高考数学复习课时冲关练(二) 1_2 16页

‎ ‎ 课时冲关练(二)‎ 向量运算与复数运算、算法、合情推理 A组(30分钟　80分)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2014·广东高考)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=　(　　)‎ A.-3+4i　 B.-3-4i　 C.3+4i　 D.3-4i ‎【解析】选D.方法一:因为|3+4i|=5,|3+4i|2=25,‎ 所以z==3-4i.‎ 方法二:因为(3+4i)z=25,‎ 所以z==3-4i.‎ ‎2.设向量a=(4,x),b=(2,-1),且a⊥b,则x的值是　(　　)‎ A.8 B.‎-8 ‎ C.2 D.-2‎ ‎【解析】选A.因为a⊥b,所以a·b=4×2-x=0,解得x=8.‎ ‎3.执行如图所示的程序框图,输出的S值为　(　　)‎ A.-10 B.‎-3 ‎ C.4 D.5‎ ‎【解析】选A.第一次运行,满足条件循环S=2-1=1,k=2.‎ 第二次运行,满足条件循环S=2×1-2=0,k=3.‎ 第三次运行,满足条件循环S=2×0-3=-3,k=4.‎ 第四次运行,满足条件循环 S=2×(-3)-4=-10,k=5.‎ 此时不满足条件,输出S=-10.‎ ‎【加固训练】某程序框图如图所示,该程序运行后输出的k的值是　(　　)‎ A.4 B‎.5 ‎ C.6 D.7‎ ‎【解析】选A.对于k=0,S=1,k=1,对于k=1,S=3,k=2,对于k=2,S=3+23=11,k=3,而对于k=3,S=11+211>100,‎ k=4,故不符合条件,输出的k=4.‎ ‎4.(2014·江西高考)是z的共轭复数,若z+=2,(z-)i=2(i为虚数单位),则z=‎ ‎　(　　)‎ A.1+i B.-1-i C.-1+i D.1-i ‎【解题提示】设出复数的代数形式,利用运算法则进行计算.‎ ‎【解析】选D.设z=a+bi(a,b∈R),‎ 则=a-bi,z+=‎2a=2,‎ 故a=1,(z-)i=-2b=2,‎ 故b=-1,所以z=1-i.‎ ‎5.(2013·辽宁高考)已知点A(1,3),B(4,-1),则与向量同方向的单位向量为 ‎　(　　)‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎【解析】选A.由点A(1,3),B(4,-1)得向量=(3,-4),‎ ‎==5,‎ 则与向量同方向的单位向量为==.‎ ‎6.若复数(1+ai)2(i为虚数单位)是纯虚数,则实数a=　(　　)‎ A.±1 B.‎-1 ‎ C.0 D.1‎ ‎【解析】选A.(1+ai)2=1+2ai+a2i2=1-a2+2ai,要使复数是纯虚数,则有1-a2=0且‎2a≠0,解得a=±1.‎ ‎7.(2014·梅州模拟)阅读如图所示的程序框图,则输出的S=　(　　)‎ A.14 　　　　 B.20‎ C.30 　　　　 D.55‎ ‎【解析】选C.第一次循环,S=1,i=2,‎ 第二次循环,S=1+4=5,i=3,‎ 第三次循环,S=5+9=14,i=4,‎ 第四次循环,S=14+16=30,i=5>4,‎ 结束循环,输出S=30.‎ ‎8.观察下图 ‎1‎ ‎2　3　4‎ ‎3　4　5　6　7‎ ‎4　5　6　7　8　9　10‎ ‎…‎ 则第几行的各数之和等于20152　(　　)‎ A.2 015　 B.2 ‎013 ‎ C.1 007　 D.1 008‎ ‎【解析】选D.由题设图知,‎ 第一行各数和为1,‎ 第二行各数和为9=32,‎ 第三行各数和为25=52,‎ 第四行各数和为49=72,…,‎ 所以第n行各数和为(2n-1)2.