2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(五十九)　最值、范围、证明问题 8页

课时跟踪检测(五十九)　最值、范围、证明问题 ‎(分A、B卷，共2页)‎ A卷：夯基保分 ‎1．已知椭圆E的中心在坐标原点、对称轴为坐标轴，且抛物线x2＝－4y的焦点是它的一个焦点，又点A(1，)在该椭圆上．‎ ‎(1)求椭圆E的方程；‎ ‎(2)若斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点B、C，当△ABC的面积最大时，求直线l的方程．‎ ‎2．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的一个焦点是F(1,0)，且离心率为.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)设经过点F的直线交椭圆C于M，N两点，线段MN的垂直平分线交y轴于点P(0，y0)，求y0的取值范围．‎ ‎3．如图，曲线M：y2＝x与曲线N：(x－4)2＋2y2＝m2(m＞0)相交于A，B，C，D四点．‎ ‎(1)求m的取值范围；‎ ‎(2)求四边形ABCD的面积的最大值及面积最大时对角线AC与BD的交点坐标．‎ B卷：增分提能 ‎1．(2015·淄博模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的焦距为2，且过点，右焦点为F2.设A，B是C上的两个动点，线段AB的中点M的横坐标为－，线段AB的中垂线交椭圆C于P，Q两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)求·的取值范围．‎ ‎2．(2015·温州十校联考)如图，过x轴上动点A(a,0)引抛物线y＝x2＋1的两条切线AP，AQ.切线斜率分别为k1和k2，切点分别为P，Q.‎ ‎(1)求证：k1·k2为定值，并且直线PQ过定点；‎ ‎(2)记S为面积，当最小时，求·的值． ‎ 答案 A卷：夯基保分 ‎1．解：(1)由已知得抛物线的焦点为(0，－)，‎ 故设椭圆方程为＋＝1(a>)．‎ 将点A(1，)代入方程得＋＝1，‎ 整理得a4－‎5a2＋4＝0，解得a2＝4或a2＝1(舍去)，‎ 故所求椭圆方程为＋＝1.‎ ‎(2)设直线l的方程为y＝x＋m，‎ B，C的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，‎ 由得4x2＋2mx＋m2－4＝0，‎ 则Δ＝‎8m2‎－16(m2－4)＝8(8－m2)>0，‎ ‎∴0≤m2<8.‎ 由x1＋x2＝－m，x1x2＝，‎ 得|BC|＝|x1－x2|＝.‎ 又点A到BC的距离为d＝，‎ 故S△ABC＝|BC|·d＝≤·＝，‎ 当且仅当‎2m2‎＝16－‎2m2‎，即m＝±2时取等号．‎ 当m＝±2时，满足0≤m2<8.‎ 故直线l的方程为y＝x±2.‎ ‎2．解：(1)设椭圆C的半焦距为c.依题意，得c＝1.‎ 因为椭圆C的离心率为e＝，‎ 所以a＝‎2c＝2，b2＝a2－c2＝3.‎ 故椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)当MN⊥x轴时，显然y0＝0.‎ 当MN与x轴不垂直时，可设直线MN的方程为y＝k(x－1)(k≠0)．‎ 由 消去y并整理得(3＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－3)＝0.‎ 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，线段MN的中点为Q(x3，y3)，‎ 则x1＋x2＝.‎ 所以x3＝＝，y3＝k(x3－1)＝.‎ 线段MN的垂直平分线的方程为 y＋＝－.‎ 在上述方程中，令x＝0，得y0＝＝.‎ 当k＜0时，＋4k≤－4，当且仅当＝4k，k＝－时等号成立；‎ 当k＞0时，＋4k≥4，当且仅当＝4k，k＝时等号成立．‎ 所以－≤y0＜0或0＜y0≤.‎ 综上，y0的取值范围是.‎ ‎3．解：(1)联立曲线M，N，消去y可得(x－4)2＋2x－m2＝0，即x2－6x＋16－m2＝0，‎ 根据条件可得解得＜m＜4.‎ ‎(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2＞x1，y1＞0，y2＞0，‎ 则SABCD＝(y1＋y2)(x2－x1)‎ ‎＝(＋)(x2－x1)‎ ‎＝ · ‎＝ ·.‎ 令t＝，则t∈(0,3)，‎ SABCD＝· ‎＝2，‎ 设f(t)＝－t3－3t2＋9t＋27，‎ 令f′(t)＝－3t2－6t＋9＝－3(t2＋2t－3)＝－3(t－1)(t＋3)＝0，可得当t∈(0,3)时，f(t)的最大值为f(1)＝32，从而SABCD的最大值为16.‎ 令＝1，得m2＝15.‎ 联立曲线M，N的方程，消去y并整理得 x2－6x＋1＝0，解得x1＝3－2，x2＝3＋2，‎ 所以A(3－2，－1)，C(3＋2，－－1)，‎ kAC＝＝－，‎ 则直线AC的方程为y－(－1)＝－[x－(3－2)]‎ 当y＝0时，x＝1，‎ 由对称性可知AC与BD的交点在x轴上，‎ 即对角线AC与BD的交点坐标为(1,0)．‎ B卷：增分提能 ‎1．解：(1)因为焦距为2，所以a2－b2＝1.‎ 因为椭圆C过点，所以＋＝1.‎ 故a2＝2，b2＝1，‎ 所以椭圆C的方程为＋y2＝1.‎ ‎(2)由题意知，当直线AB垂直于x轴时，‎ 直线AB方程为x＝－，‎ 此时P(－，0)，Q(，0)，又F2(1,0)，‎ 得·＝－1.‎ 当直线AB不垂直于x轴时，设直线AB的斜率为k(k≠0)，M(m≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝－1，y1＋y2＝‎2m.‎ 由得(x1＋x2)＋2(y1＋y2)·＝0，‎ 则－1＋4mk＝0，故k＝.‎ 此时，直线PQ斜率为k1＝－‎4m，‎ PQ的直线方程为y－m＝－‎4m.‎ 即y＝－4mx－m.‎ 联立方程组 整理得(‎32m2‎＋1)x2＋‎16m2‎x＋‎2m2‎－2＝0.‎ 设P(x3，y3)，Q(x4，y4)，‎ 所以x3＋x4＝－，x3x4＝.‎ 于是·＝(x3－1)(x4－1)＋y3y4‎ ‎＝x3x4－(x3＋x4)＋1＋(4mx3＋m)(4mx4＋m)‎ ‎＝(‎4m2‎－1)(x3＋x4)＋(‎16m2‎＋1)x3x4＋m2＋1‎ ‎＝＋＋m2＋1‎ ‎＝.‎ 由于M在椭圆的内部，故0