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- 2021-07-01 发布
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2016-2017学年江西省铅山一中、弋阳一中联考高二(上)期中数学试卷(理科)
一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)
1.若a>b,则下列命题成立的是( )
A.ac>bc B. C. D.ac2≥bc2
2.已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0},集合N={x|lgx≥0},则M∩N=( )
A.{x|﹣2≤x≤4} B.{x|x≥1} C.{x|1≤x≤4} D.{x|x≥﹣2}
3.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为( )
A.﹣3 B.0 C.1 D.3
4.如图是求样本x1,x2,…,x10平均数的程序框图,图中空白框中应填入的内容为( )
A.S=S+xn B.S=S+ C.S=S+n D.S=S+
5.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
6.某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人.用分层抽样的方法从中抽取40人,则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )
A.8,14,18 B.9,13,18 C.10,14,16 D.9,14,17
7.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁﹣18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如图.根据图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )
A.20 B.30 C.40 D.50
8.登山族为了了解某山高y(km)与气温x(°C)之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表如下:
气温(0C)
18
13
10
﹣1
山高 (km)
24
34
38
64
由表中数据,得到线性回归方程=﹣2x+(∈R),由此估计山高为72km处气温的度数是( )
A.﹣10 B.﹣8 C.﹣6 D.﹣4
9.若a,b,c>0且,则2a+b+c的最小值为( )
A. B. C. D.
10.函数f(x)=sinx(x∈[0,π]),在区间[0,π]上任取一点x0,则f(x0)≥的概率为( )
A. B. C. D.
11.已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中,然后从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为( )
A. B. C. D.
12.设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( )
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种
二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
13.设关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a﹣b= .
14.如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为l5,乙组数据的平均数为16.8,则x+y的值为 .
15.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使所有字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 种(用数字作答)
16.在(1+x+x2)(1﹣x)6的展开式中,x6的系数为 .
三、解答题(本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分)
17.解不等式:0≤x2﹣x﹣2≤4.
18.(1)已知x<0,求函数的最大值
(2)设x>﹣1,求函数的最小值.
19.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
20.先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.
(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率;
(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.
21.某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人,这5人站成一排留影.
(1)求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种?
(2)求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?
(3)求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种?
22.设不等式组所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点)的个数为f(n)(n∈N*).
(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;
(2)设bn=2nf(n),Sn为{bn}的前n项和,求Sn;
(3)记,若对于一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围.
2016-2017学年江西省铅山一中、弋阳一中联考高二(上)期中数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)
1.若a>b,则下列命题成立的是( )
A.ac>bc B. C. D.ac2≥bc2
【考点】不等式的基本性质.
【分析】通过给变量取特殊值,举反例可得A、B、C都不正确,对于a>b,由于c2≥0,故有 ac2≥bc2,故D成立.
【解答】解:∵a>b,故当c=0时,ac=bc=0,故A不成立.
当b=0 时,显然B、C不成立.
对于a>b,由于c2≥0,故有 ac2≥bc2,故D成立.
故选D.
2.已知集合M={x|x2﹣2x﹣8≤0},集合N={x|lgx≥0},则M∩N=( )
A.{x|﹣2≤x≤4} B.{x|x≥1} C.{x|1≤x≤4} D.{x|x≥﹣2}
【考点】交集及其运算.
【分析】求出M中不等式的解集确定出M,求出N中x的范围确定出N,找出M与N的交集即可.
【解答】解:由M中不等式变形得:(x﹣4)(x+2)≤0,
解得:﹣2≤x≤4,即M=[﹣2,4],
由N中lgx≥0,得到x≥1,即N=[1,+∞),
则M∩N=[1,4],
故选:C.
3.已知变量x,y满足约束条件,则z=x﹣2y的最大值为( )
A.﹣3 B.0 C.1 D.3
【考点】简单线性规划.
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域,得如图的△ABC及其内部,再将目标函数z=x﹣2y对应的直线进行平移,可得当x=1,y=0时,z取得最大值1.
