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麓山国际2017-2018-2高二第一次月考(理科)数学卷
命题人:高二理科数学组
姓名: 班级: 得分:
一.选择题(共15小题 15*3=45)
1.设集合A={x|x+1≤0},B={x∈Z|x2﹣3<0},则(∁RA)∩B=( )
A.(﹣1,2) B.{﹣1,0,1} C.(﹣1,1) D.{0,1}
2.已知复数Z=a+bi(a、b∈R),且满足,则复数Z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.已知直线m,n和平面α,若n⊥α,则“m⊂α”是“n⊥m”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是( )
A.2 B.4 C. D.
5.在(2++)12的展开式中,x5项的系数为( )
A.252 B.264 C.512 D.528
6.某高中在校学生2000人,为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表,其中a:b:c=2:3:5,
高一级
高二级
高三级
跑步
a
b
c
登山
x
y
Z
全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高二级参与跑步的学生中应抽取( )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
7.如图,在三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
8.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
9.若,,,则s1,s2,s3的大小关系为( )
A.s1<s2<s3 B.s2<s1<s3 C.s2<s3<s1 D.s3<s2<s1
10.下列命题中,真命题是( )
A.∃x∈R,使得sinx+cosx=2 B.∀x∈(0,π),有sinx>cosx
C.∃x∈R,使得x2+x=﹣2 D.∀x∈(0,+∞),有ex>1+x
11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1一定是锐角三角形,△A2B2C2一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
12.设P是双曲线上的点,F1,F2是其焦点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积是1,且a+b=3,则双曲线的离心率为( )
A..2 B. C. D.
13.若函数f(x)满足f′(x)﹣f(x)=2xex(e为自然对数的底数),f(0)=1,其中f′(x)为f(x)的导函数,则当x>0时,的取值范围是( )
A.(﹣∞,2] B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3]
14.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖,现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是( )
A. B. C. D.
15.已知A,B是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
二.填空题(共5小题 5*3=15)
16.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 .
17.在流程框图如图中,若记y=f(x),且x0满足f(f(x0))=2,求x0= .
18.已知[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3
S1=
S2=
S3=,…
依此规律,那么S10= .
19.设函数f(x)=x2﹣1,对任意x∈[3,+∞),f()﹣4m2f(x)≤f(x﹣1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是 .
20.在双曲线4x2﹣y2=1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA|•|OB|=15,其中O为双曲线的中心,则AB中点的轨迹方程是 .
三.解答题(共5小题 5*12=60)
21.已知命题α:x1和x2是方程的两个实根,不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立;命题β:不等式ax2+2x﹣1>0有解.
(Ⅰ)若命题α是真命题,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若命题α是真命题且命题β是假命题,求实数a的取值范围.
22.在一次抽奖活动中,有甲、乙等6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元,再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元,最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元.
(1)求甲和乙都不获奖的概率;
(2)设X是甲获奖的金额,求X的分布列和数学期望.
23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(1)求证:PD⊥PB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
24.设A,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,椭圆的长轴为4,且点(1,)在椭圆上,斜率为的直线l交椭圆C于P,Q两点(A,B位于直线l的两侧).
(1)求椭圆的方程;
(2)求四边形APBQ的面积的最大值.
25.已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m﹣1)x+1﹣m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设.
(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n﹣g(xn+1)≥2n﹣2(n∈N*).
麓山国际2017-2018-2高二第一次月考(理科)数学卷
参考答案与试题解析
一.选择题(共15小题)
1.设集合A={x|x+1≤0},B={x∈Z|x2﹣3<0},则(∁RA)∩B=( )
A.(﹣1,2) B.{﹣1,0, 1} C.(﹣1,1) D.{0,1}
【解答】解:A={x|x+1≤0}={x|x≤﹣1},B={x∈Z|x2﹣3<0}={﹣1,0,1},
则(∁RA)∩B={x|x>﹣1}∩{﹣1,0,1}={0,1},
故选:D
2.已知复数Z=a+bi(a、b∈R),且满足,则复数Z在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解答】解:∵,∴=,
即 + i=,∴=,=﹣,
∴a=7,b=﹣10,故复数Z在复平面内对应的点是(7,﹣10),
故选 D.
