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  • 2021-07-01 发布

数学理卷·2019届湖南省长沙市麓山国际实验学校高二下学期第一次月考(2018-02)

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麓山国际2017-2018-2高二第一次月考(理科)数学卷 命题人:高二理科数学组 姓名: 班级: 得分:‎ 一.选择题(共15小题 15*3=45)‎ ‎1.设集合A={x|x+1≤0},B={x∈Z|x2﹣3<0},则(∁RA)∩B=(  )‎ A.(﹣1,2) B.{﹣1,0,1} C.(﹣1,1) D.{0,1}‎ ‎2.已知复数Z=a+bi(a、b∈R),且满足,则复数Z在复平面内对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎3.已知直线m,n和平面α,若n⊥α,则“m⊂α”是“n⊥m”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎4.某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是(  )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎5.在(2++)12的展开式中,x5项的系数为(  )‎ A.252 B.264 C.512 D.528‎ ‎6.某高中在校学生2000人,为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表,其中a:b:c=2:3:5,‎ ‎ ‎ 高一级 高二级 高三级 跑步 a b c 登山 x y Z 全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高二级参与跑步的学生中应抽取(  )‎ A.36人 B.60人 C.24人 D.30人 ‎7.如图,在三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是(  )‎ A. B.﹣ C.﹣ D.‎ ‎8.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.若,,,则s1,s2,s3的大小关系为(  )‎ A.s1<s2<s3 B.s2<s1<s3 C.s2<s3<s1 D.s3<s2<s1‎ ‎10.下列命题中,真命题是(  )‎ A.∃x∈R,使得sinx+cosx=2 B.∀x∈(0,π),有sinx>cosx C.∃x∈R,使得x2+x=﹣2 D.∀x∈(0,+∞),有ex>1+x ‎11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1一定是锐角三角形,△A2B2C2一定是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 ‎12.设P是双曲线上的点,F1,F2是其焦点,且PF1⊥PF2,若△PF1F2的面积是1,且a+b=3,则双曲线的离心率为(  )‎ A..2 B. C. D.‎ ‎13.若函数f(x)满足f′(x)﹣f(x)=2xex(e为自然对数的底数),f(0)=1,其中f′(x)为f(x)的导函数,则当x>0时,的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,2] B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3]‎ ‎14.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖,现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎15.已知A,B是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎ ‎ 二.填空题(共5小题 5*3=15)‎ ‎16.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是   .‎ ‎17.在流程框图如图中,若记y=f(x),且x0满足f(f(x0))=2,求x0=   .‎ ‎18.