数学卷·2018届辽宁省大连十一中高二上学期期中数学试卷 （解析版） 16页

‎2016-2017学年辽宁省大连十一中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．不等式组的解集为（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}‎ ‎2．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1‎ ‎4．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（　　）‎ A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）‎ ‎5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．14‎ ‎6．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎7．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎8．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．下列说法正确的是（　　）‎ A．若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题 B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”‎ C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”‎ ‎10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎11．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）‎ A．± B．± C．±1 D．±‎ ‎12．设F1、F2是椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF1|=3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填答题纸上）‎ ‎13．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=　　．‎ ‎14．已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为　　．‎ ‎15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=　　．‎ ‎16．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请答在答题纸上，不要答在试卷上）‎ ‎17．已知c＞0，设命题p：函数y=cx为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．‎ ‎18．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，‎ ‎（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求b的值；‎ ‎（Ⅱ）过F1的直线l与E相交于A、B两点，若|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，求|AB|．‎ ‎19．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；‎ ‎（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．‎ ‎20．已知直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）如果OA与OB垂直，求a的值．‎ ‎21．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点．‎ ‎22．椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．‎ ‎（1）求椭圆C2的方程；‎ ‎（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年辽宁省大连十一中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一．选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．不等式组的解集为（　　）‎ A．{x|﹣2＜x＜﹣1} B．{x|﹣1＜x＜0} C．{x|0＜x＜1} D．{x|x＞1}‎ ‎【考点】其他不等式的解法．‎ ‎【分析】解一元二次不等式、绝对值不等式，分别求出不等式组中每个不等式的解集，再取交集，即得所求．‎ ‎【解答】解：由不等式组可得，解得0＜x＜1，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．设a，b∈R，若p：a＜b，q：＜＜0，则p是q的（　　）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．‎ ‎【分析】根据不等式的基本性质，结合充要条件的定义，可得答案．‎ ‎【解答】解：当a＜b时，＜＜0不一定成立，故p是q的不充分条件；‎ 当＜＜0时，a＜b＜0，故p是q的必要条件，‎ 综上可得：p是q的必要不充分条件，‎ 故选：B ‎　‎ ‎3．下列双曲线中，渐近线方程为y=±2x的是（　　）‎ A．x2﹣=1 B．﹣y2=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y=±x，对选项一一判断即可得到答案．‎ ‎【解答】解：由双曲线方程﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为 y=±x，‎ 由A可得渐近线方程为y=±2x，‎ 由B可得渐近线方程为y=±x，‎ 由C可得渐近线方程为y=x，‎ 由D可得渐近线方程为y=x．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．已知p：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，q：∃x0∈N，；则下列选项中是假命题的为（　　）‎ A．p∧q B．p∧（￢q） C．p∨q D．p∨（￢q）‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，即可判断出命题p的真假．