3.已知直线m,n和平面α,若n⊥α,则“m⊂α”是“n⊥m”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
【解答】解:∵n⊥α,若“m⊂α”,则“n⊥m”.反之不成立,可能m∥α.
∴n⊥α,则“m⊂α”是“n⊥m”的充分不必要条件.
故选:A.
4.某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是( )
A.2 B.4 C. D.
【解答】解:由三视图可得原几何体如图,
∵PO⊥底面ABC,∴平面PAC⊥底面ABC,
而BC⊥AC,
∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AC.
该几何体的高PO=2,底面ABC为边长为2的等腰直角三角形,∠ACB为直角.
所以该几何体中,直角三角形是底面ABC和侧面PBC.
PC=,
∴,,
∴该四面体的四个面中,直角三角形的面积和.
故选:C.
5.在(2++)12的展开式中,x5项的系数为( )
A.252 B.264 C.512 D.528
【解答】解:,
要出现x5项,则r=0,,
∴x5项的系数为.
故选:B.
6.某高中在校学生2000人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表,其中a:b:c=2:3:5,
高一级
高二级
高三级
跑步
a
b
c
登山
x
y
Z
全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高二级参与跑步的学生中应抽取( )
A.36人 B.60人 C.24人 D.30人
【解答】解:全校参与跑步有2000×=1200人,高二级参与跑步的学生=1200××=36.
故选A
7.如图,在三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是( )
A. B.﹣ C.﹣ D.
【解答】解:由题意:三棱锥ABCD中,连结ND,取ND 的中点为E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC.
∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,
∴AN=,ME=EN=,MC=2,
又∵EN⊥NC,∴EC==;
cos∠EMC===.
∴异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.
故选A.
8.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C.
D.
【解答】解:由函数y=xf′(x)的图象可知:
当x<﹣1时,xf′(x)<0,∴f′(x)>0,此时f(x)增
当﹣1<x<0时,xf′(x)>0,∴f′(x)<0,此时f(x)减
当0<x<1时,xf′(x)<0,∴f′(x)<0,此时f(x)减
当x>1时,xf′(x)>0,f′(x)>0,此时f(x)增.
故选:B.
9.若,,,则s1,s2,s3的大小关系为( )
A.s1<s2<s3 B.s2<s1<s3 C.s2<s3<s1 D.s3<s2<s1
【解答】解:由于=x3|=,
=lnx|=ln2,
=ex|=e2﹣e.
且ln2<<e2﹣e,则S2<S1<S3
故选B.
10.下列命题中,真命题是( )
A.∃x∈R,使得sinx+cosx=2 B.∀x∈(0,π),有sinx>cosx
C.∃x∈R,使得x2+x=﹣2 D.∀x∈(0,+∞),有ex>1+x
【解答】解:∵sinx+cosx=sin(x+)∈[,],2∉[,],故A“∃x∈R,使得sinx+cosx=2”不正确;
当x=时,sinx<cosx,故B“∀x∈(0,π),有sinx>cosx”,不正确;
∵方程x2+x=﹣2无解,故C“∃x∈R,使得x2+x=﹣2”,不正确;
令f(x)=ex﹣x﹣1,则f′(x)=ex﹣1,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0恒成立,即f(x)=ex﹣x﹣1在区间(0,+∞)上为增函数,
又∵f(0)=ex﹣x﹣1=0,∴D“∀x∈(0,+∞),有ex>1+x”正确;
故选D
11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1一定是锐角三角形,△A2B2C2一定是( )
A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定
【解答】解:因为三角形内角的正弦均为正值,
故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正,
所以△A1B1C1为锐角三角形.
由于,,,
若△A2B2C2是锐角三角形,
则,与三角形内角和为π弧度矛盾;
若△A2B2C2是直角三角形,不妨令A2=,则cosA1=sinA2=1,故A1=0,与△A1B1C1为锐角三角形矛盾;
故△A2B2C2是钝角三角形,
故选:C.