已知[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3‎ S1=‎ S2=‎ S3=,…‎ 依此规律,那么S10=   .‎ ‎19.设函数f(x)=x2﹣1,对任意x∈[3,+∞),f()﹣4m2f(x)≤f(x﹣1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是   .‎ ‎20.在双曲线4x2﹣y2=1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA|•|OB|=15,其中O为双曲线的中心,则AB中点的轨迹方程是   .‎ ‎ ‎ 三.解答题(共5小题 5*12=60)‎ ‎21.已知命题α:x1和x2是方程的两个实根,不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立;命题β:不等式ax2+2x﹣1>0有解.‎ ‎(Ⅰ)若命题α是真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若命题α是真命题且命题β是假命题,求实数a的取值范围.‎ ‎22.在一次抽奖活动中,有甲、乙等6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元,再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元,最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元.‎ ‎(1)求甲和乙都不获奖的概率;‎ ‎(2)设X是甲获奖的金额,求X的分布列和数学期望.‎ ‎23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.‎ ‎(1)求证:PD⊥PB;‎ ‎(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;‎ ‎(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎ 24.设A,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,椭圆的长轴为4,且点(1,)在椭圆上,斜率为的直线l交椭圆C于P,Q两点(A,B位于直线l的两侧).‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求四边形APBQ的面积的最大值.‎ ‎25.已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m﹣1)x+1﹣m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)存在极值点,并求出极值点;‎ ‎(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n﹣g(xn+1)≥2n﹣2(n∈N*).‎ ‎ ‎ 麓山国际2017-2018-2高二第一次月考(理科)数学卷 参考答案与试题解析 一.选择题(共15小题)‎ ‎1.设集合A={x|x+1≤0},B={x∈Z|x2﹣3<0},则(∁RA)∩B=(  )‎ A.(﹣1,2) B.{﹣1,0, 1} C.(﹣1,1) D.{0,1}‎ ‎【解答】解:A={x|x+1≤0}={x|x≤﹣1},B={x∈Z|x2﹣3<0}={﹣1,0,1},‎ 则(∁RA)∩B={x|x>﹣1}∩{﹣1,0,1}={0,1},‎ 故选:D ‎ ‎ ‎2.已知复数Z=a+bi(a、b∈R),且满足,则复数Z在复平面内对应的点位于(  )‎ A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 ‎【解答】解:∵,∴=,‎ 即 + i=,∴=,=﹣,‎ ‎∴a=7,b=﹣10,故复数Z在复平面内对应的点是(7,﹣10),‎ 故选 D.‎ ‎ ‎ ‎3.已知直线m,n和平面α,若n⊥α,则“m⊂α”是“n⊥m”的(  )‎ A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【解答】解:∵n⊥α,若“m⊂α”,则“n⊥m”.反之不成立,可能m∥α.‎ ‎∴n⊥α,则“m⊂α”是“n⊥m”的充分不必要条件.