【数学】河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研试题（文）（解析版） 16页

河北省衡水中学2020届高三下学期第九次调研数学试题（文）‎ 一、选择题 ‎1.若全集，集合，，则为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵集合 ‎∴或 ‎∴‎ ‎∵集合 ‎∴‎ 故选B.‎ ‎2.已知复数，则下列结论正确的是（ ）‎ A. 的虚部为 B. ‎ C. 的共轭复数 D. 为纯虚数 ‎【答案】D ‎【解析】,的虚部为,,,.‎ 故选:D.‎ ‎3.中国诗词大会的播出引发了全民读书热，某学校语文老师在班里开展了一次诗词默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如右图，若规定得分不低于85分的学生得到“诗词达人”的称号，低于85分且不低于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号.根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（　　）‎ A. 6 B. ‎5 ‎C. 4 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】由茎叶图可得，低于85分且不低于70分的学生共有16人，‎ 所以获得“诗词能手”的称号的概率为： ‎ 所以分层抽样抽选10名学生，获得“诗词能手”称号的人数为： ‎ 故选C ‎4.已知向量，，若，则（ ）‎ A. 2 B. ‎4 ‎C. 6 D. 8‎ ‎【答案】C ‎【解析】,‎ 由,可得,解得,‎ 则,‎ 故选:C.‎ ‎5.已知，，，则的大小关系为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】，‎ ‎，‎ ‎，故，‎ 所以．‎ 故选A．‎ ‎6.如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点的最短路线的长为（ ）‎ A 12 B. ‎13 ‎C. D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】将正三棱柱沿侧棱展开,再拼接一次,其侧面展开图如图所示，‎ 在展开图中,最短距离是六个矩形对角线的连线的长度,也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值.‎ 由已知求得矩形的长等于,宽等于5,由勾股定理.‎ 故选:C.‎ ‎7.若数列的前项和为，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，‎ 令 ‎，可得为等比数列，设其公比为 ‎，‎ ‎，故选C项.‎ ‎8.若双曲线的右顶点到一条渐近线的距离为，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. 3 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】设双曲线的右顶点为,一条渐近线方程为,即,由题意可得,则,由可得所以.‎ 故选:C.‎ ‎9.我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设的三个内角所对的边分别为，面积为，则“三斜求积”公式为，若,，则用“三斜求积”公式求得的面积为（ ）‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】D ‎【解析】，，,因为，‎ 所以，，从而的面积为.‎ 故选:D ‎10.将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，则函数在上为增函数的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】将一骰子抛掷两次，所得向上点数分别为和，基本事件总数，‎ 若函数在上为增函数，则，‎ ‎36个基本事件中满足的有：‎ ‎（4，1），（5，1），（5，2），（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），（6，4），（6，5），共9个，‎ ‎∴函数在上为增函数包含的基本事件的个数，‎ ‎∴函数在上为增函数的概率.‎ 故选：B ‎11.已知函数的图象过两点，在内有且只有两个极值点，且极大值点小于极小值点，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】在内有且只有两个极值点，则，，‎ 又，‎ ‎，所以或；‎ 当时，，解得，‎ 若时，在内极大值点为，极小值点为，‎ 满足题意；‎ 当时，，解得，‎ 若时，在内极小值点为，极大值点为，不符合题意.‎ 故选：C ‎12.已知，设函数存在极大值点，且对于的任意可能取值，恒有极大值，则下列结论中正确的是（ ）‎ A. 存在，使得 B. 存在，使得 C. 的最大值为 D. 的最大值为 ‎【答案】D ‎【解析】由题意得，函数的定义域为，.‎ 若函数存在极大值点，则有解，即有两个不等的正根，则，得.‎ 由可得.‎ 分析易得的极大值点为，且.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴的极大值为.‎ 设，则的极大值恒小于0等价于恒小于0.‎ ‎∵在上在恒成立 ‎∴在上单调递增 ‎∴，即.‎ ‎∴.‎ 故选：D.‎ 二、填空题 ‎13.若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为，由二倍角公式得到 ，故得到 ‎ ‎ ．‎ 故答案为．‎ ‎14.已知实数满足约束条件，则的取值范围为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】画出表示的可行域,如图:‎ ‎ ‎ 解得将变形为平移直线由图可知当直线经过点时,直线在轴上的截距最小,有最小值为,当直线经过点时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为所以的取值范围是.‎ 故答案为:.‎ ‎15.