12.设P是双曲线上的点,F1,F2是其焦点,且PF1⊥PF2,若△
PF1F2的面积是1,且a+b=3,则双曲线的离心率为( )
A..2 B. C. D.
【解答】解:方法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,由题意得
由PF1⊥PF2,△PF1F2的面积是1,则mn=1,得mn=2,
∵Rt△PF1F2中,根据勾股定理得m2+n2=4c2
∴(m﹣n)2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4,
结合双曲线定义,得(m﹣n)2=4a2,
∴4c2﹣4=4a2,化简整理得c2﹣a2=1,即b2=1,
则b=1,由a+b=3,得a=2,所以c==,
∴该双曲线的离心率为e==,
故选C.
方法二:由双曲线的焦点三角形的面积公式S=,∠F1PF2=θ,
由PF1⊥PF2,则∠F1PF2=90°,
则△PF1F2的面积S==b2=1,由a+b=3,得a=2,所以c==,
∴该双曲线的离心率为e==,
故选C.
13.若函数f(x)满足f′(x)﹣f(x)=2xex(e为自然对数的底数),f(0)=1,其中f′(x)为f(x)的导函数,则当x>0时,的取值范围是( )
A.(﹣∞,2] B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3]
【解答】解:由题意,()′=2x,
∴=x2+b,
∴f(x)=(x2+b)ex,
∵f(0)=1,∴b=1,
∴f(x)=(x2+1)ex,
f′(x)=(x+1)2ex,
∴当x>0时,=1+≤2,当且仅当x=1时取等号,
∴当x>0时,的最大值为2,
x→+∞时,=1+→1,
故1<≤2,
故选:C.
14.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖,现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是( )
A. B. C. D.
【解答】解:由题意知首先做出摸一次中奖的概率,
从6个球中摸出2个,共有C62=15种结果,
两个球的号码之积是4的倍数,
共有(1,4)(3,4),(2,4)(2,6)(4,5)(4,6),
∴摸一次中奖的概率是=,
4个人摸奖.相当于发生4次试验,且每一次发生的概率是,
∴有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是×()3×=,
故选:B.
15.已知A,B是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为( )
A.1 B. C. D.2
【解答】解:设M(t,s),N(t,﹣s),t∈[0,a],s∈[0,b],A(﹣a,0),B(a,0),
k1=,k2=﹣
|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2
当且仅当=﹣,即t=0时等号成立.
因为A,B是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,M(t,s),N(t,﹣s),即s=b
∴|k1|+|k2|的最小值为,
∵椭圆的离心率为,∴,
∴a=2b
∴|k1|+|k2|的最小值为1
故选A.
二.填空题(共5小题)
16.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 .
【解答】解:如图,设两个半圆的交点为C,且以AO为直径的半圆以D为圆心,连结OC、CD
设OA=OB=2,则弓形OMC的面积为
S弓形OMC=S扇形OCD﹣SRt△DCO=•π•12﹣×1×1=﹣
所以空白部分面积为S空白=2(S半圆AO﹣2S弓形OMC)=2[•π•12﹣(﹣1)]=2
因此,两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OAB﹣S空白=π•22﹣2=π﹣2
可得在扇形OAB内随机取一点,此点取自阴影部分的概率为P===.
故答案为:.
17.在流程框图如图中,若记y=f(x),且x0满足f(f(x0))=2,求x0= .
【解答】解:由已知中的流程图可得,
该程序的功能是计算分段函数
y=f(x)=的函数值,
若f(f(x0))=2
则f(x0)=﹣
则2cosx0=﹣
解得x0=
故答案为:
18.已知[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3
S1=
S2=
S3=,…
依此规律,那么S10= 210 .
【解答】解:[x]表示不超过x的最大整数,
S1==1×3
S2==2×5
S3==3×7,
…
∴Sn=[]+[]+…+[]+[]=n×(2n+1),
∴S10=10×21=210,
故答案为:210
19.设函数f(x)=x2﹣1,对任意x∈[3,+∞),f()﹣4m2f(x)≤f(x﹣1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是 .