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎4.某四面体三视图如图所示,则该四面体的四个面中,直角三角形的面积和是(  )‎ A.2 B.4 C. D.‎ ‎【解答】解:由三视图可得原几何体如图,‎ ‎∵PO⊥底面ABC,∴平面PAC⊥底面ABC,‎ 而BC⊥AC,‎ ‎∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥AC.‎ 该几何体的高PO=2,底面ABC为边长为2的等腰直角三角形,∠ACB为直角.‎ 所以该几何体中,直角三角形是底面ABC和侧面PBC.‎ PC=,‎ ‎∴,,‎ ‎∴该四面体的四个面中,直角三角形的面积和.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎5.在(2++)12的展开式中,x5项的系数为(  )‎ A.252 B.264 C.512 D.528‎ ‎【解答】解:,‎ 要出现x5项,则r=0,,‎ ‎∴x5项的系数为.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.某高中在校学生2000人.为了响应“阳光体育运动”号召,学校举行了“元旦”跑步和登山比赛活动.每人都参加而且只参与了其中一项比赛,各年级参与比赛人数情况如下表,其中a:b:c=2:3:5,‎ ‎ ‎ 高一级 高二级 高三级 跑步 a b c 登山 x y Z 全校参与登山的人数占总人数的.为了了解学生对本次活动的满意程度,从中抽取一个200人的样本进行调查,则高二级参与跑步的学生中应抽取(  )‎ A.36人 B.60人 C.24人 D.30人 ‎【解答】解:全校参与跑步有2000×=1200人,高二级参与跑步的学生=1200××=36.‎ 故选A ‎ ‎ ‎7.如图,在三棱锥ABCD中,AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,则异面直线AN,CM所成的角的余弦值是(  )‎ A. B.﹣ C.﹣ D.‎ ‎【解答】解:由题意:三棱锥ABCD中,连结ND,取ND 的中点为E,连结ME,则ME∥AN,异面直线AN,CM所成的角就是∠EMC.‎ ‎∵AB=AC=BD=CD=3,AD=BC=2,点M,N分别为AD,BC的中点,‎ ‎∴AN=,ME=EN=,MC=2,‎ 又∵EN⊥NC,∴EC==;‎ cos∠EMC===.‎ ‎∴异面直线AN,CM所成的角的余弦值是.‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎8.已知函数y=xf′(x)的图象如图所示(其中f′(x)是函数f(x)的导函数).下面四个图象中,y=f(x)的图象大致是(  )‎ A. B. C.‎ ‎ D.‎ ‎【解答】解:由函数y=xf′(x)的图象可知:‎ 当x<﹣1时,xf′(x)<0,∴f′(x)>0,此时f(x)增 当﹣1<x<0时,xf′(x)>0,∴f′(x)<0,此时f(x)减 当0<x<1时,xf′(x)<0,∴f′(x)<0,此时f(x)减 当x>1时,xf′(x)>0,f′(x)>0,此时f(x)增.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎9.若,,,则s1,s2,s3的大小关系为(  )‎ A.s1<s2<s3 B.s2<s1<s3 C.s2<s3<s1 D.s3<s2<s1‎ ‎【解答】解:由于=x3|=,‎ ‎=lnx|=ln2,‎ ‎=ex|=e2﹣e.‎ 且ln2<<e2﹣e,则S2<S1<S3‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎10.下列命题中,真命题是(  )‎ A.∃x∈R,使得sinx+cosx=2 B.∀x∈(0,π),有sinx>cosx C.∃x∈R,使得x2+x=﹣2 D.∀x∈(0,+∞),有ex>1+x ‎【解答】解:∵sinx+cosx=sin(x+)∈[,],2∉[,],故A“∃x∈R,使得sinx+cosx=2”不正确;‎ 当x=时,sinx<cosx,故B“∀x∈(0,π),有sinx>cosx”,不正确;‎ ‎∵方程x2+x=﹣2无解,故C“∃x∈R,使得x2+x=﹣2”,不正确;‎ 令f(x)=ex﹣x﹣1,则f′(x)=ex﹣1,当x∈(0,+∞)时,f′(x)>0恒成立,即f(x)=ex﹣x﹣1在区间(0,+∞)上为增函数,‎ 又∵f(0)=ex﹣x﹣1=0,∴D“∀x∈(0,+∞),有ex>1+x”正确;‎ 故选D ‎ ‎ ‎11.