福建省福清市龙西中学2018-2019学年高一下学期期中考试数学试题 13页

福清龙西中学 2018-2019 学年度高一下学期期中考试试卷 数学 一、选择题（共 12 小题，每题 5 分共 60 分，只有一个选项正确，请把答案写在答题卷上） 1.在△ABC 中， 等于 （ ） A. B. C. D. 2．若 ，那么 ( ) A. B. C． D． 3.下列命题中正确的是 （ ） A.若正数 是等差数列，则 是等比数列 B.若正数 是等比数列，则 是等差数列 C.若正数 是等差数列，则 是等比数列 D.若正数 是等比数列，则 是等差数列 4 边长为 5,7,8 的三角形的最大角与最小角的和是 （ ） A. B. C. D. 5. 不等式 的解集为 ，那么 （ ） A. B. C. D. 6．设 为正数, 则 的最小值为 ( ) A.6 B.9 C.12 D.15 7.等差数列 中， ，若 ，则数列 的前 5 项和等于 （ ） A. 30 B. 45 C. 90 D. 186 8. 在△ABC 中，若 ，则△ABC 的形状是 （ ） A. 等腰或直角三角形 B. 直角三角形 C. 不能确定 D. 等腰三角形 9. 设等差 数列 前 n 项和为 ，若 , ,则当 取最小值时,n 等于（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 sin sin A B b a a b A B cos cos A B 0,0 1a b< < < 2a ab ab> > 2ab ab a> > 2ab a ab> > 2ab ab a> > , ,a b c 2 ,2 ,2a b c , ,a b c 2 ,2 ,2a b c , ,a b c 2 2 2log ,log ,loga b c , ,a b c 2 2 2log ,log ,loga b c 150 135 120 90 2 0( 0)ax bx c a+ + < ≠ φ 0, 0a < ∆ ≥ 0, 0a < ∆ ≤ 0, 0a > ∆ ≤ 0, 0a > ∆ > ,x y 1 4( ) ( )x y x y + ⋅ + { }na 2 56, 15a a= = 2n nb a= { }nb 2 2 tan tan b a B A = { }na nS 91 −=a 653 −=+ aa nS 10.△ABC 内角 A、B、C 的对边分别为 ，若 成等比，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 11． ABC 中三个角的对边分别记为 ，其面积记为 S，有以下命题： ① ； ②若 ,则 ABC 是等腰直角三角形； ③ ； ④ 则 ABC 是等腰或直角三角形. 其中正确的命题是（ 　 ） （A）①②③ 　　 ( B)①②④ ( C)②③④ (D)①③④ 12. 将正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数阵。根据这个排列规则，数阵中第 20 行从左至右的第 3 个数是 （ ） A.574 B.576 C.577 D.580 二、填空题（共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分，请把答案写在答题卷上） 13．若 是数列 的前 n 项和，且 = ； 14．在 ABC 中，sinA：sinB：sinC=2：5：6，则 cosC 的值为_______ ． 15.△ABC 中， ， 是方程 的根，则 16．已知两个正实数 满足 ,则使不等式 恒成立的实数 的取值范围是 __________. , ,a b c , ,a b c 2c a= cos B = 3 4 2 4 1 4 2 3 nS { }na 2 3 4 5,nS n a a a= + +则 ∆ 5, 3a b= = cosC 25 7 6 0x x− − = ABCS∆ = ,x y 4x y+ = 1 4 mx y + ≥ m ∆ a b c、 、 21 sin sin 2 sin B CS a A = 2cos sin sinB A C= ∆ 2 2 2sin sin sin 2sin sin cosC A B A B C= + − 2 2 2 2( + )sin ( ) ( )sin ( )a b A B a b A B− = − + ∆ 三、解答题（6 题，共 74 分，要求写出解答过程或者推理步骤）： 17.(本小题满分 12 分) 若不等式 的解集是 ， (1) 求 的值； (2) 求不等式 的解集. 18．(本小题满分 12 分) 如图，货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为 的方向航行．为了确定船位，在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 ．半小时后， 货轮到达 C 点处，观测到灯塔 A 的方位角为 ．求此时货轮与灯塔之间的 距离（得数保留最简根号）。 19.(本小题满分 12 分) 2 5 2 0ax x+ − > 1{ 2}2x x< < a 1 51 ax ax − > ++ 155 125 80 （Ⅰ）已知数列 的前 项和 ，求通项公式 ； （Ⅱ）已知等比数列 中， ， ，求通项公式 20.(本小题满分 12 分) 已知 为 的三内角，且其对边分别为 ，若 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求 的面积 21．(本小题满分 12 分) 某工厂用 7 万元钱购买了一台新机器，运输安装费用 2 千元，每年投保、动力消耗的费 用也为 2 千元，每年的保养、维修、更换易损零件的费用逐年增加，第一年为 2 千元，第二 年为 3 千元，第三年为 4 千元，依此类推，即每年增加 1 千元． （Ⅰ）求使用 年后，保养、维修、更换易损零件的累计费用 S（千元）关于 的表达式； （Ⅱ）问这台机器最佳使用年限是多少年？并求出年平均费用（单位：千元）的最小 值．