【解答】解:由题意,对任意x∈[3,+∞),f()﹣4m2f(x)≤f(x﹣1)+4f(m)恒成立,
即﹣1﹣4m2•(x2﹣1)≤(x﹣1)2﹣1+4m2﹣4恒成立,
∴≤﹣在[3,+∞)上恒成立.
∵﹣=﹣3,
∴当x=3时,﹣取得最小值0,
∴,
解得:m或m.
故答案为:.
20.在双曲线4x2﹣y2=1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA|•|OB|=15,其中O为双曲线的中心,则AB中点的轨迹方程是 ﹣=±1 .
【解答】解:∵双曲线4x2﹣y2=1,∴a2=,b2=1
∴渐近线y=2x,y=﹣2x,
设A(m,2m),B(n,﹣2n),由于|OA|•|OB|=15,
∴|OA|2•|OB|2=225,
∴(m2+4m2)(n2+4n2)=225
∴m2n2=9,
设AB中点M(x,y)
x=(m+n),y=m﹣n,
∴(2x)2﹣y2=(m+n)2﹣(m﹣n)2
4x2﹣y2=4mn
(4x2﹣y2)2=16m2n2=16×9,
∴4x2﹣y2=±12,即﹣=±1,
故答案为:﹣=±1.
三.解答题(共5小题)
21.已知命题α:x1和x2是方程的两个实根,不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立;命题β:不等式ax2+2x﹣1>0有解.
(Ⅰ)若命题α是真命题,求实数a的取值范围;
(Ⅱ)若命题α是真命题且命题β是假命题,求实数a的取值范围.
【解答】(本小题12分)
解:(Ⅰ)∵x1,x2是方程的两个实根,
∴,
∴,
∴当m∈[﹣1,1]时,|x1﹣x2|min=3,
由不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立,
可得a2﹣a﹣3≤3,∴﹣2≤a≤3,
∴命题α为真命题时,a的取值范围为﹣2≤a≤3;…(5分)
(Ⅱ)命题β:不等式ax2+2x﹣1>0有解,
①当a>0时,显然有解;
②当a=0时,2x﹣1>0有解;
③当a<0时,∵ax2+2x﹣1>0有解,
∴△=4+4a>0,∴﹣1<a<0,
从而命题β:不等式ax2+2x﹣1>0有解时,a>﹣1.
又命题β是假命题,∴a≤﹣1.
故命题α是真命题且命题β是假命题时,
a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1.…(12分)
22.在一次抽奖活动中,有甲、乙等6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元,再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元,最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元.
(1)求甲和乙都不获奖的概率;
(2)设X是甲获奖的金额,求X的分布列和数学期望.
【解答】(满分12分)
解:(1)设“甲和乙都不获奖”为事件A,…(1分)
则P(A)==,
∴甲和乙都不获奖的概率为.…(5分)
(2)X的所有可能的取值为0,400,600,1000,…(6分)
P(X=0)=,
P(X=400)=•=,
P(X=600)==,
P(X=1000)==,…(10分)
∴X的分布列为
X
0
400
600
1000
P
(11分)
∴E(X)==500.…(12分)
23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.
(1)求证:PD⊥PB;
(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;
(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.
【解答】证明:(1)∵面PAD⊥面ABCD=AD,AB⊥AD,
∴AB⊥面PAD,∴PD⊥AB
又∵PD⊥PA,∴PD⊥面PAB,
∴PD⊥PB.…(3分)
解:(2)取AD中点为O,连结CO,PO,
∵∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD
以O为原点,OC为x轴,OA为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,
则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),
则=(1,1,﹣1),=(0,﹣1,﹣1),=(2,0,﹣1),=(﹣2,﹣1,0).
设=(x,y,z)为面PDC的法向量,
则,取x=1,得=(1,﹣2,2),
设PB与面PCD所成角为θ,
则sinθ==,
∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.…(7分)
(3)假设存在M点使得BM∥面PCD,设,M(0,y',z'),
由(2)知A(0,1,0),P(0,0,1),,
B(1,1,0),,
∴,
∵BM∥面PCD,为PCD的法向量,∴
即∴
综上所述,存在M点,即当时,M点即为所求.…(12分)
24.设A,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,椭圆的长轴为4,且点(1,)在椭圆上,斜率为的直线l交椭圆C于P,Q两点(A,B位于直线l的两侧).
