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- 2021-07-01 发布
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[基础题组练]
1.从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a,b组成复数a+bi,其中虚数的个数是( )
A.30 B.42
C.36 D.35
解析:选C.因为a+bi为虚数,所以b≠0,即b有6种取法,a有6种取法,由分步乘法计数原理知可以组成6×6=36个虚数.
2.用10元、5元和1元来支付20元钱的书款,不同的支付方法有( )
A.3种 B.5种
C.9种 D.12种
解析:选C.只用一种币值有2张10元,4张5元,20张1元,共3种;
用两种币值的有1张10元,2张5元;1张10元,10张1元;3张5元,5张1元;2张5元,10张1元;1张5元,15张1元,共5种;
用三种币值的有1张10元,1张5元,5张1元,共1种.
由分类加法计数原理得,共有3+5+1=9(种).
3.某电话局的电话号码为139××××××××,若前六位固定,最后五位数字是由6或8组成的,则这样的电话号码的个数为( )
A.20 B.25
C.32 D.60
解析:选C.依据题意知,最后五位数字由6或8组成,可分5步完成,每一步有2种方法,根据分步乘法计数原理,符合题意的电话号码的个数为25=32.
4.用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数,其中偶数的个数为( )
A.24 B.48
C.60 D.72
解析:选B.先排个位,再排十位,百位,千位,万位,依次有2,4,3,2,1种排法,由分步乘法计数原理知偶数的个数为2×4×3×2×1=48.
5.已知两条异面直线a,b上分别有5个点和8个点,则这13个点可以确定不同的平面个数为( )
A.40 B.16
C.13 D.10
解析:选C.分两类情况讨论:第1类,直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面;第2类,直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面.根据分类加法计数原理知,共可以确定8+5=13个不同的平面.
6.如图所示,小圆圈表示网络的结点,结点之间的线段表示它们有网线相连,连线标注的数字,表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量,现从结点A向结点B传递信息,信息可以从分开不同的路线同时传递,则单位时间内传递的最大信息量为( )
A.26 B.20
C.24 D.19
解析:选D.因为信息可以从分开不同的路线同时传递,由分类加法计数原理,完成从A向B传递有四种办法:12→5→3;12→6→4;12→6→7;12→8→6.故单位时间内传递的最大信息量为四条不同网线上信息量的和:3+4+6+6=19.
7.如图所示,使电路接通,开关不同的开闭方式有( )
A.11种 B.20种
C.21种 D.12种
解析:选C.电路接通,则每一个并联电路中至少有一个开关闭合,再利用乘法原理求解.两个开关并联的电路接通方式有3种,即每个开关单独接通共2种.两个开关都接通有一种,所以共有3种,同理三个开关并联的电路接通方式有7种,由乘法原理可知不同的闭合方式有3×7=21(种).
8.某市汽车牌照号码可以上网自编,但规定从左到右第二个号码只能从字母B,C,D中选择,其他四个号码可以从0~9这十个数字中选择(数字可以重复),有车主第一个号码(从左到右)只想在数字3,5,6,8,9中选择,其他号码只想在1,3,6,9中选择,则他的车牌号码可选的所有可能情况有( )
A.180种 B.360种
C.720种 D.960种
解析:选D.按照车主的要求,从左到右第一个号码有5种选法,第二个号码有3种选法,其余三个号码各有4种选法.因此车牌号码可选的所有可能情况有5×3×4×4×4=960(种).
9.直线l:+=1中,a∈{1,3,5,7},b∈{2,4,6,8}.若l与坐标轴围成的三角形的面积不小于10,则这样的直线的条数为( )
A.6 B.7
C.8 D.16
解析:选B.l与坐标轴围成的三角形的面积为
S=ab≥10,即ab≥20.
当a=1时,不满足;当a=3时,b=8,即1条.
当a∈{5,7}时,b∈{4,6,8},此时a的取法有2种,b的取法有3种,则直线l的条数为2×3=6.故满足条件的直线的条数为1+6=7.故选B.
10.在如图所示的五个区域中,现有四种颜色可供选择,要求每一个区域只涂一种颜色,相邻区域所涂颜色不同,则不同的涂色方法种数为( )
A.24种 B.48种
C.72种 D.96种
解析:选C.分两种情况:
(1)A,C不同色,先涂A有4种,C有3种,E有2种,B,D有1种,有4×3×2=24(种).
(2)A,C同色,先涂A有4种,E有3种,C有1种,B,D各有2种,有4×3×2×2=48(种).
综上两种情况,不同的涂色方法共有48+24=72(种).
11.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有________种(用数字作答).
解析:第一步,先选出文娱委员,因为甲、乙不能担任,所以从剩下的3人中选1人当文娱委员,有3种选法.
第二步,从剩下的4人中选学习委员和体育委员,又可分两步进行:先选学习委员有4种选法,再选体育委员有3种选法.由分步乘法计数原理可得,不同的选法共有3×4×3=36(种).
答案:36
12.乘积(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展开后共有________项.
解析:由(a+b+c)(d+e+f+h)(i+j+k+l+m)展开式各项都是从每个因式中选一个字母的乘积,由分步乘法计数原理可得其展开式共有3×4×5=60(项).
