数学卷·2017届上海市宝山区高三下学期期中教学质量监测（2017 9页

宝山2016学年第二学期高三数学教学质量检测试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.‎ ‎1.若集合，，则____________‎ ‎2.已知复数满足（为虚数单位），则____________‎ ‎3.函数的最小正周期是____________‎ ‎4.已知双曲线的一条渐近线方程，则____________‎ ‎5.若圆柱的侧面展开图是边长为4的正方形，则圆柱的体积为____________‎ ‎6.已知满足，则的最大值是____________‎ ‎7.直线（为参数）与曲线（为参数）的交点个数是____________‎ ‎8.已知函数的反函数是，则____________‎ ‎9.设多项式的展开式中项的系数为，则____________‎ ‎10.生产零件需要经过两道工序，在第一、第二道工序中产生的概率分别为0.01和，每道工序产生废品相互独立，若经过两道工序得到的零件不是废品的概率是0.9603，则____________‎ ‎11.设向量，为曲线上的一个动点，若点到直线的距离大于恒成立，则实数的最大值为____________‎ ‎12.设为1,2,,10的一个排列，则满足对任意正整数，且，‎ 都有成立的不同排列的个数为____________‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.‎ ‎13.设，则“”是“且”的（ ）‎ A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎14.如图，为正方体中与的交点，则在该正方体各个面上的射影可能是（ ）‎ A. ‎①②③④ B.①③ C. ①④ D.②④ ‎ ‎15.如图，在同一平面内，点位于两平行直线同侧，且到的距离分别为1，3.点分别在上，，则的最大值为（ ）‎ A. 15 B. 12 C. 10 D. 9‎ ‎16.若存在与正数，使成立，则称“函数在处存在距离为的对称点”，设，若对于任意，总存在正数，使得“函数在处存在距离为的对称点”，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.‎ ‎17.（本题满分14分，第1小题满分8分，第2小题满分6分）‎ ‎ 如图，在正方体中，、分别是线段、的中点.‎ ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求直线与平面所成角的大小.‎ ‎18.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ ‎ 已知抛物线，其准线方程为，直线过点且与抛物线交于、两点，为坐标原点.‎ ‎（1）求抛物线方程，并证明：的值与直线倾斜角的大小无关；‎ ‎（2）若为抛物线上的动点，记的最小值为函数，求的解析式.‎ ‎19.（本题满分14分，第1小题6分，第2小题8分）‎ ‎ 对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：①在内是单调函数；②当定义域是时，的值域也是则称函数是区间上的“保值函数”.‎ ‎ （1）求证：函数不是定义域上的“保值函数”；‎ ‎ （2）已知是区间上的“保值函数”，求的取值范围.‎ ‎20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）‎ ‎ 数列中，已知对任意都成立，数列的前项和为.（这里均为实数）‎ ‎（1）若是等差数列，求；‎ ‎（2）若，求;‎ ‎（3）是否存在实数，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）‎ ‎ 设若存在常数，使得对任意，均有，则称为有界集合，同时称为集合的上界.‎ ‎（1）设、，试判断、是否为有界集合，并说明理由；‎ ‎（2）已知，记.若，，且为有界集合，求的值及的取值范围；‎ ‎（3）设、、均为正数，将、、中的最小数记为，是否存在正数，使得为有界集合、、均为正数}的上界，若存在，试求的最小值；若不存在，请说明理由.‎ 参考答案 ‎1. 2.1 3. 4.3 5. 5.1 6. 3 7. 2 8. ‎ ‎9. 10. 0.03 11. 12.512‎ ‎13. B 14. C 15.A 16.A ‎17. （1） （2）‎ ‎18.（1），证明略 ‎（2）‎ ‎19. （1）证明略 ‎（2）或 ‎20. （1）‎ ‎（2）‎ ‎（3）‎ ‎21.（1）为有界集合，上界为1；不是有界集合 ‎（2），‎ ‎（3）‎ 解析：（2）设，则 ‎∵，则 且 若为有界集合，则设其上界为，既有 ‎∴‎ 若恒成立，则恒成立，又 ‎∴，∴‎ 设 ‎（i），则 ‎∴‎ 记，则当时，‎ ‎∴‎ ‎∴，若恒成立，则，矛盾。‎ ‎（ii），由（i）可知，满足题意。‎ ‎（iii），同样有 若，则由（i）可知，，不可能。‎ 若，则，则由（ii）可知，，满足题意。‎ 若，则，则 则存在，使得，故存在，使得 以此类推，存在，使得 ‎∴此时，若，则可取，满足题意。‎ 综上所述，‎ ‎（3）不失一般性，不妨假设 ‎（i）若。设，‎ 此时，‎ ‎∴‎ 猜测，即 ‎（ii）若，即时，‎ 此时 即 ‎（iii）若，即时，‎ 此时 即 综上所述，，∴集合的上界存在，‎