2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学（文）试题（解析版） 20页

‎2019-2020学年河南省开封市五县联考高二上学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．已知，是两个变量，下列四个关系中，，呈负相关的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据两个变量，的散点图，即可确定.‎ ‎【详解】‎ 根据的散点图可知，，不呈负相关.选项A，排除.‎ 根据的散点图可知，，不呈负相关.选项B，排除.‎ 根据的散点图可知，，呈正相关.选项C，排除.‎ 根据的散点图可知，，呈负相关.选项D，成立.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查变量的相关性，数形结合思想是解决本题的关键，属于较易题.‎ ‎2．函数在区间上的平均变化率为（ ）‎ A．2 B．4 C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据函数的平均变化率的公式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查函数的平均变化率，属于容易题.‎ ‎3．双曲线：的离心率是（ ）‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】双曲线：化为标准方程是，则，，根据离心率公式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 双曲线：化为标准方程是，其离心率是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的离心率，双曲线方程标准化，是解决本题的关键，属于较易题.‎ ‎4．函数的单调增区间为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先求定义域，再求导数，令解不等式，即可.‎ ‎【详解】‎ 函数的定义域为 令，解得 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的单调性，属于中档题.‎ ‎5．设曲线在点处的切线方程为，则实数（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】先确定在曲线，求导数，，根据切点的导数值等于切线的斜率，列方程，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 将点代入曲线中，得，所以点在曲线上，求导得，则曲线在点处的切线的斜率为.因为已知切线方程为，所以切线的斜率为1.依题意，，解得.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，属于较易题.‎ ‎6．某公司在2014~2018年的收入与支出情况如下表所示：‎ 收入（亿元）‎ ‎2.2‎ ‎2.4‎ ‎3.8‎ ‎5.2‎ ‎6.0‎ 支出（亿元）‎ ‎0.2‎ ‎1.5‎ ‎2.0‎ ‎2.5‎ ‎3.8‎ 根据表中数据可得回归直线方程为，依此估计如果2019年该公司收入为8亿元时的支出为（ ）‎ A．4.502亿元 B．4.404亿元 C．4.358亿元 D．4.856亿元 ‎【答案】D ‎【解析】先求，，根据，求解，将代入回归直线方程为，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ 即 令，则 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查回归分析，样本中心点满足回归直线方程，是解决本题的关键.属于中档题.‎ ‎7．设等差数列的前项和为，且，，则（ ）‎ A．90 B．110 C．45 D．55‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列的首项为，公差为，则，,根据，，列方程组，求解与，即可.‎ ‎【详解】‎ 设等差数列的首项为，公差为，则，‎ 由，，可知，解得.‎ 所以，则.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列前项和，属于中档题.‎ ‎8．已知双曲线，点，是双曲线的左、右焦点，点是双曲线右支上一点，且，，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】连接，取的中点，连接，则，在中，，即，求解，即可.‎ ‎【详解】‎ 如图，连接，取的中点，连接，则.‎ 由，则.‎ 即.‎ 在中，‎ 则，即.‎ 所以双曲线的渐近线方程为.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的渐近线，属于中档题.‎ ‎9．设函数，若时，，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据题意变形整理为，设，利用导数求在上的最小值，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 时，即，对成立.‎ ‎∴.‎ 令，‎ 则 令，即，解得.‎ 令，即，解得 ‎∴在上是减函数，在上是增函数.‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的最值，求参数的取值范围，属于难题.‎ ‎10．已知抛物线：的焦点为，准线为，是上一点，是直线与的一个交点，若，则（ ）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】过点作准线的垂线，由抛物线的定义和三角形相似、可知，，进而可求得结果。‎ ‎【详解】‎ 如图所示：‎ 过点作交于点，利用抛物线定义得到.‎ 设准线交x轴于点，因为，‎ 所以，又焦点到准线的距离为4，所以， ‎ 所以.