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- 2021-07-01 发布
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平面向量基本定理、平面向量的正交分解和坐标表示及运算
教学目的:
(1)了解平面向量基本定理;理解平面向量的坐标的概念;
(2)理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法;
(3)能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达.
教学重点:平面向量基本定理.
教学难点:平面向量基本定理的理解与应用. 向量的坐标表示的理解及运算的准确性.
教学过程:
一、 复习引入:
1.实数与向量的积:实数λ与向量的积是一个向量,记作:λ
(1)|λ|=|λ|||;
(2)λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=
2.运算定律
结合律:λ(μ)=(λμ) ;分配律:(λ+μ)=λ+μ, λ(+)=λ+λ
3. 向量共线定理 向量与非零向量共线则:有且只有一个非零实数λ,使=λ.
二、讲解新课:
1.思考:(1)给定平面内两个向量,,请你作出向量3+2,-2,
(2)同一平面内的任一向量是否都可以用形如λ1+λ2的向量表示?
平面向量基本定理:如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2.
2.探究:
(1) 我们把不共线向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底;
(2) 基底不惟一,关键是不共线;
(3) 由定理可将任一向量a在给出基底e1、e2的条件下进行分解;
(4) 基底给定时,分解形式惟一. λ1,λ2是被,,唯一确定的数量
3.讲解范例:
O
A
B
P
例1 已知向量, 求作向量-2.5+3
例2
本题实质是
4.练习1:
1.设e1、e2是同一平面内的两个向量,则有( D )
A.e1、e2一定平行 B.e1、e2的模相等 C.同一平面内的任一向量a都有a =λe1+μe2(λ、μ∈R)
D.若e1、e2不共线,则同一平面内的任一向量a都有a =λe1+ue2(λ、u∈R)
2.已知向量a = e1-2e2,b =2e1+e2,其中e1、e2不共线,则a+b与c =6e1-2e2的关系(B )
A.不共线 B.共线 C.相等 D.无法确定
3.已知λ1>0,λ2>0,e1、e2是一组基底,且a =λ1e1+λ2e2,则a与e1不共线,a与e2不共线.
(填共线或不共线).
5.向量的夹角:已知两个非零向量、,作,,则∠AOB=,叫向量、的夹角,当=0°,、同向,当=180°,、反向,当=90°,与垂直,记作⊥。
6.平面向量的坐标表示
(1)正交分解:把向量分解为两个互相垂直的向量。
(2)思考:在平面直角坐标系中,每一个点都可以用一对有序实数表示,平面内的每一个向量,如何表示呢?
如图,在直角坐标系内,我们分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底.任作一个向量,由平面向量基本定理知,有且只有一对实数、,使得…………
我们把叫做向量的(直角)坐标,记作…………
其中叫做在轴上的坐标,叫做在轴上的坐标,式叫做向量的坐标表示.与相等的向量的坐标也为. 特别地,,,.
如图,在直角坐标平面内,以原点O为起点作,则点的位置由唯一确定.
设,则向量的坐标就是点的坐标;反过来,点的坐标也就是向量的坐标.因此,在平面直角坐标系内,每一个平面向量都是可以用一对实数唯一表示.
7.讲解范例:
例2.教材P96面的例2。
8.课堂练习:P100面第3题。
三、小结:(1)平面向量基本定理;
(2)平面向量的坐标的概念;
四、课后作业:《习案》作业二十一
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