数学文卷·2018届北京市丰台区高三上学期期末考试（2018 22页

丰台区2017~2018学年度第一学期期末练习 高三数学（文科）‎ 第Ⅰ卷（共40分）‎ 一、选择题：本大题共8个小题,每小题5分,共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．“”是“”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．执行如图所示的程序框图，若输入的的值为-3.7，则输出的值是（ ）‎ A．-0.7 B．0.3 C．0.7 D．3.7‎ ‎4．若满足则的最大值是（ ）‎ A．-2 B．-1 C．1 D．2‎ ‎5．已知向量，，则向量与的夹角为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥最长的棱的棱长为（ ）‎ A．3 B． C． D．2‎ ‎7．已知抛物线的焦点为，点在轴上，线段的中点在抛物线上，则（ ）‎ A．1 B． C．3 D．6‎ ‎8．全集，非空集合，且中的点在平面直角坐标系内形成的图形关于轴、轴和直线均对称.下列命题：‎ A．若，则 B．若，则中元素的个数一定为偶数 C．若，则中至少有8个元素 D．若，则 第Ⅱ卷（共110分）‎ 二、填空题（每题5分，满分30分，将答案填在答题纸上）‎ ‎9．复数在复平面内所对应的点在第 象限．‎ ‎10．某单位员工中年龄在20~35岁的有180人，35~50岁的有108人，50~60岁的有72人.为了解该单位员工的日常锻炼情况，现采用分层抽样的方法从该单位抽取20人进行调查，那么在35~50岁年龄段应抽取 人．‎ ‎11．已知，，则 ．‎ ‎12．已知直线和圆交于两点，则 ．‎ ‎13．能够说明“方程的曲线不是双曲线”的一个的值是 ．‎ ‎14．设函数的周期是3，当时，‎ ‎① ；‎ ‎②若有最小值，且无最大值，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎15．在中，．‎ ‎（Ⅰ）求角的值；‎ ‎（Ⅱ）若，，求的值.‎ ‎16．在四棱锥中，底面是矩形，侧棱底面，分别是的中点，.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）若，，求三棱锥的体积..‎ ‎17．等差数列中，，，等比数列的各项均为正数，且满足.‎ ‎（Ⅰ）求数列的通项公式及数列的公比；‎ ‎（Ⅱ）求数列的前项和.‎ ‎18．某校为了鼓励学生热心公益，服务社会，成立了“慈善义工社”.2017年12月，该校“慈善义工社”为学生提供了4次参加公益活动的机会，学生可通过网路平台报名参加活动.为了解学生实际参加这4次活动的情况，该校随机抽取100名学生进行调查，数据统计如下表，其中“√”表示参加，“×”表示未参加.‎ ‎（Ⅰ）从该校所有学生中任取一人，试估计其2017年12月恰参加了2次学校组织的公益活动的概率；‎ ‎（Ⅱ）若在已抽取的100名学生中，2017年12月恰参加了1次活动的学生比4次活动均未参加的学生多17人，求的值；‎ ‎（Ⅲ）若学生参加每次公益活动可获得10个公益积分，试估计该校4000名学生中，2017年12月获得的公益积分不少于30分的人数.‎ ‎19．已知椭圆的左、右焦点分别是，点在椭圆上，是等边三角形.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）点在椭圆上，线段与线段交于点，若与的面积之比为，求点的坐标.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若在上有零点，求实数的取值范围.‎ 丰台区2017-2018学年度第一学期期末练习2018.01‎ 高三数学（文科）答案及评分参考 一、选择题 ‎1-4:CABD 5-8:DACC 二、填空题 ‎9．二 10．6 11．‎ ‎12．2 13．之间的数即可 14．，‎ 三、解答题 ‎15．解：（Ⅰ）因为，‎ 所以.‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理可得，‎ 所以，‎ 解得或（舍）.‎ 解得.‎ ‎16．解：（Ⅰ）证明：连接，‎ 因为分别是的中点，‎ 所以.‎ 又因为平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）证明：因为，为中点.‎ 所以.‎ 又因为是矩形，‎ 所以.‎ 因为底面，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以平面.‎ 因为平面，‎ 所以.‎ 又因为，‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅲ）由（Ⅱ）知平面.‎ 因为，‎ 所以平面.‎ 因为点是的中点，‎ 所以点到平面的距离等于.‎ 所以，‎ 即.‎ ‎17．解：（Ⅰ）设等差数列的公差为.‎ 依题意，解得.‎ 所以.‎ 设等比数列的公比为，‎ 由，得.‎ 因为，且，所以.‎ 因为数列的各项均为正数，所以.‎ ‎（Ⅱ）因为，‎ 令，得，‎ 因为，‎ 所以，所以.‎ 所以 ‎.‎ 所以.‎ ‎18．解：（Ⅰ）设“从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动”为事件，‎ 则.‎ 所以从该校所有学生中任取一人，其2017年12月恰有2次参加公益活动的概率为.‎ ‎（Ⅱ）依题意，‎ 所以.‎ ‎（Ⅲ）.‎ 所以估计该校4000名学生中，12月获得的公益积分不少于30分的人数约为1080人.‎ ‎19．解：（Ⅰ）由题意是椭圆短轴上的顶点，‎ 所以，‎ 因为是正三角形，‎ 所以，即.‎ 由，所以.‎ 所以椭圆的标准方程是.‎ ‎（Ⅱ）设，，依题意有，，，.‎ 因为，所以，且，‎ 所以，，即.‎ 因为点在椭圆上，所以，即.‎ 所以，解得，或.‎ 因为线段与线段交于点，‎ 所以，所以.‎ 因为直线的方程为，‎ 将代入直线的方程得到.‎ 所以点的坐标为.‎ ‎20．解：（Ⅰ）函数的定义域为，‎ ‎.‎ 由得或.‎ 当时，在上恒成立，‎ 所以的单调递减区间是，没有单调递增区间.‎ 当时，的变化情况如下表：‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 当时，的变化情况如下表：‎ 所以的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）当时，的单调递增区间是，单调递减区间是.‎ 所以在上有零点的必要条件是，‎ 即，所以.‎ 而，所以.‎ 若，在上是减函数，，在上没有零点.‎ 若，，在上是增函数，在上是减函数，‎ 所以在上有零点等价于，‎ 即，解得.‎ 综上所述，实数的取值范围是.‎