2017-2018学年四川省眉山高二下学期期末考试数学（理）试题-解析版 16页

绝密★启用前 四川省眉山2017-2018学年高二下学期期末考试数学（理）试卷 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．已知为虚数单位，实数满足，则 A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】分析：利用复数相等求出值，再由复数模的定义求得模．‎ 详解：由已知，∴，‎ ‎∴．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查复数相等的概念的模的计算．解题时把等式两边的复数都化为形式，然后由复数相等的定义得出方程组，即可求得实数．‎ ‎2．高二（3）班共有学生56人，现根据座号，用系统抽样的方法，抽取一个容量为4的样本，已知3号、31号、45号同学在样本中，那么样本中还有一个同学的座号是 A. 15 B. 16 C. 17 D. 18‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：由系统抽样的特点—等距离可得，∴3号、17号、号、号同学在样本中.‎ 考点：系统抽样.‎ ‎3．用反证法证明命题：若整系数一元二次方程有有理数根，那么、、中至少有一个是偶数时，下列假设中正确的是（ ）‎ A．假设、、都是偶数 B．假设、、都不是偶数 C．假设、、至多有一个偶数 D．假设、、至多有两个偶数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：根据反证法的步骤，假设是对原命题结论的否定 ‎“至少有一个”的否定“都不是”．‎ 即假设正确的是：假设a、b、c都不是偶数 考点：反证法 ‎4．某地气象台预计，7月1日该地区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设表示下雨，表示刮风，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】解：因为5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，则 ‎5．在4次独立重复试验中，事件A发生的概率相同，若事件A至少发生1次的概率为，则事件A在一次试验中发生的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：可从事件的反面考虑，即事件A不发生的概率为，由此可易得结论．‎ 详解：设事件A在一次试验中发生的概率为，则 ，解得．‎ 故选A．‎ 点睛：在求“至少”、“至多”等事件的概率时，通常从事件的反而入手可能较简单，如本题中“至少发生1次”的反面为“一次都不发生”，若本题求“至多发生3次”的概率，其反面是“至少发生4次”即“全发生”．‎ ‎6．已知函数，则函数的大致图象是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：研究函数的奇偶性，函数值的正负．‎ 详解：由题意，即函数为偶函数，图象关于轴对称，排除C、D，又，排除B．‎ 故选A．‎ 点睛：由函数解析式选函数的图象，可根据解析式研究函数的一些性质：如单调性、奇偶性、对称性、函数值的正负、函数值的变化趋势，特殊点（如与坐标轴的交点，抛物线的顶点）等等，通过这些性质利用排除法一般可选得正确结论．‎ ‎7．在长为的线段上任取一点现作一矩形,领边长分别等于线段的长,则该矩形面积小于的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：设AC=x，则0＜x＜12，若矩形面积为小于32，则x＞8或x＜4，从而利用几何概型概率计算公式，所求概率为长度之比解：设AC=x，则BC=12-x，0＜x＜12‎ 若矩形面积S=x（12-x）＜32，则x＞8或x＜4,即将线段AB三等分，当C位于首段和尾段时，矩形面积小于32，故该矩形面积小于32cm2的概率为P== 故选 C 考点：几何概型 点评：本题主要考查了几何概型概率的意义及其计算方法，将此概率转化为长度之比是解决本题的关键，属基础题 ‎8．已知展开式中常数项为1120，实数是常数，则展开式中各项系数的和是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：由展开式通项公式根据常数项求得，再令可得各项系数和．‎ 详解：展开式通项为，令，则，∴，，所以展开式中各项系数和为或．‎ 故选C．‎ 点睛：赋值法在求二项展开式中系数和方面有重要的作用，设展开式为，如求所有项的系数和可令变量，即系数为，而奇数项的系数和为，偶数项系数为，还可以通过赋值法证明一些组合恒等式．‎ ‎9．