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- 2021-07-01 发布
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福建省建瓯市芝华中学2019-2020学年
高二下学期第一次阶段考试试题
一、选择题,共12题,每题5分每题只有一个正确答案,共60分。
1.已知集合,,则( )
A. B. C. D.
2..函数的定义域是( )
A. B. C. D.
3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:
广告费用x(万元)
4
2
3
5
销售额y(万元)
49
26
39
54
根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为( )
A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元
4.已知,,,则( )
A. B. C. D.
5..函数在的图像大致为( )
A. B.
C. D.
6.函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数上单调递减则的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是( )
A. B. C. D.
9.已知曲线在点处的切线方程为,则( )
A., B., C., D.,
10.若是定义域为的偶函数,且在单调递减,则( )
A. B.
C. D.
11.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为
A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10. D. 10–10.1
12.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、填空题,共4题,每题5分,共20分。
13.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.
14.是展开式中的常数项为________.
15. 已知是奇函数,且当时, .若,则_______.
16.设函数f(x)=ex+ae−x(a为常数).若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.
三、解答题,第17题10分,第18-22每题12分,共70分。
17.(10分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:
价格x(元/kg)
10
15
20
25
30
日需求量y(kg)
11
10
8
6
5
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为多少?
参考公式:
18.(12分)高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100人进行调查,得到如下数据:
每周移动
支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及
以上
男
10
8
7
3
2
15
女
5
4
6
4
6
30
总计
15
12
13
7
8
45
(1)把每周使用移动支付6次及以上的用户称为“移动支付达人”,按分层抽样的方法,从参与调查的“移动支付达人”中,随机抽取6人,求抽取的6人中,男、女用户各多少人;
(2)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,根据表格中的数据完成下列2×2列联表,问:能否有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关?
.
非移动支付
活跃用户
移动支付
活跃用户
总计
男
女
总计
附参照表:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.01
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d
19.(12分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.
20.(12分)已知函数
(1) 若a=b=1,求函数的极值;(2)讨论的单调性
21.(12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
交付金额(元)
支付方式
(0,1000]
(1000,2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
22.(12分)已知函数.
(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:
参考答案
二、填空题,共4题,每题5分,共20分。
13.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.
【答案】
14.是展开式中的常数项为________.
【答案】
15. 已知是奇函数,且当时, .若,则_______.
答案:
解答:
∵,
∴.
16.设函数f(x)=ex+ae−x(a为常数).若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.
【答案】 .
三、解答题,第17题10分,第18-22每题12分,共70分。
17.(10分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:
价格x(元/kg)
10
15
20
25
30
日需求量y(kg)
11
10
8
6
5
(1)求y关于x的线性回归方程;
(2)当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为多少?
参考公式:
解:(1)=(10+15+20+25+30)=20,=(11+10+8+6+5)=8,∴==-=-0.32,
∴=-=8-(-0.32)×20=14.4,所求线性回归方程为=-0.32x+14.4.
(2)由(1)知当x=40时,=-0.32×40+14.4=1.6,故当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为1.6 kg.
18.(12分)高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100人进行调查,得到如下数据:
每周移动
支付次数
1次
2次
3次
4次
5次
6次及
以上
男
10
8
7
3
2
15
女
5
4
6
4
6
30
总计
15
12
13
7
8
45
(1)把每周使用移动支付6次及以上的用户称为“移动支付达人”,按分层抽样的方法,从参与调查的“移动支付达人”中,随机抽取6人,求抽取的6人中,男、女用户各多少人;
(2)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,根据表格中的数据完成下列2×2列联表,问:能否有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关?
非移动支付
活跃用户
移动支付
活跃用户
总计
男
女
总计
附参照表:
P(K2≥k0)
0.10
0.05
0.025
0.01
k0
2.706
3.841
5.024
6.635
参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d
解:(1)因为6×=2,6-2=4,
所以抽取的6人中,男用户2人,女用户4人.
(2)由表格中数据可得2×2列联表如下:
非移动支付
活跃用户
移动支付
活跃用户
总计
男
25
20
45
女
15
40
55
总计
40
60
100
所以K2的观测值k=≈8.249>6.635,
所以有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关.
19.(12分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.
(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;
(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.
【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)
【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,
故,从面.
所以,随机变量的分布列为:
0
1
2
3
随机变量的数学期望.
(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为,则.
且.
由题意知事件与互斥,
且事件与,事件与均相互独立,
从而由(Ⅰ)知:
.
20.(12分)已知函数
(1) 若a=b=1,求函数的最值;
(2) 讨论的单调性
解析:
(1) 略
(2)
当时,,此时在单调递增.
当时,令,解得或,令,解得.
此时在单调递增,在单调递减.
当时,令,解得或,令,解得.
此时在单调递增,在单调递减.
综上可得,当时,在单调递增.
当时,在单调递增,在单调递减.
当时,在单调递增,在单调递减.
21.(12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:
交付金额(元)
支付方式
(0,1000]
(1000,2000]
大于2000
仅使用A
18人
9人
3人
仅使用B
10人
14人
1人
(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;
(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;
(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;
【详解】(Ⅰ)由题意可知,两种支付方式都是用的人数为:人,则:
该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.
(Ⅱ)由题意可知,
仅使用A支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占,
仅使用B支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占,
且X可能的取值为0,1,2.
,,,
X分布列为:
X
0
1
2
其数学期望:.
(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下:
随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的,是不能预知的,随着试验次数的增多,频率越来越稳定于概率。
学校是一个相对消费稳定的地方,每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定,出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.
22.(12分)已知函数.
(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;
(Ⅱ)当时,求证:;
【答案】(Ⅰ)和.
(Ⅱ)见解析;
(Ⅲ).
【详解】(Ⅰ),令得或者.
当时,,此时切线方程为,即;
当时,,此时切线方程为,即;
综上可得所求切线方程为和.
(Ⅱ)设,,令得或者,所以当时,,为增函数;当时,,为减函数;当时,,为增函数;
而,所以,即;
同理令,可求其最小值为,所以,即,综上可得.