‎ 故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查抛物线的定义，考查转化能力，属于基础题。解决圆锥曲线有关的问题，注意初中平面几何中结论的运用。‎ ‎11．已知函数，点、为函数图象上两点，且过、两点的切线互相垂直，若，则的最小值为（ ）‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求函数的导数，由题意可知 ‎，再将变形为，根据均值不等式，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎∵，过、两点的切线互相垂直.‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 当且仅当，即，时等号成立 ‎∴的最小值为1.‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题考查导数的几何意义，以及均值不等式，属于难题.‎ ‎12．若两个正实数，满足，并且恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】将变形为，根据均值不等式可知，由题意可知，解不等式即可.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以.‎ 所以 ‎.‎ 当且仅当，即，时等号成立，‎ 若使得恒成立 则需，即，解得.‎ 所以实数的取值范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】‎ 本题考查均值不等式，属于较难题.‎ 二、填空题 ‎13．不等式的解集为______.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】不等式，变形为，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，解得或 故答案为：或 ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次不等式，属于较易题.‎ ‎14．若实数，满足，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据约束条件画出可行域，利用数形结合求目标函数的最小值，即可.‎ ‎【详解】‎ 由约束条件画出可行域，如图所示.‎ 由图可知，当经过点时，取得最小值，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划问题，属于较易题.‎ ‎15．椭圆的左、右焦点分别为，，上顶点的坐标为，若的内切圆的面积为，则椭圆方程为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，为等腰三角形，根据面积相等，确定，再根据，，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 设的内切圆半径为，则其内切圆面积为，解得 由题意可知，为等腰三角形，且，，‎ ‎，‎ 即，得 ‎∴‎ 又 ，‎ ‎∴，‎ ‎∴椭圆方程为.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程，等面积转化法是解决本题的关键.属于中档题.‎ ‎16．已知抛物线的焦点为，以为圆心，长为半径画圆，在第一象限交抛物线于、两点，则的值为______.‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】由题意可知圆的方程为，与抛物线方程联立，整理的，设，，确定，求解即可.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，抛物线的焦点坐标为 则，即圆的方程为 则，变形整理得，‎ 设，‎ 则、为方程的两根.‎ 即 由抛物线定义可知，.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查抛物线的基本性质，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17．为了解某班学生喜好体育运动是否与性别有关，对本班60人进行了问卷调查得到了如下的列联表：‎ 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 ‎5‎ 女生 ‎10‎ 合计 ‎60‎ 已知按喜好体育运动与否，采用分层抽样法抽取容量为12的样本，则抽到喜好体育运动的人数为7.‎ ‎（1）请将上面的列联表补充完整；‎ ‎（2）能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为喜好体育运动与性别有关？说明你的理由；‎ 下面的临界值表供参考：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎【答案】（1）列联表见解析；（2）能，理由见解析.‎ ‎【解析】（1）根据分层抽样可知喜好体育运动的人数为，其中男生人数为，则不喜好体育运动的人数为，其中女生人数为，本班女生人数为，本班男生人数为，填表即可.‎ ‎（2）根据独立性检验的公式，求解，与比较，得出结论，即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设喜好体育运动的人数为人，由已知得解，∴.‎ 列联表补充如下：‎ 喜好体育运动 不喜好体育运动 合计 男生 ‎25‎ ‎5‎ ‎30‎ 女生 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ 合计 ‎35‎ ‎25‎ ‎60‎ ‎（2）∵.‎ 能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为喜好体育运动与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验，属于中档题.‎ ‎18．已知数列中，，，且满足.