(1)求椭圆的方程;
(2)求四边形APBQ的面积的最大值.
【解答】解:(1)∵椭圆的长轴为4,且点(1,)在椭圆上,
∴2a=4,=1,解得a=2,b2=3.
∴椭圆的方程为:.
(2)设直线l的方程为:+t,P(x1,y1),Q(x2,y2).
联立,化为+2t2﹣6=0,
△>0,解得t2<6.
∴x1+x2=﹣,x1x2=.
∴|PQ|===.
A(2,0),B(0,),
∴|AB|=,kAB==.
∴AB⊥PQ.
∴S四边形APBQ=
═××
==.当且仅当t=0时取等号.
∴四边形APBQ的面积的最大值为.
25.已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m﹣1)x+1﹣m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设.
(1)求a的值;
(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)存在极值点,并求出极值点;
(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n﹣g(xn+1)≥2n﹣2(n∈N*).
【解答】解:(1)∵关于x的不等式f(x)<(2m﹣1)x+1﹣m2的解集为(m,m+1),
即不等式x2+(a+1﹣2m)x+m2+m<0的解集为(m,m+1),
∴x2+(a+1﹣2m)x+m2+m=(x﹣m)(x﹣m﹣1).
∴x2+(a+1﹣2m)x+m2+m=x2﹣(2m+1)x+m(m+1).
∴a+1﹣2m=﹣(2m+1).
∴a=﹣2.…(2分)
(2)解法1:由(1)得=.
∴φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)=﹣kln(x﹣1)的定义域为(1,+∞).
∴φ'(x)=1﹣=.…(3分)
方程x2﹣(2+k)x+k﹣m+1=0(*)的判别式△=(2+k)2﹣4(k﹣m+1)=k2+4m.…(4分)
①当m>0时,△>0,方程(*)的两个实根为,,…(5分)
则x∈(1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分)
②当m<0时,由△>0,得或,
若,则,,
故x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,(苏元高考吧:www.gaokao8.net)
∴函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)没有极值点.…(7分)
若时,,,
则x∈(1,x1)时,φ'(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分)
综上所述,当m>0时,k取任意实数,函数φ(x)有极小值点x2;
当m<0时,,函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(9分)
(其中,)
解法2:由(1)得=.
∴φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)=﹣kln(x﹣1)的定义域为(1,+∞).
∴φ'(x)=1﹣=.…(3分)
若函数φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)存在极值点等价于函数φ'(x)有两个不等的零点,且
至少有一个零点在(1,+∞)上.…(4分)
令φ'(x)==0,
得x2﹣(2+k)x+k﹣m+1=0,(*)
则△=(2+k)2﹣4(k﹣m+1)=k2+4m>0,(**) …(5分)
方程(*)的两个实根为,.
设h(x)=x2﹣(2+k)x+k﹣m+1,
①若x1<1,x2>1,则h(1)=﹣m<0,得m>0,此时,k取任意实数,(**)成立.
则x∈(1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分)
②若x1>1,x2>1,则得
又由(**)解得或,
故.…(7分)
则x∈(1,x1)时,φ'(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.
∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.
∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分)
综上所述,当m>0时,k取任何实数,函数φ(x)有极小值点x2;
当m<0时,,函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(9分)
(其中,)
(3)证法1:∵m=1,∴g(x)=.
∴=
=.…(10分)
令T=,
则T==.
∵x>0,
∴2T=…≥…
===2(2n﹣2).…(11分)
∴T≥2n﹣2,即[g(x+1)]n﹣g(xn+1)≥2n﹣2.…(12分)
证法2:下面用数学归纳法证明不等式≥2n﹣2.
①当n=1时,左边=,右边=21﹣2=0,不等式成立;
…(10分)
②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即≥2k﹣2,
则 ==…(11分)
=2k+1﹣2
也就是说,当n=k+1时,不等式也成立.
由①②可得,对∀n∈N*,[g(x+1)]n﹣g(xn+1)≥2n﹣2都成立.…(12分)