‎ 令2n-1=2015,解得n=1008.‎ ‎9.(2013·安徽高考)设i是虚数单位,是复数z的共轭复数,若z·i+2=2z,则z=　(　　)‎ A.1+i　 B.1-i　‎ C.-1+i　 D.-1-i ‎【解析】选A.设z=a+bi(a,b∈R),‎ 则=a-bi,由z·i+2=2z,‎ 得(a2+b2)i+2=2(a+bi)2‎-2a+(a2+b2-2b)i=0,‎ 由复数相等的定义可得a=1,b=1,所以z=1+i.‎ ‎10.(2014·韶关模拟)执行如图所示的程序框图,若输出的结果是16,则判断框内的条件为　(　　)‎ A.n>6? B.n≥7? C.n>8? D.n>9?‎ ‎【解析】选C.第一次循环,S=1,n=3,不满足条件,循环.第二次循环,S=1+3=4,n=5,不满足条件,循环.第三次循环,S=4+5=9,n=7,不满足条件,循环.第四次循环,S=9+7=16,n=9,满足条件,输出.故选C.‎ ‎11.已知向量a,b,其中|a|=,|b|=2,且(a-b)⊥a,则向量a和b的夹角是 ‎　(　　)‎ A. B. C. D.π ‎【解析】选A.由题意知 ‎(a-b)·a=a2-a·b=2-a·b=0,‎ 所以a·b=2.设a与b的夹角为θ,‎ 则cosθ==,θ=.‎ ‎12.如图,在边长为2的正六边形ABCDEF中,动圆Q的半径为1,圆心在线段CD(含端点)上运动,P是圆Q上及内部的动点,设向量=m+n(m,n为实数),则m+n的取值范围是　(　　)‎ A.(1,2] B.[5,6] C.[2,5] D.[3,5]‎ ‎【解析】选C.如图所示,‎ ‎①设点O为正六边形的中心,则=+.‎ 当动圆Q的圆心为点C时,与边BC交于点P,点P为边BC的中点,连接OP,‎ 则=+,‎ 因为与共线,所以存在实数t,使得=t,‎ 所以=+t=++t(-)=(1+t)+(1-t),‎ 此时m+n=1+t+1-t=2,取得最小值.‎ ‎②当动圆Q的圆心为点D时,取点P为AD的延长线与☉Q的交点,‎ ‎==(+)=+,‎ 此时m+n=+=5取得最大值,‎ 因此m+n的取值范围是[2,5],故选C.‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.(2013·山东高考改编)复数z=(i为虚数单位),则|z|=　　　　　.‎ ‎【解析】z==-4-3i,‎ 所以|z|==5.‎ 答案:5‎ ‎14.(2014·湖北高考)设a是一个各位数字都不是0且没有重复数字的三位数.将组成a的3个数字按从小到大排成的三位数记为I(a),按从大到小排成的三位数记为D(a)(例如a=815,则I(a)=158,D(a)=851).阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,任意输入一个a,输出的结果b=　　　　.‎ ‎【解析】当a=123,则b=321-123=198≠123;‎ 当a=198,则b=981-189=792≠198;‎ 当a=792,b=972-279=693≠a;‎ 当a=693,b=963-369=594≠a;‎ 当a=594,b=954-459=495≠a;‎ 当a=495,b=954-459=495=a.‎ 答案:495‎ ‎15.(2014·白鹭洲模拟)记N(A)为有限集合A的某项指标,已知N({a})=0,N({a,b})=2,N({a,b,c})=6,N({a,b,c,d})=14,运用归纳推理,可猜想出的合理结论是:若n∈N+,N({a1,a2,a3,…,an})=　　　　　(结果用含n的式子表示).‎ ‎【解析】方法一:(相邻项的变化关系式)‎ 因为N({a,b})-N({a})=2,‎ N({a,b,c})-N({a,b})=4=22,‎ N({a,b,c,d})-N({a,b,c})=8=23,进而得到 N({a1,a2,a3,…,an})-N({a1,a2,a3,…,an-1})=2n-1.