数学理卷·2018届河南省新野县第一高级中学高二下学期第一次周考（2017-02） 7页

‎2016—2017学年高二下期第一次周考 数学（理科）‎ 一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分） ‎ ‎1.下列表述正确的是 （　　）‎ ‎①归纳推理是由部分到整体的推理；②归纳推理是由一般到一般的推理；‎ ‎③演绎推理是由一般到特殊的推理；④类比推理是由特殊到一般的推理；‎ ‎⑤类比推理是由特殊到特殊的推理. ‎ A．①②③； B．②③④； C．②④⑤； D．①③⑤.‎ ‎2.某汽车启动阶段的位移函数为s(t)=,则汽车在t=2时的瞬时速度为 （　　）‎ A．-4 B．‎2 ‎ C．4 D．-2‎ ‎3.已知函数，（为常数）求 （　　）‎ A. B. ‎ C. D.‎ ‎4.用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是 （　　）‎ ‎(A)假设三内角都不大于60度； (B) 假设三内角都大于60度；‎ ‎ (C) 假设三内角至多有一个大于60度； (D) 假设三内角至多有两个大于60度。‎ ‎5. （　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.过点（－1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为 （　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎7.某个命题与正整数n有关，如果当时命题成立，那么可推得当 时 命题也成立. 现已知当时该命题不成立，那么可推 （　　）‎ ‎ A．当n=6时该命题不成立 B．当n=6时该命题成立 ‎ C．当n=8时该命题不成立 D．当n=8时该命题成立 ‎8.用数学归纳法证明“”（）‎ 时，从 “”时，左边应增添的式子是 （　　）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎9.P为双曲线上一点,为焦点,如果 ,则双曲线的离心率为 （　　 ） ‎ ‎ A. B. C. D..‎ ‎10．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 若直线与双曲线的右支交于不同的两点，那么的取值范围是（　　）‎ A．（） B.（） C.（） D.（）‎ ‎12.数列中，a1=1，Sn表示前n项和，且Sn，Sn+1，2S1成等差数列，通过计算S1，S2，S3，猜想当n≥1时，Sn= （　　）‎ ‎ A． B． C． D．1－‎ 二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分.)‎ ‎13．已知椭圆的一条弦的斜率为3，它与直线的交点恰为这条弦的中点，则点的坐标为 ． ‎ ‎14．已知点P是抛物线= 4x上的动点，A(1,0)，B(4,2),则| PA|+| PB|的最小值是________.‎ ‎15.曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为 ．‎ ‎16.设平面内有ｎ条直线，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点．若用表示这ｎ条直线交点的个数，则= ；当ｎ＞４时，＝ （用含n的数学表达式表示）‎ 三、解答题：(本大题共6题，共70分。) ‎ ‎17. （10分）设函数，已知是奇函数，求、的值。‎ ‎18. （12分）（用分析法证明）已知，且，求证：．‎ ‎19. （12分）用反证法证明：若a,b,c,d为实数，且a+b=1,c+d=1，ac+bd>1,则四个数中至少有一个是负数。‎ ‎20. （12分）如图，棱锥P—ABCD的底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BD=.‎ ‎（1）求证：BD⊥平面PAC；‎ ‎（2）求点C到平面PBD的距离.‎ ‎21．（12分）‎ 已知数列{an}满足Sn＋an＝2n＋1, ‎ ‎ ① 写出a1, a2, a3,并推测an的表达式；‎ ‎② 用数学归纳法证明所得的结论。‎ ‎22．（12分）在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，－)、(0，)的距离之和等于4，设点P的轨迹为C.‎ ‎（1）写出C的方程；‎ ‎（2）设直线y＝kx＋1与C交于A、B两点．k为何值时⊥？此时||的值是多少？‎ ‎2016—2017学年高二下期第一次周考 数学（理科）‎ 一、选择题：1-5DCCBA 6-10DABCD 11-12DB 二、填空题：13. 14. 5 ‎ ‎ 15. 16. 5 ‎ 三、解答题17. ∵，‎ ‎∴＝是一个奇函数，‎ 所以得，由奇函数定义得。‎ ‎18. 证明: ∵， ∴要证 只需证 ‎ ‎∵ 即证 即证 也即证 又∵ ∴ ， ‎ ‎∴成立。 ∴原不等式成立。‎ ‎19.（答案见优化设计章末检测第一章18题）‎ ‎20.解：方法一：‎ 证：（1）在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ‎ ‎∴AB=2，ABCD为正方形，因此BD⊥AC. ‎ ‎∵PA⊥平面ABCD，BDÌ平面ABCD，‎ ‎∴BD⊥PA .又∵PA∩AC=A ∴BD⊥平面PAC. ‎ ‎ ‎ ‎（2）∵PA=AB=AD=2，∴PB=PD=BD= ，‎ 设C到面PBD的距离为d，‎ 由，有， ‎ 即，得 ‎ 方法二：证：（1）建立如图所示的直角坐标系，‎ 则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0， 2）.………………2分 在Rt△BAD中，AD=2，BD=， ∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），‎ ‎∴ ‎ ‎∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，‎ ‎∴BD⊥平面PAC. …………6分 ‎ ‎ ‎ ‎（2）由（Ⅰ）得，设平面PBD的法向量为，则，即，∴x=y=z，‎ 故可取为. ……………10分 ∵，‎ ‎∴C到面PBD的距离为 …………………12分 ‎21．解：（1） a1＝, a2＝, a3＝, 猜测 an＝2－ ‎ ‎ ‎ ‎（2）①由（1）已得当n＝1时，命题成立； ‎ ‎②假设n＝k时,命题成立，即 ak＝2－, ‎ 当n＝k＋1时, a1＋a2＋……＋ak＋ak＋1＋ak＋1＝2(k＋1)＋1, ‎ 且a1＋a2＋……＋ak＝2k＋1－ak ‎ ∴2k＋1－ak＋2ak＋1＝2(k＋1)＋1＝2k＋3, ‎ ‎ ∴2ak＋1＝2＋2－, ak＋1＝2－, ‎ 即当n＝k＋1时,命题成立. ‎ 根据①②得n∈N+ , an＝2－都成立 ‎ ‎22.解：（1）设P(x，y)，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以(0，－)，(0，)为焦点，长半轴为2的椭圆．它的短半轴b＝＝1.‎ 故曲线C的方程为x2＋＝1.‎ ‎（2）设A(x1，y1)，B(x2，y2)，其坐标满足 消去y并整理得(k2＋4)x2＋2kx－3＝0，‎ 故x1＋x2＝－，x1x2＝－.⊥，‎ 即x1x2＋y1y2＝0.而y1y2＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1，‎ 于是x1x2＋y1y2＝－－－＋1＝.‎ 所以k＝±时，x1x2＋y1y2＝0，即⊥.‎ 当k＝±时，x1＋x2＝∓，x1x2＝－.‎ ‎||＝＝，‎ 而(x2－x1)2＝(x2＋x1)2－4x1x2＝＋4×＝＝，‎ 所以||＝.‎