （Ⅱ）令 x=1，得 100 0 1 2 3 100(2 3) a a a a a       ； 令 x=-1，得 100 0 1 2 3 100(2 3) a a a a a       ； ∴    2 2 0 2 4 100 1 3 5 99a a a a a a a a            0 1 2 3 100 0 1 2 3 100a a a a a a a a a a            100 100(2 3) (2 3)    1 ． 23．解： （Ⅰ） 2 15 6 25 12 35 18 45 22 55 22 65 12 75 4 85 2 95 54.8 100                     ； (54.8 15.2 54.8 15.2) (39.6 70) 0.6826P Z P Z         ． 故 1 (39.6 70) 1 0.6826( 70) 0.1587 15.87% 2 2 P ZP Z          ． （Ⅱ）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为 1 10 ， n 的可能取值为 2，4，5，10． 当 {2,4,5,10}n 时， 1~ , 10nX B n      对于某组 n 个人，化验次数 Y 的可能值为：1，n+1 9( 1) 10 n P Y        ， 9( 1) 1 10 n P Y n          9 9 9( ) 1 ( 1) 1 1 10 10 10 n n n E Y n n n                              ． 则 20 人的化验总次数为 20 9 1 9( ) 1 20 1 10 10 n n f n n n n n                             经计算 (2) 13.8, (4) 11.8, (5) 12.2, (10) 15f f f f    当 n=4 时符合题意，按 4 人一组检测，可使化验总次数最少．