学校选派位同学参加北京大学、上海交通大学、浙江大学这所大学的自主招生考试，每所大学至少有一人参加,则不同的选派方法共有 A. 540种 B. 240种 C. 180种 D. 150种 ‎【答案】D ‎【解析】分析：按题意5人去三所学校，人数分配可能是1，1，3或1，2，2，因此可用分类加法原理求解．‎ 详解：由题意不同方法数有．‎ 故选D．‎ 点睛：本题考查排列组合的综合应用，此类问题可以先分组再分配，分组时在1，2，2一组中要注意2,2分组属于均匀分组，因此组数为，不是，否则就出错．‎ ‎10．已知定义域为的奇函数的导函数为，当时，，若，则的大小关系正确的是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分析：构造函数，利用已知条件确定的正负，从而得其单调性．‎ 详解：设，则，∵，即，∴当时，，当时，，递增．又是奇函数，∴是偶函数，∴，，‎ ‎∵，∴，即．‎ 故选C．‎ 点睛：本题考查由导数研究函数的单调性，解题关键是构造新函数，通过研究的单调性和奇偶性，由奇偶性可以把变量值转化到同一单调区间上，从而比较大小．‎ ‎11．设函数在区间上有两个极值点，则的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】令，则在上有两个不等实根，有解，故,‎ ‎ ‎ 点晴:本题主要考查函数的单调性与极值问题，要注意转化，函数()在区间上有两个极值点，则在上有两个不等实根，所以有解，故,只需要满足解答此类问题，应该首先确定函数的定义域，注意分类讨论和数形结合思想的应用 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎12．为虚数单位，设复数满足，则的虚部是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：直接利用复数的乘法运算，化简复数，然后求出复数的虚部.‎ 详解：由，可得,，可得，‎ 所以，的虚部是，故答案为 点睛：本题主要考查乘法运算以及复数共轭复数的概念，意在考查对复数基本概念与基本运算掌握的熟练程度.‎ ‎13．已知cos,则二项式的展开式中的系数为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：由微积分基本定理求出，再写出二项展开式的通项，令的指数为1，求得，从而求得的系数．‎ 详解：，‎ 二项式展开式通项为，令，则．∴的系数为．‎ 故答案为－80．‎ 点睛：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 ‎(1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第项，再由特定项的特点求出值即可.‎ ‎(2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 项，由特定项得出值，最后求出其参数.‎ ‎14．三个元件正常工作的概率分别为，，，将两个元件并联后再和 串联接入电路，如图所示，则电路不发生故障的概率为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分析：组成的并联电路可从反面计算，即先计算发生故障的概率，然后用对立事件概率得出不发生故障概率．‎ 详解：由题意．‎ 故答案为．‎ 点睛：零件不发生故障的概率分别为，则它们组成的电路中，如果是串联电路，则不发生故障的概率易于计算，即为，如果组成的是并联电路，则发生故障的概率易于计算，即为．‎ ‎15．已知函数的定义域是，关于函数给出下列命题：‎ ‎①对于任意，函数是上的减函数；‎ ‎②对于任意，函数存在最小值；‎ ‎③存在，使得对于任意的，都有成立；‎ ‎④存在，使得函数有两个零点．‎ 其中正确命题的序号是________．(写出所有正确命题的序号)‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】函数的定义域是，且，当时，在恒成立，所以函数在上单调递增，‎ 故①错误；对于，存在，使，则在上单调递减，在上单调递增，所以对于任意，函数存在最小值，故②正确；函数的图象在有公共点，所以对于任意，有零点，故③错误；由②得函数存在最小值，且存在，使，当时，，当时，，故④正确；故填②④.‎ 点睛：本题的易错点在于正确理解“任意”和“存在”的 含义，且正确区分两者的不同.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎16．某中学将100名高一新生分成水平相同的甲、乙两个“平行班”，每班50人．陈老师采用A，B两种不同的教学方式分别在甲、乙两个班级进行教改实验．为了解教学效果，期末考试后，陈老师分别从两个班级中各随机抽取20名学生的成绩进行统计，作出茎叶图如图．记成绩不低于90分者为“成绩优秀”．‎ ‎（1）在乙班样本的20个个体中，从不低于86分的成绩中随机抽取2个，求抽出的2个均“成绩优秀”的概率；‎ ‎（2）由以上统计数据作出列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．