【解答】解:作出不等式组表示的平面区域,
得到如图的△ABC及其内部,其中A(﹣1,1),B(2,1),C(1,0)
设z=F(x,y)=x﹣2y,将直线l:z=x﹣2y进行平移,
当l经过点C时,目标函数z达到最大值
∴z最大值=F(1,0)=1
故选:C
4.如图是求样本x1,x2,…,x10平均数的程序框图,图中空白框中应填入的内容为( )
A.S=S+xn B.S=S+ C.S=S+n D.S=S+
【考点】设计程序框图解决实际问题.
【分析】由题目要求可知:该程序的作用是求样本x1,x2,…,x10平均数,循环体的功能是累加各样本的值,故应为:S=S+xn
【解答】解:由题目要求可知:该程序的作用是求样本x1,x2,…,x10平均数,
由于“输出”的前一步是“”,
故循环体的功能是累加各样本的值,
故应为:S=S+xn
故选A
5.从编号为0,1,2,…,79的80件产品中,采用系统抽样的方法抽取容量为5的一个样本,若编号为42的产品在样本中,则该样本中产品的最小编号为( )
A.8 B.10 C.12 D.16
【考点】系统抽样方法.
【分析】根据系统抽样的定义求出样本间隔即可.
【解答】解:样本间隔为80÷5=16,
∵42=16×2+10,
∴该样本中产品的最小编号为10,
故选:B
6.某学校有体育特长生25人,美术特长生35人,音乐特长生40人.用分层抽样的方法从中抽取40人,则抽取的体育特长生、美术特长生、音乐特长生的人数分别为( )
A.8,14,18 B.9,13,18 C.10,14,16 D.9,14,17
【考点】分层抽样方法.
【分析】根据所给的三种人数得到总体的人数,因为要抽40个人,得到每个个体被抽到的概率,用体育特长生,美术特长生,音乐特长生的人数乘以每个个体被抽到的概率.得到结果.
【解答】解:∵25+35+40=100,
用分层抽样的方法从中抽取40人,
∴每个个体被抽到的概率是P===0.4,
∴体育特长生25人应抽25×0.4=10,
美术特长生35人应抽35×0.4=14,
音乐特长生40人应抽40×0.4=16,
故选C.
7.为了了解某地区高三学生的身体发育情况,抽查了该地区100名年龄为17.5岁﹣18岁的男生体重(kg),得到频率分布直方图如图.根据图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是( )
A.20 B.30 C.40 D.50
【考点】频率分布直方图.
【分析】由频率直方图中的小长方形的面积即为该范围内的频率,先求出体重在〔56.5,64.5〕的频率,再由样本的容量求人数.
【解答】解:由频率直方图得,体重在〔56.5,64.5〕的频率为0.03×2+0.05×2+0.05×2+0.07×2=0.4,
∴所求人数为100×0.4=40.
故选C.
8.登山族为了了解某山高y(km)与气温x(°C)之间的关系,随机统计了4次山高与相应的气温,并制作了对照表如下:
气温(0C)
18
13
10
﹣1
山高 (km)
24
34
38
64
由表中数据,得到线性回归方程=﹣2x+(∈R),由此估计山高为72km处气温的度数是( )
A.﹣10 B.﹣8 C.﹣6 D.﹣4
【考点】线性回归方程.
【分析】求出==10, ==40,代入回归方程,求出,将=72代入,即可求得x的估计值.
【解答】解:由题意, ==10, ==40,
代入到线性回归方程=﹣2x+,可得=60,
∴=﹣2x+60,
∴由=﹣2x+60=72,可得x=﹣6,
故选:C.
9.若a,b,c>0且,则2a+b+c的最小值为( )
A. B. C. D.
【考点】基本不等式在最值问题中的应用.
【分析】已知条件中出现bc,待求式子中有b+c,引导找b,c的不等式
【解答】解:若a,b,c>0且,
所以,
∴,
则(2a+b+c)≥,
故选项为D.
10.函数f(x)=sinx(x∈[0,π]),在区间[0,π]上任取一点x0,则f(x0)≥的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】几何概型.
【分析】求出不等式f(x0)≥的解,利用几何概型的概率公式即可得到结论.