‎ ‎（1）求实数的值；‎ ‎（2）若，求数列的通项公式.‎ ‎【答案】（1）或；（2）.‎ ‎【解析】（1）由题意可知，，则，解方程即可.‎ ‎（2）由（1）可知，则，分别用，，，，替换上式中的，再将这些等式相加，运用累差叠加法，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由，得.‎ 即.‎ 所以，‎ ‎，‎ 所以，化简得，解得或.‎ ‎（2）在（1）的情况下，若则，即 将上述各式相加：‎ 数列的通项公式为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查累差叠加法求数列通项公式.属于中档题.‎ ‎19．已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且．‎ ‎（1）求抛物线的方程；‎ ‎（2）过焦点的直线与抛物线分别交于两点，点的坐标分别为，，为坐标原点，若，求直线的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）或 ‎【解析】【试题分析】（1）将点的坐标代入抛物线方程，结合抛物线的定义可求得，抛物线方程为.（2）设直线的方程为，联立直线方程和抛物线方程，消去，写出韦达定理，代入，化简可求得，即求得直线方程.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）由点在抛物线上，有，解得，‎ 由抛物线定义有：，解：，‎ 故抛物线的方程为．‎ ‎（2）设直线的方程为：，联立方程，消去得：，‎ 故有：，，，‎ ‎ ，‎ 则，故，解得：，‎ 所求直线的方程为：或．‎ ‎20．已知函数的一个极值点为2.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）求证：函数有两个零点.‎ ‎【答案】（1）极小值为，没有极大值；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】（1）先求定义域为，再求导数为，由题意可知 ‎，解得，则，确定导数的正负，求解即可.‎ ‎（2）由（1）可知的单调性，分别确定、、的正负，从而判断零点个数，即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）解：定义域为 ‎∵2是的极值点 ‎∴ ∴‎ ‎∴.‎ ‎∴时，；时，‎ ‎∴的单调减区间为，单调增区间为.‎ ‎∴有极小值为，没有极大值.‎ ‎（2）证明：由（1）知的单调减区间为，单调增区间为 ‎∵‎ ‎∴‎ ‎.‎ ‎∴有1个零点在区间内，有1个零点在区间内，‎ ‎∴只有两个零点.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究函数的极值，以及利用导数求函数的零点问题，属于较难的题.‎ ‎21．在平面直角坐标系中，四个点，，，中有3个点在椭圆：上.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）过原点的直线与椭圆交于，两点（，不是椭圆的顶点），点在椭圆上，且，直线与轴、轴分别交于、两点，设直线，的斜率分别为，，证明：存在常数使得，并求出的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析，.‎ ‎【解析】（1）根据椭圆的对称性可知，关于轴对称的，在椭圆上.分类讨论，当在椭圆上时，当在椭圆上时，分别求解，根据确定，即可.‎ ‎（2）设，，由题意可知，，设直线的方程为，与椭圆联立，变形整理得，确定，，从而，直线的方程为，分别令、确定点与点的坐标，求直线，的斜率分别为，，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵，关于轴对称.‎ ‎∴这2个点在椭圆上，即①‎ 当在椭圆上时，②‎ 由①②解得，.‎ 当在椭圆上时，③‎ 由①③解得，.‎ 又 ‎∴，‎ ‎∴椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，，则.‎ 因为直线的斜率，又.‎ 所以直线的斜率.‎ 设直线的方程为，由题意知，.‎ 由可得，‎ 所以，.‎ 由题意知，所以，所以直线的方程为，令，得，即，可得，‎ 令，得，即，可得，‎ 所以，即，因此，存在常数使得结论成立.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系，属于较难的题.‎ ‎22．已知函数，.‎ ‎（1）若曲线与在点处有相同的切线，求函数的极值；‎ ‎（2）若，讨论函数的单调性.‎ ‎【答案】（1）的极大值，极小值为；（2）时，的单调增区间为，单调减区间为；时，的单调增区间为，，单调减区间为；时，的单调增区间为，没有减区间；时，的单调增区间为，，单调减区间为.‎ ‎【解析】（1）对函数，分别求导，根据曲线与在点处有相同的切线，可知，解得，从而得到，求，判断导数的正负，求极值，即可.‎ ‎（2）先求的定义域，求导数，对进行分类讨论，求解即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），‎ ‎，，‎ 由题意知，∴，‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ ‎∴‎ ‎∴或时，，时，，‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数，‎ ‎∴的极大值，极小值为.‎ ‎（2）的定义域为，‎ ‎，‎ 当时，∵，∴.‎ ‎∴时，，时，，‎ 当时，的解集为，解集为，‎ 当时，，当时取等号，‎ 当时，解集为，解集为，‎ ‎∴时，的单调增区间为，单调减区间为，‎ 时，的单调增区间为，，单调减区间为，‎ 时，的单调增区间为，没有减区间，‎ 时，的单调增区间为，，单调减区间为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用导数研究极值，以及函数的单调性，同时也考查了分类讨论思想的应用，属于较难的题.‎