对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，即可判断出命题q的真假．‎ ‎【解答】解：对于m命题p：方程x2﹣mx﹣1=0，则△=m2+4＞0，因此：∀m∈R，x2﹣mx﹣1=0有解，可得：命题p是真命题．‎ 对于命题q：由x2﹣x﹣1≤0，解得≤x≤，因此存在x=0，1∈N，使得x2﹣x﹣1≤0成立，因此是真命题．‎ ‎∴下列选项中是假命题的为p∧（￢q），‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．设变量x，y满足约束条件则目标函数z=3x+y的最大值为（　　）‎ A．7 B．8 C．9 D．14‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值．‎ ‎【解答】解：作出不等式组对应的平面区域如图：（阴影部分）．‎ 由z=3x+y得y=﹣3x+z，‎ 平移直线y=﹣3x+z，‎ 由图象可知当直线y=﹣3x+z经过点A时，直线y=﹣3x+z的截距最大，‎ 此时z最大．‎ 由，解得，即A（2，3），‎ 代入目标函数z=3x+y得z=3×2+3=9．‎ 即目标函数z=3x+y的最大值为9．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎6．若实数a，b满足+=，则ab的最小值为（　　）‎ A． B．2 C．2 D．4‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】由+=，可判断a＞0，b＞0，然后利用基础不等式即可求解ab的最小值 ‎【解答】解：∵+=，‎ ‎∴a＞0，b＞0，‎ ‎∵（当且仅当b=2a时取等号），‎ ‎∴，‎ 解可得，ab，即ab的最小值为2，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．如果x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，那么实数k的取值范围是（　　）‎ A．（0，1） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，+∞）‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义求解．‎ ‎【解答】解：∵x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆，‎ 把x2+ky2=2转化为椭圆的标准方程，得，‎ ‎∴，解得0＜k＜1．‎ ‎∴实数k的取值范围是（0，1）．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎8．直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】设出椭圆的方程，求出直线的方程，利用已知条件列出方程，即可求解椭圆的离心率．‎ ‎【解答】解：设椭圆的方程为：，直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，‎ 则直线方程为：，椭圆中心到l的距离为其短轴长的，‎ 可得：，‎ ‎4=b2（），‎ ‎∴，‎ ‎=3，‎ ‎∴e==．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎9．下列说法正确的是（　　）‎ A．若命题p，￢q都是真命题，则命题“p∧q”为真命题 B．命题“若xy=0，则x=0或y=0”的否命题为“若xy≠0，则x≠0或y≠0”‎ C．“x=﹣1”是“x2﹣5x﹣6=0”的必要不充分条件 D．命题“∀x∈R，2x＞0”的否定是“∃x0∈R，2≤0”‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】A，命题￢q是真命题，则命题“q”为假； B，“或”的否定为”且“； C，”x=﹣1”能推出“x2﹣5x﹣6=0“； D，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论．‎ ‎【解答】解：对于A，命题￢q是真命题，则命题“q”为假，命题“p∧q”为假命题，故错； ‎ ‎ 对于 B，“或”的否定为”且“，故错； ‎ 对于C，”x=﹣1”能推出“x2﹣5x﹣6=0“，故错；‎ 对于 D，含有量词的命题的否定，先换量词，再否定结论，故正确．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最大值为（　　）‎ A．2 B．3 C．6 D．8‎ ‎【考点】椭圆的标准方程；平面向量数量积的含义与物理意义．‎ ‎【分析】先求出左焦点坐标F，设P（x0，y0），根据P（x0，y0）在椭圆上可得到x0、y0的关系式，表示出向量、，根据数量积的运算将x0、y0的关系式代入组成二次函数进而可确定答案．‎ ‎【解答】解：由题意，F（﹣1，0），设点P（x0，y0），则有，解得，‎ 因为，，‎ 所以=，‎ 此二次函数对应的抛物线的对称轴为x0=﹣2，‎ 因为﹣2≤x0≤2，所以当x0=2时，取得最大值，‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎11．设双曲线=1（a＞0，b＞0）的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F做A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点，若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线的斜率为（　　）‎ A．± B．± C．±1 D．±‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】求得A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），利用A1B⊥A2C，可得，求出a=b，即可得出 双曲线的渐近线的斜率．‎ ‎【解答】解：由题意，A1（﹣a，0），A2（a，0），B（c，），C（c，﹣），‎ ‎∵A1B⊥A2C，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=b，‎ ‎∴双曲线的渐近线的斜率为±1．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎12．设F1、F2是椭圆x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，过F1的直线l交椭圆于A，B两点，若|AF1|=3|F1B|，且AF2⊥x轴，则b2=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】求出（﹣c，﹣b2），代入椭圆方程，结合1=b2+c2，即可求出椭圆的方程．