(最佳使用年限是指使年平均费用最小的时间，年平均费用=（购入机器费用+运输安装费 用+每年投保、动力消耗的费用+保养、维修、更换易损零件的累计费用）÷机器使用的年数 ) A B C、 、 ABC∆ , ,a b c 2 1sinsincoscos =− CBCB A 2 3, 4a b c= + = ABC∆ n n }{ na n 222 +−= nnS n na }{ na 2 3 3 =a 2 9 3 =S na 22. （本小题满分 14 分） 已知等差数列 满足： ， ， 的前 n 项和为 ． （Ⅰ）求通项公式 及前 n 项和 ； （Ⅱ）令 = (n N*)，求数列 的前 n 项和 ． 龙西中学 2018-2019 学年高一下学期期中考试 数学 答题卡 一、选择题（本大题共有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 二、填空题(本大题共 4 小题，每小题 4，共 16) 13. 14. 15. 16. 三、解答题：本大题 6 小题，共 74 分，解答写出文字说明、证明过程或 演算步骤)。 17．（本小题满分 12 分） { }na { }na nS na nS nb 2 1 1na − ∈ { }nb nT 52 =a 2474 =+ aa 班级： 姓名： 座号： ************************************************************************************************************* ********************** 18.（本小题满分 12 分） 19.（本小题满分 12 分） 20.(本小题满分 12 分) 21.(本小题满分 12 分) 22．(本小题满分 14 分) 密 封 线 内 请 勿 作 答 ******************************************************************************************************************************************** 2018-2019 答案 数学试卷 一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的，把答案填在答题卡的相应位置． 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分.把答案填在答题卡的相应 位置． 13．21 　14. 15. 6 　　 16. 三、解答题：本大题共 6 小题，共 74 分．解答写在答题卡相应位置，应写出文字 说明、证明过程或演算步骤． 由韦达定理得： ,解得 ┄┄┄┄┄┄6 分 （2） 原不等式化为 即 ┄┄┄┄┄┄8 分 即 解得 解集为 ┄┄┄┄┄┄12 分 18．如图，货轮在海上以 50 海里/时的速度沿方位角(从正北方向顺时针转到目标方向线的水 平角)为 的方向航行．为了确定船位，在 B 点处观测到灯塔 A 的方位角为 ．半小时后， 货轮到达 C 点处，观测到灯塔 A 的方位角为 ．求此时货轮与灯塔之间的距离（得数保留最 简根号）。 解: 9(- , ]4 ∞ 1 522 a + = − 2a = − 2a = − 1 2 31 x x + >+ 1 2 3 01 x x + − >+ 1 2 3( 1) 01 x x x + − + >+ 2 01 x x − − >+ ( 1)( 2) 0x x+ + < 2 1x− < < − { 2 1}x x− < < − 155 125 80 155 125 30ABC∠ = − =   80 (180 155 ) 105ACB∠ = + − =    题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B B D C C B C A A A D C 20 7− ┄┄┄┄┄┄4 分 中,由正弦定理可得 , ┄┄┄┄┄┄8 分 解得 ┄┄┄┄┄┄12 分 19. (Ⅰ)当 时， ……2 当 时， ……5 故有 ……6 (Ⅱ)令 由条件知 　 ……2 两式相除化简得 ……4 解得 或 　 ……6 或 ……7 分类 情形扣 3 分 20. 已 知 为 的 三 内 角 ， 且 其 对 边 分 别 为 ， 若 ． （Ⅰ）求 ； （Ⅱ）若 ，求 的面积 180 30 105 45A∴∠ = − − =    ABC∴∆ sin sin BC AC A ABC = ∠ 25 12 22 AC∴ = 25 22AC = A B C、 、 ABC∆ , ,a b c 2 1sinsincoscos =− CBCB A 2 3, 4a b c= + = ABC∆ 1=n 111 == Sa 2≥n 321 −=−= − nSSa nnn    ≥− == 2,32 1,1 nn nan n n qaa ⋅= 1    =⋅= =++= 2/3 2/9)1( 2 13 2 13 qaa qqaS 012 2 =−− qq 1=q 2/1−=q 2 3=na 1 2 16 −      −⋅= n na 1=q 21．(Ⅰ)易知其费用成等差数列 ……2 ……5 (Ⅱ)设使用 年的年平均费用为 ，则 ……2 ……5 当且仅当 时，取等号，取最小值 ……6 故最佳年限是 12 年，平均费用为 15．５千元 ……7 22. （本小题满分 14 分） 解：（Ⅰ）设等差数列 的公差为 d，由已知可得 ， 解得 ，……………3 分， 所以 ；………5 分 = = ………7 分 （Ⅱ）由（Ⅰ）知 ， 所以 = = = ……10 分 所以 = = 即数列 的前 n 项和 = ……14 分 { }na 1 1 2 7 2 10 26 a d a d + =  + = 1 3, 2a d= = 3 2 1)=2n+1na n= + −（ nS n(n-1)3n+ 22 × 2n +2n 2n+1na = nb 2 1 1na − 2 1 =2n+1) 1−（ 1 1 4 n(n+1) ⋅ 1 1 1( - )4 n n+1 ⋅ nT 1 1 1 1 1 1(1- + + + - )4 2 2 3 n n+1 ⋅ −  1 1(1- )=4 n+1 ⋅ n 4(n+1) { }nb nT n 4(n+1) 2 )3()1(32 +⋅=+ nnn＋＋＋Ｓ＝  n y 2 31 2 73622 7 2 72 ]2/)3(2270[ =+≥++= ÷++++= n n nnnny 12=n