数学（理）卷·2018届河南省洛阳市高二下学期期中考试（2017-04） 8页

洛阳市2016-2017学年第二学期期中考试 高二数学试卷（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.复平面内，复数对应的点为，则复数的共轭复数的虚部为（ ）‎ A.1 B. C. D.‎ ‎2.曲线在点处的切线方程为（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎3.有一段演绎推理是这样的：“若函数的图象在区间上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值；已知函数在上是一条连续不断的曲线，且，则在点处取得极值”.对于以上推理，说法正确的是（ ）‎ A.大前提错误，结论错误 B.小前提错误，结论错误 C.推理形式错误，结论错误 D.该段演绎推理正确，结论正确 ‎4.函数的图象不可能是（ ）‎ ‎5.“”是“函数有极值”的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎6.由曲线，直线，所围成的平面图形的面积为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎7.已知，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8.一物体沿直线做运动，其速度和时间的关系为，在到时间段内该物体行进的路程和位移分别是（ ）‎ A.， B.， C.， D.，‎ ‎9.函数的图象如图所示，设是的导函数，若，下列各式成立的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎10.已知函数在定义域内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知是定义在上的函数，导函数满足对于恒成立，则（ ）‎ A.， B.，‎ C.， D.，‎ ‎12.对于函数，，下列说法错误的是（ ）‎ A.函数在区间是单调函数 B.函数只有1个极值点 C.函数在区间有极大值 D.函数有最小值，而无最大值 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.函数在区间上的平均变化率为 ．‎ ‎14.定积分 ．‎ ‎15.六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体，在平行四边形中（如图甲），有，利用类比推理，在平行六面体中（如图乙）， ．‎ ‎16.已知，为正实数，直线与曲线相切，则的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知复数是纯虚数（）.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若复数，求.‎ ‎18.证明：若，，，则，，至少有一个不大于.‎ ‎19.如图，在海岸线由抛物线和线段组成的小岛上建立一个矩形的直升机降落场，要求矩形降落场的边与小岛海岸线重合，点，在抛物线上，其中直线是抛物线的对称轴，米，海岸线米，求降落场面积最大值及此时降落场的边长.‎ ‎20.已知数列的通项公式，其前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的极值；‎ ‎（2）若函数在定义域内单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎22.已知函数有两个零点，.‎ ‎（1）求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：.‎ 洛阳市2016-2017学年第二学期期中考试 高二数学试卷参考答案（理）‎ 一、选择题 ‎1-5:BBCAB 6-10:DCADB 11、12：CC 二、填空题 ‎13.2 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）因为复数是纯虚数.‎ ‎∴，‎ 于是，∴.‎ ‎（2）由（1）知，，‎ ‎∴.‎ ‎∴.‎ ‎18.证明：假设，，都大于，即，，.‎ 所以，‎ 又因为，，，，‎ 同理，，‎ 三式相加，‎ 这与相矛盾，‎ 所以假设不成立，即，，至少有一个不大于.‎ ‎19.解：如图，以为坐标原点，为轴，为轴 建立平面直角坐标系，易得抛物线方程为.‎ 设，则，‎ 矩形面积，‎ 所以，‎ 令，解得或.‎ 当，；，；‎ 所以当时，，‎ 此时矩形边长米，米.‎ ‎20.解：（1）∵，∴数列是等差数列，且，‎ 于是.‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，，，，‎ 于是猜想.‎ 下证明猜想：‎ ‎①当时，，猜想成立；‎ ‎②假设当时，猜想成立，即，‎ 那么，当时，‎ 所以，时，猜想成立.‎ 由①②可知，对任意都成立.‎ ‎21.解：（1）若，则，函数的定义域为，‎ ‎，‎ 令，即：，解得.‎ 当时，，单调递减；‎ 当时，，单调递增.‎ 所以，在处取得极小值，而无极大值.‎ ‎(2)若在定义域内单调递减，则在恒成立，即对任意的恒成立.‎ 令，则，‎ 解，得，‎ 当时，，单调递减；‎ 当，，单调递减，‎ 所以，在上有最大值，‎ 于是，的取值范围为. ‎ ‎22.解：（1）函数的定义域为，‎ 因为有两个零点，，‎ 所以函数与函数有两个不同的交点，‎ ‎，令，‎ 解得，‎ 当时，，单调递增；当时，，单调递减，‎ 所以，‎ 并且当，，于是的图象大致为：‎ 函数与函数有两个不同的交点时，的取值范围是.‎ ‎（2）由已知，即，∴，∴，‎ 两边同取以为底的对数，得，‎ 要证明，则只需证明，即，‎ 不妨设，令，则，‎ 即证对恒成立，‎ 令，则，‎ ‎∴在区间单调递增，‎ ‎∴，即，，从而成立.‎