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- 2021-07-01 发布
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崇仁二中 2017-2018 学年高二上学期期中考试
文科数学试卷
一、选择题:(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合要求的).
1.命题“ 20, 0x x x ”的否定是 ( )
A . 20, 0x x x B. 20, 0x x x C. 20, 0x x x
D. 20, 0x x x
2.某人在打靶时,连续射击 2 次,事件“至少有 1 次中靶”的互斥事件是 ( )
A.2 次都不中靶 B.2 次都中靶 C.至多有 1 次中靶 D.只有 1 次
中靶
3.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( )
A. 1
6 B. 25
24 C. 3
4 D. 11
12
4. 在某次测量中得到的 A 样本数据如下:72,74,74,76,76,76,77,77,77,77.若 B
样本数据恰好是 A 样本数据每个都减 2 后所得数据,则 A,B 两样本的下列数字特征对应相同
的是( )
A.众数 B.标准差 C.中位数 D.平均数
5.从 1,2,3,4,5 中任取两个不同的数字,构成一个两位数,则这个数字大于 40 的概率
是( )
A. 4
5 B. 3
5 C. 2
5 D. 1
5
6.抛物线 2 4x y 的焦点坐标为 ( )
A. (0, 1) B. (0,1) C. (0, 2) D.(0,2)
7.在区间 4,4 上随机的取一个数 x ,则 x 满足 2 6 0x x 的概率为( )
A. 1
2
B. 3
8
C. 4
9
D. 5
8
8.下列命题中的假命题是( )
A. 0x R , 0lg 0x B. 0x R , 0tan 3x
C. 3, 0x R x D. ( , ),tan sin2x x x
9.设 ,Rx 则 xxx 222
1”是““ ”01 的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也
不必要条件
10.抛物线顶点在原点,焦点在 y 轴上,其上一点 ( ,1)P m 到焦点的距离为 5,则抛物线方程
为( )
A. yx 82 B. yx 82 C. yx 162 D. yx 162
11.已知椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F , 2F ,以线段 1 2F F 为一边作正
三角形,
若椭圆恰好平分正三角形的两条边,则椭圆的离心率为( )
A. 2
2 B. 3
2 C. 2 3 D. 3 1
12.若椭圆 012
2
2
2
bab
y
a
x 的离心率
2
1e ,右焦点为 0,cF ,方程 022 cbxax
的两个实数根分别是 21, xx ,则点 21, xxP 到原点的距离为( )
A.2 B. 2 C.
2
7 D.
4
7
二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题纸上)
13.某校有学生 2000 人,其中高二学生 630 人,高三学生 720 人.为了了解学生的身体素质
情况,采用
按年级分层抽样的方法,从该校学生中抽取一个 200 人的样本.则样本中高一学生的人数为
14.在 ABC 中, 060A , 2AB ,且 ABC 的面积 3
2ABCS ,则边 BC 的长为
____________
15.若抛物线 2 2y px 的焦点与椭圆
2 2
16 2
x y 的右焦点重合,则 p 的值为___________
16.下列四个命题:
①命题“若 0a ,则 0ab ”的否命题是“若 0a ,则 0ab ”;
②抛物线 2 ( 0)x ay a 的准线方程是
4
ay ;
③若命题“ p”与命题“p 或 q”都是真命题,则命题 q 一定是真命题;
④若命题“ x R , 2 ( 2) 1 0x m x ”是假命题,则实数 m 的取值范围是 0 4m .
其中正确命题的序号是 .(把所有正确命题的序号都填上).
三.解答题:(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤).
17.(本小题满分 10 分)根据统计某种改良土豆亩产增加量 y (百斤)与每亩使用农夫 1 号
肥料 x (千克)之间有如下的对应数据:
x (千克) 2 4 5 6 8
y (百斤) 3 4 4 4 5
(1)依据表中数据,请用最小二乘法求出 y 关于 x 的线性回归方程 axby ˆˆˆ ;
(2)根据所求线性回归方程,估计如果每亩使用农夫 1 号肥料 10 千克,则这种改良土豆亩
产增加量 y 是多少斤? 回归方程系数参考公式:
18. (本小题满分 12 分)某中学为了解某次竞赛成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分
取正整数,满分为 100 分)作为样本进行统计,请根据下面尚未完成并有局部污损的频率分
布表和频率分布直方图解决下列问题:
(1)求出 , , ,a b x y 的值;
(2)在选取的样本中,从竞赛成绩是 80 分以上(含 80 分)的同学中随机抽取 2 名同学参加
座谈,
求所抽取的 2 名同学来自同一组的概率.
19.(本小题满分 12 分)给出命题 p:方程
2 2
12
x y
a a
表示焦点在 y 轴上的椭圆;
命题 q:曲线 2 (2 3) 1y x a x 与 x 轴交于不同的两点.
(1)若命题 p 是真命题,求实数 a 的取值范围;
(2)如果命题“ p q ”为真,“ p q ”为假,求实数 a 的取值范围.
20.(本小题满分 12 分)等差数列{ }na 的各项均为正数, 1 1a = ,前 n 项和为 nS ;数列{ }nb
为等比数列,
1 1b = ,且 2 2 6b S = , 2 3 8b S .
(1)求数列{ }na 与{ }nb 的通项公式;
(2)求数列{ }n na b 的前 n 项和 nT .
21.(本小题满分 12 分)如图,在四棱锥 P ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为菱
形, 60 2 6BAD AB PD , , ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点.
