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  • 2021-07-01 发布

【数学】福建省建瓯市芝华中学2019-2020学年高二下学期第一次阶段考试试题

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福建省建瓯市芝华中学2019-2020学年 高二下学期第一次阶段考试试题 一、选择题,共12题,每题5分每题只有一个正确答案,共60分。‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎2..函数的定义域是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎3.某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表:‎ 广告费用x(万元)‎ ‎4‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ 销售额y(万元)‎ ‎49‎ ‎26‎ ‎39‎ ‎54‎ 根据上表可得回归方程=x+中的为9.4,据此模型预报广告费用为6万元时销售额为(  )‎ A.63.6万元 B.65.5万元 C.67.7万元 D.72.0万元 ‎4.已知,,,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5..函数在的图像大致为( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎6.函数f(x)=cosx+bsinx(b为常数),则“b=0”是“f(x)为偶函数”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎7.已知函数上单调递减则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务,则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.已知曲线在点处的切线方程为,则( )‎ A., B., C., D.,‎ ‎10.若是定义域为的偶函数,且在单调递减,则( )‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.在天文学中,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为mk的星的亮度为Ek(k=1,2).已知太阳的星等是–26.7,天狼星的星等是–1.45,则太阳与天狼星的亮度的比值为 A. 1010.1 B. 10.1 C. lg10. D. 10–10.1‎ ‎12.已知,设函数若关于的不等式在上恒成立,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题,共4题,每题5分,共20分。‎ ‎13.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.‎ ‎14.是展开式中的常数项为________.‎ ‎15. 已知是奇函数,且当时, .若,则_______.‎ ‎16.设函数f(x)=ex+ae−x(a为常数).若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.‎ 三、解答题,第17题10分,第18-22每题12分,共70分。‎ ‎17.(10分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:‎ 价格x(元/kg)‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 日需求量y(kg)‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎(1)求y关于x的线性回归方程;‎ ‎(2)当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为多少?‎ 参考公式:‎ ‎18.(12分)高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100人进行调查,得到如下数据:‎ 每周移动 支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及 以上 男 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎15‎ 女 ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎30‎ 总计 ‎15‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎45‎ ‎(1)把每周使用移动支付6次及以上的用户称为“移动支付达人”,按分层抽样的方法,从参与调查的“移动支付达人”中,随机抽取6人,求抽取的6人中,男、女用户各多少人;‎ ‎(2)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,根据表格中的数据完成下列2×2列联表,问:能否有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关?‎ ‎.‎ 非移动支付 活跃用户 移动支付 活跃用户 总计 男 女 总计 附参照表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d ‎19.(12分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.‎ ‎(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.‎ ‎20.(12分)已知函数 (1) 若a=b=1,求函数的极值;(2)讨论的单调性 ‎21.(12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:‎ 交付金额(元)‎ 支付方式 ‎(0,1000]‎ ‎(1000,2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;‎ ‎(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.‎ ‎22.(12分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:‎ 参考答案 二、填空题,共4题,每题5分,共20分。‎ ‎13.已知一组数据6,7,8,8,9,10,则该组数据的方差是____.‎ ‎【答案】‎ ‎14.是展开式中的常数项为________.‎ ‎【答案】‎ ‎15. 已知是奇函数,且当时, .若,则_______.‎ 答案:‎ 解答:‎ ‎∵,‎ ‎∴. ‎ ‎16.设函数f(x)=ex+ae−x(a为常数).若f(x)是R上的增函数,则a的取值范围是___________.‎ ‎【答案】 .