已知四棱锥的所有顶点都在同一球面上，底面是正方形且和球心在同一平面内，当此四棱锥体积取得最大值时，其表面积等于，则球的体积等于___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意,当此四棱锥体积取得最大值时,四棱锥为正四棱锥,‎ 该四棱锥的表面积等于,设球的半径为,则如图,‎ 该四棱锥的底面边长为,则有.‎ ‎.‎ 球的体积是.‎ 故答案为:.‎ ‎16.双曲线的左、右焦点分别为，焦距为，以右顶点为圆心，半径为的圆与过的直线相切于点，设与的交点为，若，则双曲线的离心率为___________.‎ ‎【答案】2.‎ ‎【解析】因为以右顶点为圆心，半径为的圆过的直线相切与点，A=，故可知直线的倾斜角为，‎ 设直线方程为 ‎ 设点P，根据条件知N点是PQ的中点，故得到，因为，故得到 ‎ 故答案为2.‎ 三、解答题（第17～21题为必考题，第22、23为选考题） ‎ ‎17.设数列满足：，且（），.‎ ‎（1）求的通项公式：‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ 解：（1）由()可知数列是等差数列,设公差为,‎ 因为,所以,解得,‎ 所以的通项公式为:();‎ ‎（2由（1）知,‎ 所以数列的前项和:‎ ‎.‎ ‎18.如图，在四棱锥中，ABCD为菱形，平面ABCD，连接AC，BD交于点O，，，E是棱PC上的动点，连接DE.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）当面积的最小值是4时，求此时点E到底面ABCD的距离.‎ ‎（1）证明：∵四边形ABCD是菱形，∴.‎ ‎∵平面ABCD，平面ABCD，‎ ‎∴.‎ 又，∴平面PAC.‎ 又平面BDE，‎ ‎∴平面平面PAC.‎ ‎（2）解：如图（1），连接OE，由（1）知平面PAC，平面PAC.‎ ‎∴.‎ ‎∵，由，得.‎ ‎∵当时，OE取到最小值1.此时.‎ 作交AC于H，∵平面ABCD，∴平面ABCD，‎ 如图（2），由，得点E到底面ABCD的距离.‎ ‎ ‎ ‎ （1） （2）‎ ‎19.某城市先后采用甲、乙两种方案治理空气污染各一年，各自随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API的检测数据进行分析，若空气质量指数值在[0，300]内为合格，否则为不合格.表1是甲方案检测数据样本的频数分布表，如图是乙方案检测数据样本的频率分布直方图.‎ 表1：‎ API值 ‎[0，50]‎ ‎（50，100]‎ ‎（100，150]‎ ‎（150，200]‎ ‎（200，250]‎ ‎（250，300]‎ 大于300‎ 天数 ‎9‎ ‎13‎ ‎19‎ ‎30‎ ‎14‎ ‎11‎ ‎4‎ ‎（1）将频率视为概率，求乙方案样本的频率分布直方图中的值，以及乙方案样本的空气质量不合格天数；‎ ‎（2）求乙方案样木的中位数；‎ ‎（3）填写下面2×2列联表（如表2），并根据列联表判断是否有90%的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关.‎ 表2：‎ 甲方案 乙方案 合计 合格天数 ‎_______‎ ‎_______‎ ‎_______‎ 不合格天数 ‎_______‎ ‎_______‎ ‎_______‎ 合计 ‎_______‎ ‎_______‎ ‎_______‎ 附：‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ 解：（1）由频率分布直方图知，‎ ‎，‎ 解得，‎ ‎∴乙方案样本中不合格天数为（天）；‎ ‎（2）根据图1，得，‎ 又，∵，‎ ‎∴中位数在（150，200]之间，设中位数为,‎ 则，解得,‎ ‎∴乙方案样本的中位数为170；‎ ‎（3）由题意填写列联表如下，‎ 甲方案 乙方案 合计 合格天数 ‎96‎ ‎89‎ ‎185‎ 不合格天数 ‎4‎ ‎11‎ ‎15‎ 合计 ‎100‎ ‎100‎ ‎200‎ 由表中数据，计算，‎ ‎，‎ ‎∴有90%的把握认为该城市的空气质量指数值与两种方案的选择有关.‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，直线与以原点为圆心、椭圆的短半轴长为半径的圆相切．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）是否存在直线与椭圆交于两点，交轴于点，使成立？若存在，求出实数取值范围；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）由已知得，‎ 解方程组得，‎ ‎∴椭圆的方程为，‎ ‎（2）假设存在这样的直线，‎ 由已知可知直线的斜率存在，设直线方程为，‎ 由得，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 由得，即，即，‎ 故，代入（*）式解得或．‎ ‎21.设函数（其中，m，n为常数）‎ ‎（1）当时，对有恒成立，求实数n的取值范围；‎ ‎（2）若曲线在处的切线方程为，函数的零点为，求所有满足的整数k的和．‎ 解：（1）当时，，，‎ 当时，，，对任意的都成立，‎ 在单调递增，，‎ 要使得对有恒成立，则，解得：，‎ 即取值范围为.‎ ‎（2），，解得：，‎ 又，，，，‎ 显然不是的零点，可化为，‎ 令，则，在，上单调递增.‎ 又，，，，‎ 在，上各有个零点，在，上各有个零点，‎ 整数的取值为或，整数的所有取值的和为.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，已知曲线：（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点，直线交曲线于，两点，求的值.‎ 解：（1）已知曲线:(为参数),‎ 则曲线的普通方程,‎ 直线的极坐标方程为,‎ 则的直角坐标方程;‎ ‎（2）直线的参数方程为(为参数)‎ 代入曲线:,‎ 化简得,‎ 设,对应的参数分别为,,‎ 则,,‎ 所以.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎（1）当a=2时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设函数.当时，，求的取值范围.‎ 解：（1）当时，.‎ 解不等式，得.‎ 因此，的解集为.‎ ‎（2）当时，，‎ 当时等号成立，‎ 所以当时，等价于. ①‎ 当时，①等价于，无解.‎ 当时，①等价于，解得.‎ 所以的取值范围是.‎