‎ 根据数列中的累加法可得到 N({a1,a2,a3,…,an})=0+2+22+…+2n-1==2n-2,‎ 所以N({a1,a2,a3,…,an})=2n-2.‎ 方法二:(每一项与集合元素的个数n的联系)‎ N({a})=0=21-2,N({a,b})=2=22-2,‎ N({a,b,c})=6=23-2,N({a,b,c,d})=14=24-2,‎ 所以可猜想N({a1,a2,a3,…,an})=2n-2.‎ 答案:2n-2‎ ‎16.已知向量a=(1,2),b=(1,0),c=(3,4).若λ为实数,(a+λb)∥c,则λ的值为　　　　　.‎ ‎【解析】a+λb=(1,2)+λ(1,0)=(1+λ,2),‎ 因为(a+λb)∥c,‎ 所以4(1+λ)-3×2=0,解得λ=.‎ 答案:‎ B组(30分钟　80分)‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.(2014·梅州模拟)如果复数(b∈R)的实部和虚部互为相反数,那么b等于 ‎　(　　)‎ A. B. C.- D.2‎ ‎【解析】选C.根据复数除法法则(分子分母同时乘以分母的共轭复数)得==+i,因为该复数的实部与虚部互为相反数,所以+=0b=-,故选C.‎ ‎2.已知向量a,b,满足|a|=3,|b|=2,且a⊥(a+b),则a与b的夹角为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选D.a⊥(a+b)a·(a+b)=a2+a·b=|a|2+|a||b|cos=0,故cos=-=-,故所求夹角为.‎ ‎3.(2014·揭阳模拟)如图所示的程序框图,能使输入的x值与输出的y值相等的x值个数为　(　　)‎ A.1 B‎.2 ‎ C.3 D.4‎ ‎【解析】选C.由框图知,x与y的函数关系为,‎ y=由y=x得,‎ 若x≤2,则x2=xx=0或x=1,若25,显然≠x,‎ 故满足题意的x值有0,1,3,故选C.‎ ‎4.设z是复数,则下列命题中的假命题是　(　　)‎ A.若z2≥0,则z是实数 B.若z2<0,则z是纯虚数 C.若z是纯虚数,则z2≥0‎ D.若z是纯虚数,则z2<0‎ ‎【解题提示】设出复数的代数形式,复数问题转化代数式求解,进行验证,从而得出正确的答案.‎ ‎【解析】选C.设z=a+bi,a,b∈Rz2=a2-b2+2abi.‎ 对选项A:若z2≥0,则b=0z为实数,‎ 所以z为实数正确.‎ 对选项B:若z2<0,则a=0,且b≠0z为纯虚数,‎ 所以z为纯虚数正确.‎ 对选项C:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0z2<0,‎ 所以z2≥0错误.‎ 对选项D:若z为纯虚数,则a=0,且b≠0z2<0,‎ 所以z2<0正确.‎ ‎5.(2014·黄冈模拟)在△ABC中,(-3)⊥,则角A的最大值为　(　　)‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】选A.由(-3)⊥,‎ 可得(-3)·=0.‎ 化简可得||cosB=3||cos(π-C).‎ cosA==+≥,00,y>0,且x+y=1,则·的最大值为　　　　.‎ ‎【解析】建立如图所示的直角坐标系,‎ 则A(-,0),B(,0),C(0,),‎ 设D(x1,0),E(x2,y2),‎ 因为=x,‎ 所以=x(-1,0),‎ 所以x1=-x+.‎ 因为=y,‎ 所以=y,‎ 所以x2=-y,y2=-y.‎ 所以·=·‎ ‎=·‎ ‎=·‎ ‎=-(x2-x+1)‎ ‎=--,‎ 因为0