2021高考数学一轮复习课后限时集训34等比数列及其前n项和文北师大版2 6页

- 1 - 课后限时集训 34 等比数列及其前 n 项和 建议用时：45 分钟 一、选择题 1．(2019·济南模拟)已知等比数列{an}中，a3＝－2，a7＝－8，则 a5＝(　　) A．－4　　　B．±4　　　C．4　　　D．16 A　[法一(求公比 q)：设等比数列的公比为 q，则 a7＝a3q4，即－8＝－2q4，所以 q4＝4，q2＝2. 所以 a5＝a3q2＝－2×2＝－4，故选 A. 法二(利用性质)：由 a25＝a3·a7 得 a25＝(－2)×(－8)＝16， 又等比数列的奇数项同号，所以 a5＝－4，故选 A.] 2．在各项均为正数的等比数列{an}中，若 a5a11＝4，a6a12＝8，则 a8a9＝(　　) A．12 B．4 2 C．6 2 D．32 B　[由题意可得 a28＝a5a11＝4，a29＝a6a12＝8，又各项均为正数，∴a8＝2，a9＝2 2，∴a8a9 ＝4 2.故选 B.] 3．(2019·德州模拟)记Sn 是公比不为 1 的等比数列{an}的前 n 项和，若 2a2,3a3,4a4 成等 差数列，a1＝1，则 S3＝(　　) A. 7 2 B. 7 4 C. 7 8 D. 7 16 B　[设等比数列{an}的公比为 q(q≠1)，由 2a2,3a3,4a4 成等差数列，a1＝1， 可得 6a3＝2a2＋4a4， 即 6q2＝2q＋4q3， 解得 q＝1(舍去)或 q＝ 1 2， 则 S3＝ a11－q3 1－q ＝ 1－ 1 8 1－ 1 2 ＝ 7 4. 故选 B.] 4．已知{an}，{bn}都是等比数列，那么(　　) A．{an＋bn}，{an·bn}都一定是等比数列 - 2 - B．{an＋bn}一定是等比数列，但{an·bn}不一定是等比数列 C．{an＋bn}不一定是等比数列，但{an·bn}一定是等比数列 D．{an＋bn}，{an·bn}都不一定是等比数列 C　[两个等比数列的和不一定是等比数列，但两个等比数列的积一定是等比数列，故选 C.] 5．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层， 红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座 7 层塔共挂了 381 盏 灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的 2 倍，则塔的顶层共有灯(　　) A．1 盏 B．3 盏 C．5 盏 D．9 盏 B　[设塔的顶层的灯数为 a1，七层塔的总灯数为 S7，公比为 q，则由题意知 S7＝381，q＝ 2， ∴S7＝ a11－q7 1－q ＝ a11－27 1－2 ＝381，解得 a1＝3. 故选 B.] 二、填空题 6．(2019·江苏高考)已知数列{an}(n∈N*)是等差数列，Sn 是其前 n 项和．若 a2a5＋a8＝ 0，S9＝27，则 S8 的值是________． 16　[由题意可得： Error! 解得Error! 则 S8＝8a1＋ 8 × 7 2 d＝－40＋28×2＝16.] 7．设 Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若 S4 S2＝4，则 S6 S4＝______. 13 4 　[根据题意得 S4＝4S2，即 S2＝ 1 4S4，由等比数列前 n 项和的性质有(S4－S2)2＝S2(S6－ S4)，得 4S6＝13S4，所以 S6 S4＝ 13 4 .] 8．(2019·临沂模拟)已知 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和，a3＋S5＝18，a5＝7.若 a3，a6， am 成等比数列，则 m＝________. 15　[设等差数列{an}的公差为 d， 由题意得Error!解得Error! ∵a3，a6，am 成等比数列，∴a26＝a3am， 即(a1＋5d)2＝(a1＋2d)[a1＋(m－1)d]， ∴81＝3(2m－3)，解得 m＝15.] - 3 - 三、解答题 9．(2016·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为 3 的等差数列，数列{bn}满足 b1＝1，b2＝ 1 3，anbn ＋1＋bn＋1＝nbn. (1)求{an}的通项公式； (2)求{bn}的前 n 项和． [解](1)由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝ 1 3，得 a1＝2. 所以数列{an}是首项为 2，公差为 3 的等差数列，通项公式为 an＝3n－1. (2)由(1)知 anbn＋1＋bn＋1＝nbn，得 bn＋1＝ bn 3 ， 因此{bn}是首项为 1，公比为 1 3的等比数列． 记{bn}的前 n 项和为 Sn， 则 Sn＝ 1－(1 3 ) 1－ 1 3 ＝ 3 2－ 1 2 × 3n－1. 10．(2017·全国卷Ⅰ)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．已知 S2＝2，S3＝－6. (1)求{an}的通项公式； (2)求 Sn，并判断 Sn＋1，Sn，Sn＋2 是否成等差数列． [解](1)设{an}的公比为 q.由题设可得 Error! 解得 q＝－2，a1＝－2. 