如果△A1B1C1的三个内角的余弦值分别为△A2B2C2的三个内角的正弦值,则△A1B1C1一定是锐角三角形,△A2B2C2一定是(  )‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 ‎【解答】解:因为三角形内角的正弦均为正值,‎ 故△A1B1C1的三个内角的余弦值均为正,‎ 所以△A1B1C1为锐角三角形.‎ 由于,,,‎ 若△A2B2C2是锐角三角形,‎ 则,与三角形内角和为π弧度矛盾;‎ 若△A2B2C2是直角三角形,不妨令A2=,则cosA1=sinA2=1,故A1=0,与△A1B1C1为锐角三角形矛盾;‎ 故△A2B2C2是钝角三角形,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎12.设P是双曲线上的点,F1,F2是其焦点,且PF1⊥PF2,若△‎ PF1F2的面积是1,且a+b=3,则双曲线的离心率为(  )‎ A..2 B. C. D.‎ ‎【解答】解:方法一:设|PF1|=m,|PF2|=n,由题意得 由PF1⊥PF2,△PF1F2的面积是1,则mn=1,得mn=2,‎ ‎∵Rt△PF1F2中,根据勾股定理得m2+n2=4c2‎ ‎∴(m﹣n)2=m2+n2﹣2mn=4c2﹣4,‎ 结合双曲线定义,得(m﹣n)2=4a2,‎ ‎∴4c2﹣4=4a2,化简整理得c2﹣a2=1,即b2=1,‎ 则b=1,由a+b=3,得a=2,所以c==,‎ ‎∴该双曲线的离心率为e==,‎ 故选C.‎ 方法二:由双曲线的焦点三角形的面积公式S=,∠F1PF2=θ,‎ 由PF1⊥PF2,则∠F1PF2=90°,‎ 则△PF1F2的面积S==b2=1,由a+b=3,得a=2,所以c==,‎ ‎∴该双曲线的离心率为e==,‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎13.若函数f(x)满足f′(x)﹣f(x)=2xex(e为自然对数的底数),f(0)=1,其中f′(x)为f(x)的导函数,则当x>0时,的取值范围是(  )‎ A.(﹣∞,2] B.(0,2] C.(1,2] D.(2,3]‎ ‎【解答】解:由题意,()′=2x,‎ ‎∴=x2+b,‎ ‎∴f(x)=(x2+b)ex,‎ ‎∵f(0)=1,∴b=1,‎ ‎∴f(x)=(x2+1)ex,‎ f′(x)=(x+1)2ex,‎ ‎∴当x>0时,=1+≤2,当且仅当x=1时取等号,‎ ‎∴当x>0时,的最大值为2,‎ x→+∞时,=1+→1,‎ 故1<≤2,‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎14.箱中装有标号为1,2,3,4,5,6且大小相同的6个球,从箱中一次摸出两个球,记下号码并放回,如果两球号码之积是4的倍数,则获奖,现有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解答】解:由题意知首先做出摸一次中奖的概率,‎ 从6个球中摸出2个,共有C62=15种结果,‎ 两个球的号码之积是4的倍数,‎ 共有(1,4)(3,4),(2,4)(2,6)(4,5)(4,6),‎ ‎∴摸一次中奖的概率是=,‎ ‎4个人摸奖.相当于发生4次试验,且每一次发生的概率是,‎ ‎∴有4人参与摸奖,恰好有3人获奖的概率是×()3×=,‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎15.已知A,B是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,直线AM,BN的斜率分别为k1,k2(k1k2≠0),若椭圆的离心率为,则|k1|+|k2|的最小值为(  )‎ A.1 B. C. D.2‎ ‎【解答】解:设M(t,s),N(t,﹣s),t∈[0,a],s∈[0,b],A(﹣a,0),B(a,0),‎ k1=,k2=﹣‎ ‎|k1|+|k2|=||+|﹣|≥2=2‎ 当且仅当=﹣,即t=0时等号成立.‎ 因为A,B是椭圆长轴的两个端点,M,N是椭圆上关于x轴对称的两点,M(t,s),N(t,﹣s),即s=b ‎∴|k1|+|k2|的最小值为,‎ ‎∵椭圆的离心率为,∴,‎ ‎∴a=2b ‎∴|k1|+|k2|的最小值为1‎ 故选A.