2019届二轮复习第2讲　三角恒等变换与解三角形课件（50张）（全国通用） 50页

第 2 讲　三角恒等变换与解三角形 专题一　三角函数、三角恒等变换与解三角形 板块三　专题突破核心考点 [ 考情考向分析 ] 正弦定理、余弦定理以及解三角形问题是高考的必考内容，主要考查 ： 1 . 边和角的计算 . 2 . 三角形形状的判断 . 3 . 面积的计算 . 4 . 有关参数的范围问题 . 由于此内容应用性较强，与实际问题结合起来进行命题将是今后高考的一个关注点，不可轻视 . 热点分类突破 真题押题精练 内容索引 热点分类突破 1. 三角求值 “ 三大类型 ” “ 给角求值 ”“ 给值求值 ”“ 给值求角 ”. 2. 三角函数恒等变换 “ 四大策略 ” (1) 常值代换：特别是 “ 1 ” 的代换， 1 ＝ sin 2 θ ＋ cos 2 θ ＝ tan 45° 等 . (2) 项的拆分与角的配凑：如 sin 2 α ＋ 2cos 2 α ＝ (sin 2 α ＋ cos 2 α ) ＋ cos 2 α ， α ＝ ( α － β ) ＋ β 等 . (3) 降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 . (4) 弦、切互化：一般是切化弦 . 热点一　三角恒等变换 解析 答案 √ 解析 答案 √ 所以 sin β ＝ sin[ α － ( α － β )] ＝ sin α cos( α － β ) － cos α sin( α － β ) (1) 三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现题目所给条件与恒等变换公式的联系，公式的使用过程要注意正确性，要特别注意公式中的符号和函数名的变换，防止出现 “ 张冠李戴 ” 的情况 . (2) 求角问题要注意角的范围，要根据已知条件将所求角的范围尽量缩小，避免产生增解 . 思维升华 解析 答案 解析 答案 √ 将上式两边分别平方，得 4 ＋ 4sin 2 θ ＝ 3sin 2 2 θ ， 即 3sin 2 2 θ － 4sin 2 θ － 4 ＝ 0 ， 热点二　正弦定理、余弦定理 解答 例 2 　 (2017· 全国 Ⅲ ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c ，已知 sin A ＋ cos A ＝ 0 ， a ＝ 2 ， b ＝ 2. (1) 求 c ； 在 △ ABC 中，由余弦定理，得 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos A ， 即 c 2 ＋ 2 c － 24 ＝ 0 ，解得 c ＝－ 6( 舍去 ) 或 c ＝ 4. 所以 c ＝ 4. (2) 设 D 为 BC 边上一点，且 AD ⊥ AC ，求 △ ABD 的面积 . 解答 关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角变换方法和原则都适用，同时要注意 “ 三统一 ” ，即 “ 统一角、统一函数、统一结构 ” ，这是使问题获得解决的突破口 . 思维升华 跟踪演练 2 　 (2018· 广州模拟 ) 在 △ ABC 中，内角 A ， B ， C 所对的边分别为 a ， b ， c ，已知 B ＝ 60° ， c ＝ 8. 解答 解　 由题意得 M ， N 是线段 BC 的两个三等分点， 又 B ＝ 60° ， AB ＝ 8 ， 在 △ ABN 中，由余弦定理得 12 x 2 ＝ 64 ＋ 4 x 2 － 2 × 8 × 2 x cos 60° ， 解得 x ＝ 2( 负值舍去 ) ，则 BM ＝ 2. 在 △ ABM 中，由余弦定理， 得 AB 2 ＋ BM 2 － 2 AB · BM ·cos B ＝ AM 2 ， (2) 若 b ＝ 12 ，求 △ ABC 的面积 . 解答 则 sin A ＝ sin( B ＋ C ) ＝ sin B cos C ＋ cos B sin C 解三角形与三角函数的综合是近几年高考的热点，主要考查三角形的基本量，三角形的面积或判断三角形的形状 . 热点三　解三角形与三角函数的综合问题 解答 解答 (2) 设 a ＝ 2 ， c ＝ 3 ，求 b 和 sin(2 A － B ) 的值 . 解三角形与三角函数的综合题，要优先考虑角的范围和角之间的关系；对最值或范围问题，可以转化为三角函数的值域来求解 . 思维升华 解答 解答 ∴ bc ＝ 12 ， 又 ∵ 2 a ＝ b ＋ c ， 真题押题精练 1.(2017· 山东改编 ) 在 △ ABC 中，角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 若 △ ABC 为锐角三角形，且满足 sin B (1 ＋ 2cos C ) ＝ 2sin A cos C ＋ cos A sin C ，则下列等式成立的是 ______.( 填序号 ) ① a ＝ 2 b; ② b ＝ 2 a; ③ A ＝ 2 B; ④ B ＝ 2 A . 真题体验 解析 答案 ① 解析　 ∵ 等式右边＝ sin A cos C ＋ (sin A cos C ＋ cos A sin C ) ＝ sin A cos C ＋ sin( A ＋ C ) ＝ sin A cos C ＋ sin B ， 等式左边＝ sin B ＋ 2sin B cos C ， ∴ sin B ＋ 2sin B cos C ＝ sin A cos C ＋ sin B . 由 cos C >0 ，得 sin A ＝ 2sin B . 根据正弦定理，得 a ＝ 2 b . 2.(2018· 全国 Ⅱ ) 已知 sin α ＋ cos β ＝ 1 ， cos α ＋ sin β ＝ 0 ，则 sin( α ＋ β ) ＝ ________. 答案 解析 解析　 ∵ sin α ＋ cos β ＝ 1 ， ① cos α ＋ sin β ＝ 0 ， ② ∴① 2 ＋ ② 2 得 1 ＋ 2(sin α cos β ＋ cos α sin β ) ＋ 1 ＝ 1 ， 解析 答案 ∴ sin C ＝ cos C ，即 tan C ＝ 1. 解析 4.(2018· 全国 Ⅰ ) △ ABC 的内角 A ， B ， C 的对边分别为 a ， b ， c . 已知 b sin C ＋ c sin B ＝ 4 a sin B sin C ， b 2 ＋ c 2 － a 2 ＝ 8 ，则 △ ABC 的面积为 ________. 答案 解析　 ∵ b sin C ＋ c sin B ＝ 4 a sin B sin C ， ∴ 由正弦定理得 sin B sin C ＋ sin C sin B ＝ 4sin A sin B sin C . 押题预测 解析 押题依据 押题依据 　三角形的面积求法较多，而在解三角形中主要利用正弦、余弦定理求解，此题很好地体现了综合性考查的目的，也是高考的重点 . 答案 解答 押题依据　 三角函数和解三角形的交汇命题是近几年高考命题的趋势，本题综合考查了三角变换、余弦定理和三角函数的值域，还用到数列、基本不等式等知识，对学生能力要求较高 . 押题依据 (2) 在 △ ABC 中， sin B ， sin A ， sin C 成等比数列，求此时 f ( A ) 的值域 . 解答 因为 sin B ， sin A ， sin C 成等比数列， 所以 sin 2 A ＝ sin B sin C ， 所以 a 2 ＝ bc ， 因为 0< A <π ，