(1)证明:平面 EAC⊥平面 PBD;
(2)若 PD//平面 EAC,求三棱锥 P EAD 的体积.
22.(本小题满分 12 分)已知椭圆C 的中心在原点,焦点在 x 轴,焦距为 2 ,且长轴长是
短轴长的 2 倍.
(1) 求椭圆C 的标准方程;
(2) 设 (2,0)P ,过椭圆C 左焦点 F 的直线l 交C 于 A 、 B 两点,若对满足条件的任意直线
l ,不等式
PA PB
uur uur
( R )恒成立,求 的最小值.
崇仁二中 2017-2018 学年高二上学期期中考试
文科数学试卷答案
一.选择题:BADBCA DCACDB
二.填空题: 13. 65 14. 3 15. 4 16. ②③
三.解答题:
17.解:(1) 55
86542 x ----------------1 分
45
54443 y --------------- 2 分
10658464544325
1
ii i yx ----------------------3 分
14586542 222225
1
2
i ix ----------------------------------------4 分
3.055145
455106ˆ
2
b ----------------------------------------5 分
5.253.04ˆˆ xbya -------------------------------------------6 分
所以 y 关于 x 的线性回归方程: 5.23.0ˆ xy ------------------------------------7 分
(2)当 x=10 时, 5.55.2103.0ˆ y --------------------------------------------------------9 分
答:估计如果每亩使用农夫 1 号肥料 10 千克,则这种改良土豆亩产增加量 y 是 550 斤 --10 分
18.
19. 解:(1)若命题 p 为真,则有 ......... 3 分
解之得 0<a<1,即实数 a 的取值范围为(0,1);.................4 分
(2)若命题 q 为真,则有 2(2 3) 4 0a ,...............5 分
解之得 1
2a 或 5
2a ................. 6 分
∵命题“p∨q”为真,“p∧q”为假
∴p、q 中一个为真命题,另一个为假命题,.......... 7 分
①当 p 真 q 假时,
0 1
1 5
2 2
a
a
,得 1 12 a ; ......... 9 分
②当 p 假 q 真时,
1 0
5 1
2 2
a a
a a
或
或
,得 5 02a a 或 ......... 11 分
所以 a 的取值范围是 1 5( ,0] [ ,1) ( , )2 2
.......... 12 分
20. 解:(1)设等差数列{an}的公差为 d,d>0,{bn}的公比为 q,
则 an=1+(n-1)d,bn=qn-1. 由 b2S2=6,b2+S3=8,
有 q(2+d)=6,q+3+3d=8, ...................2 分
解得 d=1,q=2,或 q=9,d=- (舍去), .............. 4 分
故 an=n,bn=2n-1. .............. 6 分
(2)an•bn=n•2n-1. .............. 7 分
前 n 项和为 Tn=1•20+2•21+3•22+…+n•2n-1, .............. 8 分
2Tn=1•21+2•22+3•23+…+n•2n. ............9 分
两式相减可得-Tn=1+21+22+…+2n-1-n•2n
= -n•2n............... 11 分
化简可得 Tn=1+(n-1)•2n. ..................... 12 分
21. (Ⅰ)证明:因为 PD 平面 ABCD , AC 平面 ABCD ,
所以 AC PD .
因为四边形 ABCD 是菱形,
所以 AC BD …………………………3 分
又因为 PD BD D , AC 面 PBD
而 AC 平面 EAC ,
所以平面 EAC 平面 PBD …………………………5 分
(Ⅱ)因为 / /PD 平面 EAC ,平面 EAC 平面 PBD OE ,
所以 / /PD OE …………………………7 分
因为 O 是 BD中点,
所以 E 是 PB 中点.
取 AD 中点 H ,连结 BH ,
因为四边形 ABCD 是菱形, 60BAD ,
所以 BH AD ,又 BH PD , AD PD D ,
所以 BD 平面 PAD , 3 32BH AB .…………………………10 分
所以 1 1 1
2 2 3P EAD E PAD B PAD PADV E V S BH
1 1 22 6 36 2 2
…………………………12 分
22. 解(Ⅰ)依题意, 2a b , 1c , ………………………………1 分
解得 2 2a , 2 1b ,所以椭圆 的标准方程为
2
2 12
x y .…………………3 分
(Ⅱ)设 1 1 2 2, , ,A x y B x y ,
所以 1 1 2 22, 2,PA PB x y x y
uur uur
= 1 2 1 22 2x x y y ,
当直线l 垂直于 x 轴时, 1 2 1x x , 1 2y y 且 2
1
1
2y ,
此时 13,PA y
uur
, 2 13, 3,PB y y
uur
,
所以 2 2
1
173 2PA PB y
uur uur
.………………………………6 分
当直线l 不垂直于 x 轴时,设直线l : 1y k x ,
由
2 2
1
2 2
y k x
x y
,消去 y 整理得 2 2 2 21 2 4 2 2 0k x k x k ,
所以
2
1 2 2
4
1 2
kx x k
,
2
1 2 2
2 2
1 2
kx x k
,………………………………8 分
所以 2
1 2 1 2 1 22 4 1 1PA PB x x x x k x x
uur uur
2 2 2
1 2 1 21 2 4k x x k x x k
2 2
2 2 2
2 2
2 2 41 2 41 2 1 2
k kk k kk k
2
2
17 2
2 1
k
k
2
17 13 17
2 22 2 1k
.…………………………11 分
要使不等式 PA PB
uur uur
( R )恒成立,只需 max
17
2PA PB
uur uur
,
即 的最小值为17
2 .………………………………12 分