故{an}的通项公式为 an＝(－2)n. (2)由(1)可得 Sn＝ a11－qn 1－q ＝－ 2 3＋(－1)n2n＋1 3 . 由于 Sn＋2＋Sn＋1＝－ 4 3＋(－1)n2n＋3－2n＋2 3 ＝2[－ 2 3＋－1n 2n＋1 3 ]＝2Sn， 故 Sn＋1，Sn，Sn＋2 成等差数列． 1．已知正项等比数列{an}中，a1a5a9＝27，a6 与 a7 的等差中项为 9，则 a10＝(　　) A. 3 32　　　　B. 1 81　　　　C．96　　　　D．729 - 4 - C　[由等比数列的性质可得 a1a5a9＝a35＝27，所以 a5＝3.又因为 a6 与 a7 的等差中项为 9， 所以 a6＋a7＝18，设等比数列{an}的公比为 q，则 a6＋a7＝a5(q＋q2)＝18，所以 q＋q2＝6，解 得 q＝2 或 q＝－3.又因为 an＞0，所以 q＞0，故 q＝2.故 a10＝a5q5＝3×25＝96.故选 C.] 2．(2019·郑州模拟)已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝ 1 4，则 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ (　　) A．16(1－4－n) B．16(1－2－n) C. 32 3 (1－4－n) D. 32 3 (1－2－n) C　[设等比数列{an}的公比为 q. 由 a5＝a2·q3＝2·q3＝ 1 4，解得 q＝ 1 2， 由 a2＝a1× 1 2＝2，得 a1＝4， 因为数列{anan＋1}仍是等比数列，其首项是 a1a2＝8，公比为 1 4， 所以 a1a2＋a2a3＋…＋anan＋1＝ 8[1－(1 4 )] 1－ 1 4 ＝ 32 3 (1－4－n)．] 3．在数列{ an}中，已知 a1＝1， nSn＋1 ＝3(n＋1)Sn，则数列{an}的通项公式为 an＝ ________. (2n＋1)·3n－2　[因为 nSn＋1＝3(n＋1)Sn，所以 Sn＋1 n＋1＝3× Sn n ，所以数列{Sn n }是以 S1 1 ＝ 1 为首项，3 为公比的等比数列，所以 Sn n ＝3n－1，所以 Sn＝n·3n－1.当 n≥2 且 n∈N*时，an＝Sn －Sn－1＝n·3n－1－(n－1)·3n－2＝(2n＋1)·3n－2，当 n＝1 时，a1＝1 符合上式，所以 an＝(2n ＋1)·3n－2.] 4．已知数列{an}满足对任意的正整数 n，均有 an＋1＝5an－2·3n，且 a1＝8. (1)证明：数列{an－3n}为等比数列，并求数列{an}的通项公式； (2)记 bn＝ an 3n，求数列{bn}的前 n 项和 Tn. [解](1)证明：因为 an＋1＝5an－2·3n， 所以 an＋1－3n＋1＝5an－2·3n－3n＋1＝5(an－3n)． 又 a1＝8，所以 a1－3＝5≠0， 所以数列{an－3n}是首项为 5，公比为 5 的等比数列， 所以 an－3n＝5n，所以 an＝3n＋5n. (2)由(1)知， - 5 - bn＝ an 3n＝ 3n＋5n 3n ＝1＋(5 3 ) n ， 则数列{bn}的前 n 项和 Tn＝1＋ (5 3 ) 1 ＋1＋ (5 3 ) 2 ＋…＋1＋ (5 3 ) n ＝n＋ 5 3[1－(5 3 )] 1－ 5 3 ＝ 5n＋1 2 × 3n＋n－ 5 2. 1．《九章算术》中有一题：今有牛、马、羊食人苗．苗主责之粟五斗．羊主曰：“我羊 食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？其意思是：今有牛、马、 羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿五斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一 半．”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半．”若按此比例偿还，问牛、马、羊的主 人各应赔偿多少斗粟？设牛、马、羊的主人分别应偿还 x 斗粟、y 斗粟、z 斗粟，则下列判断 正确的是(　　) A．y2＝xz 且 x＝ 5 7　　　　 B．y2＝xz 且 x＝ 20 7 C．2y＝x＋z 且 x＝ 5 7 D．2y＝x＋z 且 x＝ 20 7 B　[由题意可知 x，y，z 成公比为 1 2的等比数列， 则 x＋y＋z＝x＋ 1 2x＋ 1 4x＝5，解得 x＝ 20 7 . 由等比数列的性质可得 y2＝xz.故选 B.] 2．若数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn＝2an－λ(λ＞0，n∈N*)． (1)证明：数列{an}为等比数列，并求 an； (2)若 λ＝4，bn＝Error!(n∈N*)，求数列{bn}的前 2n 项和 T2n. [解](1)证明：由 Sn＝2an－λ 可得 S1＝2a1－λ，即 a1＝λ. 当 n≥2 时，an＝Sn－Sn－1＝(2an－λ)－(2an－1－λ)＝2an－2an－1，即 an＝2an－1. 又 a1＝λ＞0，所以数列{an}是首项为 λ，公比为 2 的等比数列， 所以 an＝λ×2n－1. (2)由(1)可知当 λ＝4 时，an＝2n＋1. 从而 bn＝Error! 所以 T2n＝(22＋24＋26＋…＋22n)＋[3＋5＋7＋…＋(2n＋1)] - 6 - ＝ 41－4n 1－4 ＋n2＋2n ＝ 44n－1 3 ＋n2＋2n.