‎ ‎ ‎ 二.填空题(共5小题)‎ ‎16.如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是  .‎ ‎【解答】解:如图,设两个半圆的交点为C,且以AO为直径的半圆以D为圆心,连结OC、CD 设OA=OB=2,则弓形OMC的面积为 S弓形OMC=S扇形OCD﹣SRt△DCO=•π•12﹣×1×1=﹣‎ 所以空白部分面积为S空白=2(S半圆AO﹣2S弓形OMC)=2[•π•12﹣(﹣1)]=2‎ 因此,两块阴影部分面积之和为S阴影=S扇形OAB﹣S空白=π•22﹣2=π﹣2‎ 可得在扇形OAB内随机取一点,此点取自阴影部分的概率为P===.‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎17.在流程框图如图中,若记y=f(x),且x0满足f(f(x0))=2,求x0=  .‎ ‎【解答】解:由已知中的流程图可得,‎ 该程序的功能是计算分段函数 y=f(x)=的函数值,‎ 若f(f(x0))=2‎ 则f(x0)=﹣‎ 则2cosx0=﹣‎ 解得x0=‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ ‎18.已知[x]表示不超过x的最大整数,例如[π]=3‎ S1=‎ S2=‎ S3=,…‎ 依此规律,那么S10= 210 .‎ ‎【解答】解:[x]表示不超过x的最大整数,‎ S1==1×3‎ S2==2×5‎ S3==3×7,‎ ‎…‎ ‎∴Sn=[]+[]+…+[]+[]=n×(2n+1),‎ ‎∴S10=10×21=210,‎ 故答案为:210‎ ‎ ‎ ‎19.设函数f(x)=x2﹣1,对任意x∈[3,+∞),f()﹣4m2f(x)≤f(x﹣1)+4f(m)恒成立,则实数m的取值范围是  .‎ ‎【解答】解:由题意,对任意x∈[3,+∞),f()﹣4m2f(x)≤f(x﹣1)+4f(m)恒成立,‎ 即﹣1﹣4m2•(x2﹣1)≤(x﹣1)2﹣1+4m2﹣4恒成立,‎ ‎∴≤﹣在[3,+∞)上恒成立.‎ ‎∵﹣=﹣3,‎ ‎∴当x=3时,﹣取得最小值0,‎ ‎∴,‎ 解得:m或m.‎ 故答案为:.‎ ‎20.在双曲线4x2﹣y2=1的两条渐近线上分别取点A和B,使得|OA|•|OB|=15,其中O为双曲线的中心,则AB中点的轨迹方程是 ﹣=±1 .‎ ‎【解答】解:∵双曲线4x2﹣y2=1,∴a2=,b2=1‎ ‎∴渐近线y=2x,y=﹣2x,‎ 设A(m,2m),B(n,﹣2n),由于|OA|•|OB|=15,‎ ‎∴|OA|2•|OB|2=225,‎ ‎∴(m2+4m2)(n2+4n2)=225‎ ‎∴m2n2=9,‎ 设AB中点M(x,y)‎ x=(m+n),y=m﹣n,‎ ‎∴(2x)2﹣y2=(m+n)2﹣(m﹣n)2‎ ‎4x2﹣y2=4mn ‎(4x2﹣y2)2=16m2n2=16×9,‎ ‎∴4x2﹣y2=±12,即﹣=±1,‎ 故答案为:﹣=±1.‎ ‎ ‎ 三.解答题(共5小题)‎ ‎21.已知命题α:x1和x2是方程的两个实根,不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立;命题β:不等式ax2+2x﹣1>0有解.‎ ‎(Ⅰ)若命题α是真命题,求实数a的取值范围;‎ ‎(Ⅱ)若命题α是真命题且命题β是假命题,求实数a的取值范围.‎ ‎【解答】(本小题12分)‎ 解:(Ⅰ)∵x1,x2是方程的两个实根,‎ ‎∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴当m∈[﹣1,1]时,|x1﹣x2|min=3,‎ 由不等式a2﹣a﹣3≤|x1﹣x2|对任意实数m∈[﹣1,1]恒成立,‎ 可得a2﹣a﹣3≤3,∴﹣2≤a≤3,‎ ‎∴命题α为真命题时,a的取值范围为﹣2≤a≤3;…(5分)‎ ‎(Ⅱ)命题β:不等式ax2+2x﹣1>0有解,‎ ‎①当a>0时,显然有解;‎ ‎②当a=0时,2x﹣1>0有解;‎ ‎③当a<0时,∵ax2+2x﹣1>0有解,‎ ‎∴△=4+4a>0,∴﹣1<a<0,‎ 从而命题β:不等式ax2+2x﹣1>0有解时,a>﹣1.‎ 又命题β是假命题,∴a≤﹣1.‎ 故命题α是真命题且命题β是假命题时,‎ a的取值范围为﹣2≤a≤﹣1.…(12分)‎ ‎22.