‎ 三、解答题,第17题10分,第18-22每题12分,共70分。‎ ‎17.(10分)某种商品价格与该商品日需求量之间的几组对照数据如下表:‎ 价格x(元/kg)‎ ‎10‎ ‎15‎ ‎20‎ ‎25‎ ‎30‎ 日需求量y(kg)‎ ‎11‎ ‎10‎ ‎8‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎(1)求y关于x的线性回归方程;‎ ‎(2)当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为多少?‎ 参考公式:‎ 解:(1)=(10+15+20+25+30)=20,=(11+10+8+6+5)=8,∴==-=-0.32,‎ ‎∴=-=8-(-0.32)×20=14.4,所求线性回归方程为=-0.32x+14.4.‎ ‎(2)由(1)知当x=40时,=-0.32×40+14.4=1.6,故当价格x=40元/kg时,日需求量y的预测值为1.6 kg.‎ ‎18.(12分)高铁、网购、移动支付和共享单车被誉为中国的“新四大发明”,彰显出中国式创新的强劲活力.某移动支付公司从某市移动支付用户中随机抽取100人进行调查,得到如下数据:‎ 每周移动 支付次数 ‎1次 ‎2次 ‎3次 ‎4次 ‎5次 ‎6次及 以上 男 ‎10‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎15‎ 女 ‎5‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎30‎ 总计 ‎15‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎45‎ ‎(1)把每周使用移动支付6次及以上的用户称为“移动支付达人”,按分层抽样的方法,从参与调查的“移动支付达人”中,随机抽取6人,求抽取的6人中,男、女用户各多少人;‎ ‎(2)把每周使用移动支付超过3次的用户称为“移动支付活跃用户”,根据表格中的数据完成下列2×2列联表,问:能否有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关?‎ 非移动支付 活跃用户 移动支付 活跃用户 总计 男 女 总计 附参照表:‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.01‎ k0‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ 参考公式:K2=,其中n=a+b+c+d 解:(1)因为6×=2,6-2=4,‎ 所以抽取的6人中,男用户2人,女用户4人.‎ ‎(2)由表格中数据可得2×2列联表如下:‎ 非移动支付 活跃用户 移动支付 活跃用户 总计 男 ‎25‎ ‎20‎ ‎45‎ 女 ‎15‎ ‎40‎ ‎55‎ 总计 ‎40‎ ‎60‎ ‎100‎ 所以K2的观测值k=≈8.249>6.635,‎ 所以有99%的把握认为“移动支付活跃用户”与性别有关.‎ ‎19.(12分)设甲、乙两位同学上学期间,每天7:30之前到校的概率均为.假定甲、乙两位同学到校情况互不影响,且任一同学每天到校情况相互独立.‎ ‎(Ⅰ)用表示甲同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数,求随机变量的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅱ)设为事件“上学期间的三天中,甲同学在7:30之前到校的天数比乙同学在7:30之前到校的天数恰好多2”,求事件发生的概率.‎ ‎【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)‎ ‎【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立,且每天7:30之前到校的概率均为,‎ 故,从面.‎ 所以,随机变量的分布列为:‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎(Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30之前到校的天数为,则.‎ 且.‎ 由题意知事件与互斥,‎ 且事件与,事件与均相互独立,‎ 从而由(Ⅰ)知:‎ ‎.‎ ‎20.(12分)已知函数 (1) 若a=b=1,求函数的最值;‎ (2) 讨论的单调性 解析:‎ (1) 略 (2) 当时,,此时在单调递增.‎ ‚当时,令,解得或,令,解得.‎ 此时在单调递增,在单调递减.‎ ƒ当时,令,解得或,令,解得.‎ 此时在单调递增,在单调递减.‎ 综上可得,当时,在单调递增.‎ 当时,在单调递增,在单调递减.‎ 当时,在单调递增,在单调递减.‎ ‎21.(12分)改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:‎ 交付金额(元)‎ 支付方式 ‎(0,1000]‎ ‎(1000,2000]‎ 大于2000‎ 仅使用A ‎18人 ‎9人 ‎3人 仅使用B ‎10人 ‎14人 ‎1人 ‎(Ⅰ)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率;‎ ‎(Ⅱ)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望;‎ ‎(Ⅲ)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.‎ ‎【答案】(Ⅰ) ;‎ ‎【详解】(Ⅰ)由题意可知,两种支付方式都是用的人数为:人,则:‎ 该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.‎ ‎(Ⅱ)由题意可知,‎ 仅使用A支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占,‎ 仅使用B支付方法的学生中,金额不大于1000的人数占,金额大于1000的人数占,‎ 且X可能的取值为0,1,2.‎ ‎,,,‎ X分布列为:‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ 其数学期望:.‎ ‎(Ⅲ)我们不认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化.理由如下:‎ 随机事件在一次随机实验中是否发生是随机的,是不能预知的,随着试验次数的增多,频率越来越稳定于概率。‎ 学校是一个相对消费稳定的地方,每个学生根据自己的实际情况每个月的消费应该相对固定,出现题中这种现象可能是发生了“小概率事件”.‎ ‎22.(12分)已知函数.‎ ‎(Ⅰ)求曲线的斜率为1的切线方程;‎ ‎(Ⅱ)当时,求证:;‎ ‎【答案】(Ⅰ)和.‎ ‎(Ⅱ)见解析;‎ ‎(Ⅲ).‎ ‎【详解】(Ⅰ),令得或者.‎ 当时,,此时切线方程为,即;‎ 当时,,此时切线方程为,即;‎ 综上可得所求切线方程为和.‎ ‎(Ⅱ)设,,令得或者,所以当时,,为增函数;当时,,为减函数;当时,,为增函数;‎ 而,所以,即;‎ 同理令,可求其最小值为,所以,即,综上可得.‎