高中数学选修2-2教学课件第五章 2_2 32页

第五章　数系的扩充与复数的引入 §2 复数的四则运算 2.2 　复数的乘法与除法 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 掌握复数代数形式的乘法和除法运算 . 2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 . 3. 理解共轭复数的概念 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 复数的乘法法则 设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R ) ， 则 z 1 · z 2 ＝ ( a ＋ b i)( c ＋ d i) ＝ . ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i 2. 复数乘法的运算律 对任意复数 z 1 、 z 2 、 z 3 ∈ C ，有 交换律 z 1 · z 2 ＝ 结合律 ( z 1 · z 2 )· z 3 ＝ 乘法对加法的分配律 z 1 ( z 2 ＋ z 3 ) ＝ z 2 · z 1 z 1 ·( z 2 · z 3 ) z 1 z 2 ＋ z 1 z 3 3. 共轭复数 如果两个复数 满足 时 ，称这两个复数为共轭复数， z 的共轭复数 用 表示 . 即 z ＝ a ＋ b i ， 则 ＝ . 4. 复数的除法法则 设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i( c ＋ d i ≠ 0) ， 实部相等，虚部互为相反数 a － b i . 探要点 · 究 所然 情境导学 我们学习过实数的乘法运算及运算律，那么复数的乘法如何进行运算，复数的乘法满足运算律吗？ 探究点一　复数乘除法的运算 思考 1 　怎样进行复数的乘法？ 答　 两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只要把已得结果中的 i 2 换成－ 1 ，并且把实部与虚部分别合并即可 . 思考 2 　复数的乘法与多项式的乘法有何不同？ 答　 复数的乘法与多项式乘法是类似的，有一点不同即必须在所得结果中把 i 2 换成－ 1. 例 1 　 计算： (1)(1 － 2i)(3 ＋ 4i)( － 2 ＋ i) ； 解　 (1 － 2i)(3 ＋ 4i)( － 2 ＋ i) ＝ (11 － 2i)( － 2 ＋ i) ＝－ 20 ＋ 15i ； (2)(3 ＋ 4i)(3 － 4i) ； 解　 (3 ＋ 4i)(3 － 4i) ＝ 3 2 － (4i) 2 ＝ 9 － ( － 16) ＝ 25 ； (3)(1 ＋ i) 2 . 解　 ( 1 ＋ i) 2 ＝ 1 ＋ 2i ＋ i 2 ＝ 2i. 反思与感悟 　 复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等 . 跟踪训练 1 　计算： (1)(2 ＋ i)(2 － i) ； 解　 (2 ＋ i)(2 － i) ＝ 4 － i 2 ＝ 4 － ( － 1) ＝ 5 ； ( 2)(1 ＋ 2i) 2 . 解　 (1 ＋ 2i) 2 ＝ 1 ＋ 4i ＋ (2i) 2 ＝ 1 ＋ 4i ＋ 4i 2 ＝－ 3 ＋ 4i. 思考 3 　如何理解复数的除法运算法则？ 答　 复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化 ( 方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以 i). 方法二　 ( 技巧解法 ) 反思与感悟　 复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数 . 探究点二　共轭复数及其应用 思考 1 　像 3 ＋ 4i 和 3 － 4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数，那么如何定义共轭复数呢？ 答　 一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫作互为共轭复数 . 通常记复数 z 的共轭复数 为 . 虚部 不等于 0 的两个共轭复数也叫作共轭虚数 . 思考 2 　复数 a ＋ b i 的共轭复数如何表示？这两个复数之积是实数还是虚数？ 答　 复数 a ＋ b i 的共轭复数可表示为 a － b i ，由于 ( a ＋ b i)·( a － b i) ＝ a 2 ＋ b 2 ，所以两个共轭复数之积为实数 . 思考 3 　共轭复数有哪些性质，这些性质有什么作用？ 答　 (1) 在复平面上，两个共轭复数对应的点关于实轴对称 . (2) 实数的共轭复数是它本身，即 z ＝ ⇔ z ∈ R ，利用这个性质可证明一个复数为实数 . (3) 若 z ≠ 0 且 z ＋ ＝ 0 ，则 z 为纯虚数，利用这个性质，可证明一个复数为纯虚数 . 例 3 　 已知复数 z 满足 | z | ＝ 1 ，且 (3 ＋ 4i) z 是纯虚数，求 z 的 共轭复数 . 解　 设 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ， 即 a 2 ＋ b 2 ＝ 1. ① 因为 (3 ＋ 4i) z ＝ (3 ＋ 4i)( a ＋ b i) ＝ (3 a － 4 b ) ＋ (3 b ＋ 4 a )i ， 而 (3 ＋ 4i) z 是纯虚数 ， 所以 3 a － 4 b ＝ 0 ，且 3 b ＋ 4 a ≠ 0. ② 反思与感悟　 本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点 . 跟踪训练 3 　已知复数 z 满足： z · ＋ 2i z ＝ 8 ＋ 6i ，求复数 z 的实部与虚部的和 . 解　 设 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，则 z · ＝ a 2 ＋ b 2 ， ∴ a 2 ＋ b 2 ＋ 2i( a ＋ b i) ＝ 8 ＋ 6i ， 即 a 2 ＋ b 2 － 2 b ＋ 2 a i ＝ 8 ＋ 6i ， ∴ a ＋ b ＝ 4 ， ∴ 复数 z 的实部与虚部的和是 4. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 4 1. 设复数 z 满足 i z ＝ 1 ，其中 i 为虚数单位，则 z 等于 ( 　　 ) A. － i B.i C . － 1 D.1 A 2. 已知集合 M ＝ {1,2 ， z i} ， i 为虚数单位， N ＝ {3,4} ， M ∩ N ＝ {4} ，则复数 z 等于 ( 　　 ) A. － 2i B.2i C . － 4i D.4i 1 2 3 4 C 1 2 3 4 A 4. 复数 z ＝ ( i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点所在象限为 ( 　　 ) A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 1 2 3 4 D 呈 重点、现 规律 1. 复数代数形式的乘除运算 (1) 复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律 . (2) 在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化 . 2. 共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题 . 3. 复数问题实数化思想 . 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，利用复数相等的充要条件转化 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看