‎ ‎【解答】解：由题意，F1（﹣c，0），F2（c，0），AF2⊥x轴，∴|AF2|=b2，‎ ‎∴A点坐标为（c，b2），‎ 设B（x，y），则 ‎∵|AF1|=3|F1B|，‎ ‎∴（﹣c﹣c，﹣b2）=3（x+c，y）‎ ‎∴B（﹣c，﹣b2），‎ 代入椭圆方程可得=1，‎ ‎∵1=b2+c2，‎ ‎∴b2=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填答题纸上）‎ ‎13．已知F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．若△PF1F2的面积为9，则b=　3　．‎ ‎【考点】椭圆的应用；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】由已知得|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，，由此能得到b的值．‎ ‎【解答】解：∵F1、F2是椭圆C：（a＞b＞0）的两个焦点，P为椭圆C上一点，且．‎ ‎∴|PF1|+|PF2|=2a， =4c2，，‎ ‎∴（|PF1|+|PF2|）2=4c2+2|PF1||PF2|=4a2，‎ ‎∴36=4（a2﹣c2）=4b2，‎ ‎∴b=3．‎ 故答案为3．‎ ‎　‎ ‎14．已知x＞0，y＞0且+=1，求x+y的最小值为　16　．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．‎ ‎【解答】解：∵x＞0，y＞0，且+=1，‎ ‎∴x+y=（x+y）=10+≥10+2=16，当且仅当y=3x=12时取等号．‎ 故答案为：16．‎ ‎　‎ ‎15．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a=　2　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据双曲线渐近线在正方形的两个边，得到双曲线的渐近线互相垂直，即双曲线是等轴双曲线，结合等轴双曲线的性质进行求解即可．‎ ‎【解答】解：∵双曲线的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，‎ ‎∴渐近线互相垂直，则双曲线为等轴双曲线，即渐近线方程为y=±x，‎ 即a=b，‎ ‎∵正方形OABC的边长为2，‎ ‎∴OB=2，即c=2，‎ 则a2+b2=c2=8，‎ 即2a2=8，‎ 则a2=4，a=2，‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎16．如图，F1，F2是双曲线C：的左右焦点，过F1的直线l与C的左、右两支分别交于B，A两点．若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为　　．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，△ABF2为等边三角形，可求m的值，在△AF1F2中，由余弦定理，可得结论．‎ ‎【解答】解：设△ABF2的边长为m，则由双曲线的定义，可得|BF1|=m﹣2a ‎∴|AF1|=2m﹣2a ‎∵|AF1|﹣|AF2|=2a ‎∴2m﹣2a﹣m=2a ‎∴m=4a 在△AF1F2中，|AF1|=6a，|AF2|=4a，|F1F2|=2c，∠F1AF2=60°‎ ‎∴由余弦定理可得4c2=（6a）2+（4a）2﹣2•6a•4a•‎ ‎∴c=a ‎∴=‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请答在答题纸上，不要答在试卷上）‎ ‎17．已知c＞0，设命题p：函数y=cx为减函数；命题q：当x∈[，2]时，函数f（x）=x+＞恒成立，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求c的取值范围．‎ ‎【考点】复合命题的真假．‎ ‎【分析】根据指数函数的图象和性质可求出命题p为真命题时，c的取值范围，根据对勾函数的图象和性质，结合函数恒成立问题的解答思路，可求出命题q为真命题时，c的取值范围，进而根据p∨q为真命题，p∧q为假命题，可知p与q一真一假，分类讨论后，综合讨论结果，可得答案．‎ ‎【解答】解：∵若命题p：函数y=cx为减函数为真命题 则0＜c＜1‎ 当x∈[，2]时，函数f（x）=x+≥2，（当且仅当x=1时取等）‎ 若命题q为真命题，则＜2，结合c＞0可得c＞‎ ‎∵p∨q为真命题，p∧q为假命题，故p与q一真一假；‎ 当p真q假时，0＜c≤‎ 当p假q真时，c≥1‎ 故c的范围为（0，]∪[1，+∞）‎ ‎　‎ ‎18．设F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，‎ ‎（Ⅰ）若椭圆的离心率为，求b的值；‎ ‎（Ⅱ）过F1的直线l与E相交于A、B两点，若|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，求|AB|．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）由椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的离心率为，利用椭圆性质能求出b．‎ ‎（Ⅱ）由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，且2|AB|=|AF2|+|BF2|，由此能求出|AB|．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）∵椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的离心率为，‎ ‎∴=，‎ 解得b=．‎ ‎（Ⅱ）∵F1，F2分别是椭圆E：x2+=1（0＜b＜1）的左、右焦点，‎ 过F1的直线l与E相交于A、B两点，‎ ‎|AF2|，|AB|，|BF2|成等差数列，‎ ‎∴由椭圆定义知|AF2|+|AB|+|BF2|=4，‎ 又2|AB|=|AF2|+|BF2|，‎ 解得|AB|=．‎ ‎　‎ ‎19．设函数f（x）=mx2﹣mx﹣1．‎ ‎（1）若对一切实数x，f（x）＜0恒成立，求m的取值范围；‎ ‎（2）对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，求m的取值范围．‎ ‎【考点】函数恒成立问题；函数最值的应用．‎ ‎【分析】（1）若f（x）＜0恒成立，则m=0或，分别求出m的范围后，综合讨论结果，可得答案．