答案:60
13.在平面直角坐标系内,点P(a,b)的坐标满足a≠b,且a,b都是集合{1,2,3,4,5,6}中的元素.又点P到原点的距离|OP|≥5,则这样的点P的个数为________.
解析:依题意可知:
当a=1时,b=5,6,两种情况;
当a=2时,b=5,6,两种情况;
当a=3时,b=4,5,6,三种情况;
当a=4时,b=3,5,6,三种情况;
当a=5或6时,b各有五种情况.
所以共有2+2+3+3+5+5=20种情况.
答案:20
14.如图所示,在A,B间有四个焊接点,若焊接点脱落,则可能导致电路不通.今发现A,B之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有________种.
解析:采用排除法.各个焊点有2种情况,所以四个焊点共有24种可能,其中能使线路通的情况有:1,4同时通,且2和3至少有一个通时线路才能通,共有3种可能,故不通的情况共有24-3=13种情况.
答案:13
15.将4个不同小球放入3个不同的盒子,其中每个盒子都不空的放法共有________种.
解析:必有一个盒子放2个小球,将4个小球分3组,其中有2个小球为一组,另外2个小球为两组,共有6种分组方法.然后,每一种分组的小球放入3个不同盒子,按分步乘法计数原理,有3×2×1种放法,共有6×(3×2×1)=36(种)放法.
答案:36
16.如果一条直线与一个平面垂直,那么称此直线与平面构成一个“正交线面对”.在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是________.
解析:分类讨论:第1类,对于每一条棱,都可以与两个侧面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有2×12=24个;第2类,对于每一条面对角线,都可以与一个对角面构成“正交线面对”,这样的“正交线面对”有12个.所以正方体中“正交线面对”共有24+12=36(个).
答案:36
17.已知集合A={最大边长为7,且三边长均为正整数的三角形},则集合A的真子集共有________个.
解析:另外两个边长用x,y(x,y∈N*)表示,且不妨设1≤x≤y≤7,要构成三角形,必须x+y≥8.
当y取7时,x可取1,2,3,…,7,有7个三角形;
当y取6时,x可取2,3,…,6,有5个三角形;
当y取5时,x可取3,4,5,有3个三角形.
当y取4时,x只能取4,只有1个三角形.
所以所求三角形的个数为7+5+3+1=16.其真子集共有(216-1)个.
答案:216-1
[综合题组练]
1.有一项活动需在3名老师,6名男同学和8名女同学中选人参加,
(1)若只需一人参加,有多少种不同选法?
(2)若需一名老师,一名学生参加,有多少种不同选法?
(3)若需老师、男同学、女同学各一人参加,有多少种不同选法?
解:(1)只需一人参加,可按老师、男同学、女同学分三类各自有3,6,8种方法,总方法数为3+6+8=17(种).
(2)分两步,先选老师共3种选法,再选学生共6+8=14种选法,由分步乘法计数原理知,总方法数为3×14=42(种).
(3)老师、男、女同学各一人可分三步,每步方法依次为3,6,8种,由分步乘法计数原理知,总方法数为3×6×8=144(种).
2.同室四人各写一张贺年卡,先集中起来,然后每人从中各拿1张别人送出的贺年卡,则4张贺年卡不同的分配方式有几种?
解:设四个人为甲、乙、丙、丁,依次写的贺年卡为A,B,C,D.
第一步:甲有3种拿法,即拿了B,C或D.
第二步:对甲的每一种拿法,不妨设拿了乙的B卡,则乙也有3种拿法,即拿A,C或D,有3种拿法.
若乙拿了甲的A卡,则丙、丁只能是丙拿D,丁拿C.
若乙拿了丙的C卡,则丙只能拿D卡,丁拿A卡.
若乙拿了丁的D卡,则丁只能拿C卡,丙拿A卡.
所以分配方式共有3×3=9(种).
3.由数字1,2,3,4,
(1)可组成多少个三位数?
(2)可组成多少个没有重复数字的三位数?
(3)可组成多少个没有重复数字,且百位数字大于十位数字,十位数字大于个位数字的三位数?
解:(1)百位数共有4种排法;十位数共有4种排法;个位数共有4种排法,根据分步乘法计数原理知共可组成43=64个三位数.
(2)百位上共有4种排法;十位上共有3种排法;个位上共有2种排法,由分步乘法计数原理知共可排成没有重复数字的三位数4×3×2=24(个).
(3)排出的三位数分别是432、431、421、321,共4个.
4.已知集合M={-3,-2,-1,0,1,2},若a,b,c∈M,则:
(1)y=ax2+bx+c可以表示多少个不同的二次函数?
(2)y=ax2+bx+c可以表示多少个图象开口向上的二次函数?
解:(1)y=ax2+bx+c表示二次函数时,a的取值有5种情况,b的取值有6种情况,c的取值有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示5×6×6=180个不同的二次函数.
(2)当y=ax2+bx+c的图象开口向上时,a的取值有2种情况,b,c的取值均有6种情况,因此y=ax2+bx+c可以表示2×6×6=72个图象开口向上的二次函数.