【解答】解:若f(x)≥,即sinx≥,解得,
则在区间[0,π]上任取一点x0,则f(x0)≥的概率P=,
故选:A
11.已知甲袋中有1个黄球和2个红球,乙袋中有2个黄球和2个红球,现随机地从甲袋中取出两个球放入乙袋中,然后从乙袋中随机取出1个球,则从乙袋中取出红球的概率为( )
A. B. C. D.
【考点】古典概型及其概率计算公式.
【分析】根据题意,分2种情况讨论:①、从甲袋中取出两个红球,②、从甲袋中取出1个红球1个黄球;每种情况下先分析红球取出球的概率,再计算从乙袋中取出红球的概率,由相互独立事件概率的乘法公式可得每种情况下的概率,进而由分类计数原理,计算可得答案.
【解答】解:根据题意,分2种情况讨论:
①、从甲袋中取出两个红球,其概率为,此时乙袋中中有有2个黄球和4个红球,则从乙袋中取出红球的概率为,
则这种情况下的概率为×=,
②、从甲袋中取出1个红球和一个黄球,其概率为×=,此时乙袋中中有有3个黄球和3个红球,则从乙袋中取出红球的概率为=,
则这种情况下的概率为×=,
则从乙袋中取出红球的概率为=
故选C
12.设集合I={1,2,3,4,5}.选择I的两个非空子集A和B,要使B中最小的数大于A中最大的数,则不同的选择方法共有( )
A.50种 B.49种 C.48种 D.47种
【考点】组合及组合数公式.
【分析】解法一,根据题意,按A、B的元素数目不同,分9种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案;
解法二,根据题意,B中最小的数大于A中最大的数,则集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,按A、B中元素数目这和的情况,分4种情况讨论,分别计算其选法种数,进而相加可得答案.
【解答】解:
解法一,若集合A、B中分别有一个元素,则选法种数有C52=10种;
若集合A中有一个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C53=10种;
若集合A中有一个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C54=5种;
若集合A中有一个元素,集合B中有四个元素,则选法种数有C55=1种;
若集合A中有两个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C53=10种;
若集合A中有两个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C54=5种;
若集合A中有两个元素,集合B中有三个元素,则选法种数有C55=1种;
若集合A中有三个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C54=5种;
若集合A中有三个元素,集合B中有两个元素,则选法种数有C55=1种;
若集合A中有四个元素,集合B中有一个元素,则选法种数有C55=1种;
总计有49种,选B.
解法二:集合A、B中没有相同的元素,且都不是空集,
从5个元素中选出2个元素,有C52=10种选法,小的给A集合,大的给B集合;
从5个元素中选出3个元素,有C53=10种选法,再分成1、2两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有2×10=20种方法;
从5个元素中选出4个元素,有C54=5种选法,再分成1、3;2、2;3、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有3×5=15种方法;
从5个元素中选出5个元素,有C55=1种选法,再分成1、4;2、3;3、2;4、1两组,较小元素的一组给A集合,较大元素的一组的给B集合,共有4×1=4种方法;
总计为10+20+15+4=49种方法.选B.
二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)
13.设关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,则a﹣b= ﹣1 .
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】利用一元二次不等式的解集与相应的一元二次方程的根的关系、根与系数的关系即可得出.
【解答】解:∵关于x的一元二次不等式ax2+bx+1>0的解集为,
∴,解得a=﹣3,b=﹣2,
∴a﹣b=﹣1.
故答案为﹣1.
14.如图方茎叶图记录了甲、乙两组各5名学生在一次英语听力测试中的成绩(单位:分).已知甲组数据的中位数为l5,乙组数据的平均数为16.8,则x+y的值为 13 .
【考点】茎叶图.
【分析】根据茎叶图与题意,求出x、y的值,即得x+y的值.
【解答】解:根据茎叶图知,甲组数据是9,12,10+x,24,27;它的中位数为l5,∴x=5;
乙组数据的平均数为=16.8,∴y=8;
∴x+y=5+8=13.
故答案为:13.
15.将2个a和2个b共4个字母填在如图所示的16个小方格内,每个小方格内至多填1个字母,若使所有字母既不同行也不同列,则不同的填法共有 144 种(用数字作答)
【考点】排列、组合及简单计数问题.
【分析】根据题意,将第一个字母填入有16种方法,进而计算第二个、第三个、第四个字母的填法数目,由分步计数原理计算可得答案.