在一次抽奖活动中,有甲、乙等6人获得抽奖的机会.抽奖规则如下:主办方先从6人中随机抽取两人均获奖1000元,再从余下的4人中随机抽取1人获奖600元,最后还从这4人中随机抽取1人获奖400元.‎ ‎(1)求甲和乙都不获奖的概率;‎ ‎(2)设X是甲获奖的金额,求X的分布列和数学期望.‎ ‎【解答】(满分12分)‎ 解:(1)设“甲和乙都不获奖”为事件A,…(1分)‎ 则P(A)==,‎ ‎∴甲和乙都不获奖的概率为.…(5分)‎ ‎(2)X的所有可能的取值为0,400,600,1000,…(6分)‎ P(X=0)=,‎ P(X=400)=•=,‎ P(X=600)==,‎ P(X=1000)==,…(10分)‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ P ‎(11分)‎ ‎∴E(X)==500.…(12分)‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎23.如图,在四棱锥P﹣ABCD中,平面PAD⊥平面ABCD,PA⊥PD,PA=PD,AB⊥AD,AB=1,AD=2,AC=CD=.‎ ‎(1)求证:PD⊥PB;‎ ‎(2)求直线PB与平面PCD所成角的正弦值;‎ ‎(3)在棱PA上是否存在点M,使得BM∥平面PCD?若存在,求的值;若不存在,说明理由.‎ ‎【解答】证明:(1)∵面PAD⊥面ABCD=AD,AB⊥AD,‎ ‎∴AB⊥面PAD,∴PD⊥AB 又∵PD⊥PA,∴PD⊥面PAB,‎ ‎∴PD⊥PB.…(3分)‎ 解:(2)取AD中点为O,连结CO,PO,‎ ‎∵∴CO⊥AD∵PA=PD∴PO⊥AD 以O为原点,OC为x轴,OA为y轴,OP为z轴,建立空间直角坐标系,‎ 则P(0,0,1),B(1,1,0),D(0,﹣1,0),C(2,0,0),‎ 则=(1,1,﹣1),=(0,﹣1,﹣1),=(2,0,﹣1),=(﹣2,﹣1,0).‎ 设=(x,y,z)为面PDC的法向量,‎ 则,取x=1,得=(1,﹣2,2),‎ 设PB与面PCD所成角为θ,‎ 则sinθ==,‎ ‎∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为.…(7分)‎ ‎(3)假设存在M点使得BM∥面PCD,设,M(0,y',z'),‎ 由(2)知A(0,1,0),P(0,0,1),,‎ B(1,1,0),,‎ ‎∴,‎ ‎∵BM∥面PCD,为PCD的法向量,∴‎ 即∴‎ 综上所述,存在M点,即当时,M点即为所求.…(12分)‎ ‎ 24.设A,B分别是椭圆C:+=1(a>b>0)的右顶点和上顶点,椭圆的长轴为4,且点(1,)在椭圆上,斜率为的直线l交椭圆C于P,Q两点(A,B位于直线l的两侧).‎ ‎(1)求椭圆的方程;‎ ‎(2)求四边形APBQ的面积的最大值.‎ ‎【解答】解:(1)∵椭圆的长轴为4,且点(1,)在椭圆上,‎ ‎∴2a=4,=1,解得a=2,b2=3.‎ ‎∴椭圆的方程为:.‎ ‎(2)设直线l的方程为:+t,P(x1,y1),Q(x2,y2).‎ 联立,化为+2t2﹣6=0,‎ ‎△>0,解得t2<6.‎ ‎∴x1+x2=﹣,x1x2=.‎ ‎∴|PQ|===.‎ A(2,0),B(0,),‎ ‎∴|AB|=,kAB==.‎ ‎∴AB⊥PQ.‎ ‎∴S四边形APBQ=‎ ‎═××‎ ‎==.当且仅当t=0时取等号.‎ ‎∴四边形APBQ的面积的最大值为.‎ ‎ ‎ ‎25.已知二次函数f(x)=x2+ax+m+1,关于x的不等式f(x)<(2m﹣1)x+1﹣m2的解集为(m,m+1),其中m为非零常数.设.‎ ‎(1)求a的值;‎ ‎(2)k(k∈R)如何取值时,函数φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)存在极值点,并求出极值点;‎ ‎(3)若m=1,且x>0,求证:[g(x+1)]n﹣g(xn+1)≥2n﹣2(n∈N*).‎ ‎【解答】解:(1)∵关于x的不等式f(x)<(2m﹣1)x+1﹣m2的解集为(m,m+1),‎ 即不等式x2+(a+1﹣2m)x+m2+m<0的解集为(m,m+1),‎ ‎∴x2+(a+1﹣2m)x+m2+m=(x﹣m)(x﹣m﹣1).‎ ‎∴x2+(a+1﹣2m)x+m2+m=x2﹣(2m+1)x+m(m+1).‎ ‎∴a+1﹣2m=﹣(2m+1).‎ ‎∴a=﹣2.…(2分)‎ ‎(2)解法1:由(1)得=.