‎ ‎0.400‎ ‎0.250‎ ‎0.150‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 参考公式： ‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）不低于86的成绩有6个，可用列举法列出任取2个的所有事件，计算出概率．‎ ‎（2）由茎叶图中数据得出列联表中数据，再根据计算公式计算出得知结论．‎ 详解： (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从不低于86分的成绩中随机抽取两个包含的基本事件是：(86,93), (86,96), (86,97), (86,99), (86,99), (93,96)，(93,97), (93,99), (93,99), (96,97), (96,99), (96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有15种结果,‎ 符合条件的事件数(93,96)，(93,97)，(93,99)，(93,99)，(96,97)，(96,99)，(96,99)，(97,99)，(97,99)，(99,99)，共有10种结果， ‎ 根据等可能事件的概率得到P＝＝．‎ ‎(2)由已知数据得 甲班 乙班 总计 成绩优秀 ‎1‎ ‎5‎ ‎6‎ 成绩不优秀 ‎19‎ ‎15‎ ‎34‎ 总计 ‎20‎ ‎20‎ ‎40‎ 根据列联表中的数据，计算得随机变量K2的观测值 k＝≈3.137，‎ 由于3．137>2．706，所以在犯错误的概率不超过0．1的前提下认为：“成绩优秀”与教学方式有关．‎ 点睛：本题考查等可能事件的概率及独立性检验，用列举法求此概率是常用方法，由所给公式计算出即知有无关系的结论，因此本题还考查了运算求解能力．‎ ‎17．已知函数 ‎（1）若在区间[－2，2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值；‎ ‎（2）若函数有三个不同零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】分析：（1）求出导数，由不等式求得增区间，由不等式得减区间，结合区间端点处的函数值从而求得最大值和最小值．‎ ‎（2）由（1）可求得的极大值和极小值，要使函数有三个零点，则极大值大于0，且极小值小于0，做账昢的范围．也可把问题转化为方程有三个解，只要求得的极大值和极小值，就可得所求范围．‎ 详解： (1)因为 所以函数的单调减区间为 又 由 ‎ ‎，，‎ 点睛：函数的导数是，解不等式可得增区间，解不等式可得减区间，从而可得极值，而要求函数在某个闭区间上的最值时，可求得函数在相应开区间上的极值，再求出区间两端点处的函数值，比较可得最大值和最小值．‎ ‎18．某研究机构对高三学生的记忆力和判断力进行统计分析，得下表数据：‎ ‎（1）请根据上表提供的数据，用相关系数说明与 的线性相关程度；（结果保留小数点后两位，参考数据: ）‎ ‎（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程；‎ ‎（3）试根据求出的线性回归方程，预测记忆力为9的同学的判断力．‎ 参考公式：，；相关系数；‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）4‎ ‎【解析】分析：（1）计算出相关系数即得；‎ ‎（2）根据所给公式计算出回归直线方程的系数可得回归直线方程；‎ ‎（3）代入（2）中回归直线方程可得预测值．‎ 详解：（1）6×2＋8×3＋10×5＋12×6＝158， ‎ ‎＝＝9，＝＝4，‎ ‎62＋82＋102＋122＝344． ‎ ‎，线性相关性非常强. ‎ ‎(2)158， =9，＝4，344．‎ ‎＝＝＝0.7，＝－＝4－0.7×9＝－2.3，‎ 故线性回归方程为＝0.7x－2.3． ‎ ‎（3）由(2)中线性回归方程知，当x＝9时，＝0.7×9－2.3＝4，故预测记忆力为9的同学的判断力约为4．‎ 点睛：本题考查回归分析，考查回归直线方程，解题时只要根据所给数据与公式计算相应的系数就可得出所要结论，本题考查学生的运算求解能力．‎ ‎19．世界那么大，我想去看看，每年高考结束后，处于休养状态的高中毕业生旅游动机强烈，旅游可支配收入日益增多，可见高中毕业生旅游是一个巨大的市场.为了解高中毕业生每年旅游消费支出（单位:百元）的情况，相关部门随机抽取了某市的1000名毕业生进行问卷调查，并把所得数据列成如下所示的频数分布表：‎ 组别 ‎[0,20）‎ ‎[20,40）‎ ‎[40,60）‎ ‎[60,80）‎ ‎[80,100）‎ 频数 ‎2‎ ‎250‎ ‎450‎ ‎290‎ ‎8‎ ‎（1）求所得样本的中位数（精确到百元）；‎ ‎（2）根据样本数据，可近似地认为学生的旅游费用支出服从正态分布，若该市共有高中毕业生35000人，试估计有多少位同学旅游费用支出在 8100元以上；‎ ‎（3）已知样本数据中旅游费用支出在[80,100）范围内的8名学生中有5名女生，3名男生， 现想选其中3名学生回访，记选出的男生人数为，求的分布列与数学期望.