【解答】解:假设先填第一个a,有种,
此时有一行一列不能填任何字母了,那么填第二个A有种,
两个a填好后有重复情况,故要除以2;
同理,经过以上步骤后有两行两列不能填任何字母了,
那么填第一个b则有,填第二个B时只有一行一列可以填了,有,
由于两个B有重复情况,故除以2;
.
故答案为:144.
16.在(1+x+x2)(1﹣x)6的展开式中,x6的系数为 10 .
【考点】二项式定理的应用.
【分析】在(1+x+x2)(1﹣x)6的展开式中,化简表达式,求解x的幂指数等于3,即可求得展开式中x6的系数.
【解答】解:(1+x+x2)(1﹣x)6=(1﹣x3)(1﹣x)5,(1﹣x)5展开式的通项公式为 Tr+1=C5r•(﹣1)r•xr,
可得(1+x+x2)(1﹣x)6的展开式中,x6的系数为﹣C53•(﹣1)3=10.
故答案为:10.
三、解答题(本题共6道小题,第17题10分,第18题12分,第19题12分,第20题12分,第21题12分,第22题12分,共70分)
17.解不等式:0≤x2﹣x﹣2≤4.
【考点】一元二次不等式的解法.
【分析】将不等式0≤x2﹣x﹣2≤4看成两个不等式x2﹣x﹣2≥0,x2﹣x﹣2≤4,分别根据一元二次不等式进行求解,最后求交集即可.
【解答】解:由x2﹣x﹣2≥0得x≥2或x≤﹣1①…
由x2﹣x﹣2≤4得x2﹣x﹣6≤0
∴﹣2≤x≤3②…
由①、②得2≤x≤3或﹣2≤x≤﹣1…
∴不等式的解集为[﹣2,﹣1]∪[2,3]…
18.(1)已知x<0,求函数的最大值
(2)设x>﹣1,求函数的最小值.
【考点】基本不等式.
【分析】由题意整体变形,凑出可用基本不等式的形式,由基本不等式可得.
【解答】解:(1)∵x<0,∴,
当且仅当﹣x=即x=﹣1时取得等号,∴函数的最大值为﹣1;
(2)∵x>﹣1,∴x+1>0,∴,
当且仅当x+1=即x=1时,上式取“=”,∴y最小值为9.
19.某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个,生产一个卫兵需5分钟,生产一个骑兵需7分钟,生产一个伞兵需4分钟,已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元,生产一个骑兵可获利润6元,生产一个伞兵可获利润3元.
(1)用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润W(元);
(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大,最大利润是多少?
【考点】简单线性规划的应用.
【分析】(1)依题意,每天生产的伞兵的个数为100﹣x﹣y,根据题意即可得出每天的利润;
(2)先根据题意列出约束条件,再根据约束条件画出可行域,设W=2x+3y+300,再利用T的几何意义求最值,只需求出直线0=2x+3y过可行域内的点A时,从而得到W值即可.
【解答】解:(1)依题意每天生产的伞兵个数为100﹣x﹣y,
所以利润W=5x+6y+3
=2x+3y+300(x,y∈N).
(2)约束条件为
整理得
目标函数为W=2x+3y+300,
如图所示,作出可行域.
初始直线l0:2x+3y=0,平移初始直线经过点A时,W有最大值.
由得最优解为A(50,50),
所以Wmax=550(元).
答:每天生产卫兵50个,骑兵50个,伞兵0个时利润最大,为550(元)
20.先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b.
(1)求直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1相切的概率;
(2)将a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的概率.
【考点】直线与圆的位置关系;几何概型.
【分析】本题考查的知识点是古典概型,我们要列出一枚骰子连掷两次先后出现的点数所有的情况个数
(1)再根求出满足条件直线ax+by+5=0与圆x2+y2=1的事件个数,然后代入古典概型公式即可求解;
(2)再根求出满足条件a,b,5的值分别作为三条线段的长,求这三条线段能围成等腰三角形的事件个数,然后代入古典概型公式即可求解.
【解答】解:(1)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.