‎ ‎∴φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)=﹣kln(x﹣1)的定义域为(1,+∞).‎ ‎∴φ'(x)=1﹣=.…(3分)‎ 方程x2﹣(2+k)x+k﹣m+1=0(*)的判别式△=(2+k)2﹣4(k﹣m+1)=k2+4m.…(4分)‎ ‎①当m>0时,△>0,方程(*)的两个实根为,,…(5分)‎ 则x∈(1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.‎ ‎∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.‎ ‎∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分)‎ ‎②当m<0时,由△>0,得或,‎ 若,则,,‎ 故x∈(1,+∞)时,φ'(x)>0,(苏元高考吧:www.gaokao8.net)‎ ‎∴函数φ(x)在(1,+∞)上单调递增.‎ ‎∴函数φ(x)没有极值点.…(7分)‎ 若时,,,‎ 则x∈(1,x1)时,φ'(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.‎ ‎∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.‎ ‎∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分)‎ 综上所述,当m>0时,k取任意实数,函数φ(x)有极小值点x2;‎ 当m<0时,,函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(9分)‎ ‎(其中,)‎ 解法2:由(1)得=.‎ ‎∴φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)=﹣kln(x﹣1)的定义域为(1,+∞).‎ ‎∴φ'(x)=1﹣=.…(3分)‎ 若函数φ(x)=g(x)﹣kln(x﹣1)存在极值点等价于函数φ'(x)有两个不等的零点,且 至少有一个零点在(1,+∞)上.…(4分)‎ 令φ'(x)==0,‎ 得x2﹣(2+k)x+k﹣m+1=0,(*)‎ 则△=(2+k)2﹣4(k﹣m+1)=k2+4m>0,(**) …(5分)‎ 方程(*)的两个实根为,.‎ 设h(x)=x2﹣(2+k)x+k﹣m+1,‎ ‎①若x1<1,x2>1,则h(1)=﹣m<0,得m>0,此时,k取任意实数,(**)成立.‎ 则x∈(1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.‎ ‎∴函数φ(x)在(1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.‎ ‎∴函数φ(x)有极小值点x2.…(6分)‎ ‎②若x1>1,x2>1,则得 又由(**)解得或,‎ 故.…(7分)‎ 则x∈(1,x1)时,φ'(x)>0;x∈(x1,x2)时,φ'(x)<0;x∈(x2,+∞)时,φ'(x)>0.‎ ‎∴函数φ(x)在(1,x1)上单调递增,在(x1,x2)上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增.‎ ‎∴函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(8分)‎ 综上所述,当m>0时,k取任何实数,函数φ(x)有极小值点x2;‎ 当m<0时,,函数φ(x)有极小值点x2,有极大值点x1.…(9分)‎ ‎(其中,)‎ ‎(3)证法1:∵m=1,∴g(x)=.‎ ‎∴=‎ ‎=.…(10分)‎ 令T=,‎ 则T==.‎ ‎∵x>0,‎ ‎∴2T=…≥…‎ ‎===2(2n﹣2).…(11分)‎ ‎∴T≥2n﹣2,即[g(x+1)]n﹣g(xn+1)≥2n﹣2.…(12分)‎ 证法2:下面用数学归纳法证明不等式≥2n﹣2.‎ ‎①当n=1时,左边=,右边=21﹣2=0,不等式成立;‎ ‎…(10分)‎ ‎②假设当n=k(k∈N*)时,不等式成立,即≥2k﹣2,‎ 则 ==…(11分)‎ ‎=2k+1﹣2‎ 也就是说,当n=k+1时,不等式也成立.‎ 由①②可得,对∀n∈N*,[g(x+1)]n﹣g(xn+1)≥2n﹣2都成立.…(12分)‎ ‎ ‎