‎ 附:若，则 ‎，‎ ‎【答案】（1）51；（2）805；（3）见解析 ‎【解析】试题分析：（1）根据中位数的概念的到，解出即可；（2）根据正态分布的公式得到 ，再乘以总数得到结果；（3）根据题意得到Y符合超几何分布，分别求出的可能取值为，，，时的概率值，进而得到分布列和均值.‎ 解析：‎ ‎（Ⅰ）设样本的中位数为，则，‎ 解得，所得样本中位数为.‎ ‎（Ⅱ），，，‎ 旅游费用支出在元以上的概率为 ‎ ，‎ ‎，‎ 估计有位同学旅游费用支出在元以上.‎ ‎（Ⅲ）的可能取值为，，，，‎ ‎，，‎ ‎，，‎ ‎∴的分布列为 ‎ .‎ ‎20．已知函数，且曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求实数的值及函数的最大值；‎ ‎（2）证明：对任意的.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】分析：（1）求出导函数，已知切线方程说明，，代入后可得，然后确定函数的单调区间，得出最大值；‎ ‎（2）不等式为，可用导数求得的最小值，证明这个最小值大于0，即证得原不等式成立．‎ 详解：（1）函数的定义域为，，因的图象在点处的切线方程为，所以解得，所以，故．令 ‎，得，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 所以当时，取得最大值． ‎ ‎（2）证明：原不等式可变为则 ‎，可知函数单调递增，‎ 而，‎ 所以方程在（0，+∞）上存在唯一实根x0，使得．‎ 当x∈（0，x0）时，，函数h（x）单调递减；‎ 当x∈（x0，+∞）时，，函数h（x）单调递增；所以 ‎.‎ 即在（0，+∞）上恒成立，‎ 所以对任意x＞0，成立．‎ 点睛：本题主要考查导数在函数中的应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、逻辑推理能力与计算能力，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，求解曲线在某点处的切线方程；(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数；(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决函数的恒成立与有解问题，同时注意数形结合思想的应用．‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当时，证明： ．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）；（3）见解析 ‎【解析】分析：（1）求出的导函数，由得增区间，由得减区间，注意在解不等式时要按的值分类讨论；‎ ‎（2）由（1）的结论知当时，，题中不等式成立，而当时，题中不等式不恒成立；‎ ‎（3）时，由（2）知上有，从而，令，然后所有不等式相加可证．‎ 详解： (1)∵y＝f(x)－g(x)＝ln(ax＋1)－，‎ y′＝－＝， ‎ 当a≥1时，y′≥0，所以函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数；‎ 当00得x>2，所以函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递增函数，函数y＝f(x)－g(x)在上是单调递减函数； ‎ ‎(2)当a≥1时，函数y＝f(x)－g(x)是[0，＋∞)上的增函数．‎ 所以f(x)－g(x)≥f(0)－g(0)＝1，‎ 即不等式f(x)≥g(x)＋1在x∈[0，＋∞)时恒成立，‎ 当0g(x)＋1在x∈(0，＋∞)时恒成立，‎ 即ln(x＋1)>，所以，‎ 即< [ln(k＋1)－lnk]．‎ 所以< (ln2－ln1)，‎ ‎< (ln3－ln2)，‎ ‎< (ln4－ln3)，…，‎ ‎< [ln(n＋1)－lnn]．‎ 将上面各式相加得到，＋＋＋…＋< [(ln2－ln1)＋(ln3－ln2)＋(ln4－ln3)＋…＋(ln(n＋1)－lnn)]＝ln(n＋1)＝f(n)．‎ ‎∴原不等式成立．‎ 点睛：本题考查用导数研究函数的单调性，研究函数的最值，利用导数证明不等式．在证明函数不等式时，一般要把不等式进行转化，把不等式的证明转化为求函数的最值．另外在函数问题出现与数列求和有关的不等式证明，一般是利用前面小题中的函数结论，在函数的特殊结论中令变量取特殊值后，再结合数列求和的方法进行证明．象本题先赋值后相加．‎