∵直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的充要条件是
即:a2+b2=25,由于a,b∈{1,2,3,4,5,6}
∴满足条件的情况只有a=3,b=4,c=5;或a=4,b=3,c=5两种情况.
∴直线ax+by+c=0与圆x2+y2=1相切的概率是
(2)先后2次抛掷一枚骰子,将得到的点数分别记为a,b,事件总数为6×6=36.
∵三角形的一边长为5
∴当a=1时,b=5,(1,5,5)1种
当a=2时,b=5,(2,5,5)1种
当a=3时,b=3,5,(3,3,5),(3,5,5)2种
当a=4时,b=4,5,(4,4,5),(4,5,5)2种
当a=5时,b=1,2,3,4,5,6,(5,1,5),(5,2,5),(5,3,5),
(5,4,5),(5,5,5),(5,6,5)6种
当a=6时,b=5,6,(6,5,5),(6,6,5)2种
故满足条件的不同情况共有14种
故三条线段能围成不同的等腰三角形的概率为.
21.某校高2010级数学培优学习小组有男生3人女生2人,这5人站成一排留影.
(1)求其中的甲乙两人必须相邻的站法有多少种?
(2)求其中的甲乙两人不相邻的站法有多少种?
(3)求甲不站最左端且乙不站最右端的站法有多少种?
【考点】排列、组合的实际应用.
【分析】(1)根据题意甲乙两人必须相邻的站法,把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种,且甲、乙的位置还可以互换根据分步计数原理,得到结果.
(2)除甲乙两人外其余3人的排列数为A33,而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻;且甲、乙位置可以互换.故有C42A22种排列方式
(3)若甲站最右端,则乙与其余三人可任意排,则此时的排法数为A44种;若甲不站最右端,则先从中间3个位置中选一个给甲,再从除最右端的省余的3个位置给乙,其余的三个人任意排,则此时的排法数为C31C31A33种;
【解答】解:(1)把甲乙捆绑成一个整体与其余3人当着4个人作全排列有A44种,
且甲、乙的位置还可以互换
∴不同站法有A44•A22=48种.
(2)除甲乙两人外其余3人的排列数为A33,
而甲乙二人应插其余3人排好的空才不相邻;
且甲、乙位置可以互换.故有C42A22种排列方式.
∴不同站法有A33•C42A22=72种.
(3)优先考虑甲:
若甲站最右端,则乙与其余三人可任意排,则此时的排法数为A44种;
若甲不站最右端,则先从中间3个位置中选一个给甲,
再从除最右端的省余的3个位置给
乙,其余的三个人任意排,则此时的排法数为C31C31A33种;
∴不同站法有A44+C31C31A33=78种.
22.设不等式组所表示的平面区域为Dn,记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点)的个数为f(n)(n∈N*).
(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;
(2)设bn=2nf(n),Sn为{bn}的前n项和,求Sn;
(3)记,若对于一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围.
【考点】二元一次不等式(组)与平面区域;数列的函数特性;数列与函数的综合.
【分析】(1)据可行域,求出当x=1,x=2时,可行域中的整数点,分别求出f(1),f(2),f(n).
(2)由于数列的通项是一个等差数列与一个等比数列的积构成的新数列,利用错位相减的方法求出数列的和.
(3)求出,据它的符号判断出Tn的单调性,求出Tn的最大值,令m大于等于最大值即可.
【解答】解:画出的可行域
(1)f(1)=2+1=3
f(2)=3+2+1=6
当x=1时,y=2n,可取格点2n个;当x=2时,y=n,可取格点n个
∴f(n)=3n
(2)由题意知:bn=3n•2n
Sn=3•21+6•22+9•23+…+3(n﹣1)•2n﹣1+3n•2n
∴2Sn=3•22+6•23+…+3(n﹣1)•2n+3n•2n+1
∴﹣Sn=3•21+3•22+3•23+…3•2n﹣3n•2n+1
=3(2+22+…+2n)﹣3n•2n+1
=3•
=3(2n+1﹣2)﹣3nn+1
∴﹣Sn=(3﹣3n)2n+1﹣6
Sn=6+(3n﹣3)2n+1
(3)
∴T1<T2=T3>T4>…>Tn
故Tn的最大值是T2=T3=
∴m≥.
2016年12月10日