‎ ‎（2）若对于x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，则恒成立，结合二次函数的图象和性质分类讨论，综合讨论结果，可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）当m=0时，f（x）=﹣1＜0恒成立，‎ 当m≠0时，若f（x）＜0恒成立，‎ 则 解得﹣4＜m＜0‎ 综上所述m的取值范围为（﹣4，0]﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎（2）要x∈[1，3]，f（x）＜﹣m+5恒成立，‎ 即恒成立．‎ 令﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ 当 m＞0时，g（x）是增函数，‎ 所以g（x）max=g（3）=7m﹣6＜0，‎ 解得．所以 当m=0时，﹣6＜0恒成立．‎ 当m＜0时，g（x）是减函数．‎ 所以g（x）max=g（1）=m﹣6＜0，‎ 解得m＜6．‎ 所以m＜0．‎ 综上所述，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣‎ ‎　‎ ‎20．已知直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1相交于A，B两点，O为坐标原点．‎ ‎（1）求a的取值范围；‎ ‎（2）如果OA与OB垂直，求a的值．‎ ‎【考点】直线与双曲线的位置关系；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）根据直线和双曲线的位置关系，即可求a的取值范围；‎ ‎（2）根据条件以AB为直径的圆过坐标原点，消去y，利用根与系数之间的关系即可求实数a的值．‎ ‎【解答】解：（1）由直线y=ax+1与双曲线3x2﹣y2=1，‎ 消去y，得（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，‎ 依题意得，‎ 即﹣＜a＜且a≠±．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∵（3﹣a2）x2﹣2ax﹣2=0，‎ ‎∴x1+x2=，x1x2=，‎ ‎∵以AB为直径的圆过坐标原点，‎ ‎∴OA⊥OB，‎ 即x1x2+y1y2=0，‎ 则x1x2+（ax1+1）（ax2+1）=0，‎ 则（a2+1）x1x2+a（x1+x2）+1=0，‎ ‎∴（a2+1）•+a•+1=0，‎ 解得a=±1，满足条件．‎ ‎　‎ ‎21．已知中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆M的离心率为，椭圆上异于长轴顶点的任意点A与左右两焦点F1，F2构成的三角形中面积的最大值为．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆M的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若A与C是椭圆M上关于x轴对称的两点，连接CF2与椭圆的另一交点为B，求证：直线AB与x轴交于定点．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设椭圆M的标准方程为： +=1（a＞b＞0），由题意知：，，a2=b2+c2，联立解出即可得出．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），AB：y=kx+m．代入，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．利用根与系数的关系、斜率计算公式可得m，k的关系式，即可得出．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设椭圆M的标准方程为： +=1（a＞b＞0），‎ 由题意知：，，a2=b2+c2，联立解得c=1，a=2，．‎ ‎∴椭圆M的标准方程是．‎ ‎（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x1，﹣y1），AB：y=kx+m．‎ 将y=kx+m，代入，可得（4k2+3）x2+8kmx+4m2﹣12=0．‎ 则，．‎ ‎∵B，C，F2共线，∴，即．‎ 整理得2kx1x2+（m﹣k）（x1+x2）﹣2m=0，‎ ‎∴，m=﹣4k．‎ AB：y=k（x﹣4），与x轴交于定点P（4，0）．‎ ‎　‎ ‎22．椭圆C1： +y2=1，椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），斜率为1的直线l与椭圆C2相交于A、B两点，线段AB的中点H的坐标为（2，﹣1）．‎ ‎（1）求椭圆C2的方程；‎ ‎（2）设P为椭圆C2上一点，点M、N在椭圆C1上，且=+2，则直线OM与直线ON的斜率之积是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求出椭圆C2的c，设出A（x1，y1），B（x2，y2），代入椭圆方程，运用点差法，结合中点坐标公式和直线的斜率公式，得到a，b的方程，解方程解得a，b，即可得到所求椭圆方程；‎ ‎（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），代入椭圆方程，再由向量的坐标相等，得到方程，代入整理，即可得到x1x2+2y1y2=0，再由斜率公式，即可得到斜率之积为定值．‎ ‎【解答】解：（1）椭圆C2： +=1（a＞b＞0）的一个焦点坐标为（，0），‎ 则c=，即有a2﹣b2=5，①‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），则=1， =1，‎ 两式相减的， +=0，‎ 由于x1+x2=4，y1+y2=﹣2，‎ 则有kAB===1，②‎ 由①②解得，a=，b=．‎ 则椭圆C2的方程为=1；‎ ‎（2）设P（x0，y0），M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则 x02+2y02=10，x12+2y12=2，x22+2y22=2，‎ 由=+2，‎ 可得：（x0，y0）=（x1，y1）+2（x2，y2），‎ ‎∴，‎ ‎∴x02+2y02=（x1+2x2）2+2（y1+2y2）2‎ ‎=x12+4x1x2+4x22+2y12+8y1y2+8y22=（x12+2y12）+4（x22+2y22）+4（x1x2+2y1y2）‎ ‎=10+4（x1x2+2y1y2）=10．‎ ‎∴x1x2+2y1y2=0，‎ ‎∴=﹣，即kOM•kON=﹣，‎ ‎∴直线OM与直线ON的斜率之积为定值，且定值为﹣．‎ ‎　‎