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- 2021-07-01 发布
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江苏省南通市如皋2018-2019学年高二上学期教学质量调研(三)数学(理科)试题
评卷人
得分
一、填空题
1.已知,若为实数,则__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据复数的乘法运算化简,利用复数的相关概念即可求解.
【详解】
因为 ,
又知为实数,
所以,即.
【点睛】
本题主要考查了复数的运算,复数的概念,属于中档题.
2.焦点在轴上的椭圆的离心率为,则实数的值为__________.
【答案】16
【解析】
【分析】
根据椭圆的焦点在y轴可知,,求出,由离心率即可解出m.
【详解】
因为椭圆的焦点在y轴可知,,
所以,
由可知.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的简单几何性质,属于中档题.
3.若复数满足(是虚数单位),是的共轭复数,则为__________.
【答案】2
【解析】
由题意得,复数满足,所以,
所以。
4.在直角坐标系中,双曲线的右准线为,则以为准线的抛物线的标准方程是__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据双曲线的方程,可写出右准线方程为,又知为抛物线准线,故,即可写出抛物线的标准方程.
【详解】
由双曲线可得,
故,,
所以右准线方程为,
又知为抛物线准线,所以,
故所求抛物线方程为.
【点睛】
本题主要考查了双曲线的方程,抛物线的方程,及其简单几何性质,属于中档题.
5.已知椭圆的左、右焦点分别为,过作直线交椭圆于两点,则的周长为__________.
【答案】4
【解析】
【分析】
根据椭圆的定义可知,因此的周长为.
【详解】
由椭圆知即,
因为直线过作直线交椭圆于,
所以,
因此的周长为.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的定义,属于中档题.
6.下列关于直线和平面的四个命题中:
(1)若,,则;(2)若,,,则;
(3)若,,,则;(4)若,,则.
所有正确命题的序号为__________.
【答案】⑵⑶
【解析】
【分析】
逐项分析即可.
【详解】
选项(1)若,,可能 ,所以推不出,故错误;选项(2)若,,,可推出,故正确;选项(3)若,,,满足直线与平面平行的判定定理,则,故正确;选项(4)若,,可能 ,也可能,推不出,故错误.综上可知正确的为⑵⑶.
【点睛】
本题主要考查了线面垂直,线面平行,面面平行,面面垂直,属于中档题.
7.一个圆锥的侧面积等于底面积的2倍,若圆锥底面半径为,则圆锥的体积为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
根据圆锥侧面积,圆锥底面积可得,可求出圆锥高,利用体积公式计算即可.
【详解】
因为圆锥的侧面积等于底面积的2倍,
所以,即,
又,,
所以.
【点睛】
本题主要考查了圆锥的侧面积,圆锥的体积,属于中档题.
8.若,则__________.
【答案】120
【解析】
【分析】
由题意,是含有项的系数,故利用二项展开式求展开式中含的项的系数即可.
【详解】
的通项公式为,令,解得,,
令,解得,,
所以展开式中含项为,
故.
【点睛】
本题主要考查了二项展开式,二项展开式的通项,属于中档题.
9.叙利亚内战接近尾声,中国红十字会相应国际号召,支持叙利亚人民战后重建,为解决现阶段叙利亚人民急需的医疗保障,现拟从北京某知名医院的专职教授的医生6人(其中男医生3人,女医生3人),护士8人(其中男护士2人,女护士6人)中选派医生、护士各三人组成卫生医疗对,要求男医生至少两人,男护士至少一人,则这样的选派方案共有__________种.(请用数字作答)
【答案】360
【解析】
【分析】
由题意先选医生,从6人中任选2男医生1女医生,或从6人中任选3男医生,共有种选法,再选护士,8人中任选3人,去掉从6名护士中选3人的情况,共有,根据乘法原理即可求出.
【详解】
由题意先选医生,从6人中任选2男医生1女医生,或从6人中任选3男医生,共有种选法种,护士8人中任选3人,去掉从6名护士中选3人的情况,共有种选法,根据乘法原理,选派方案共有种.
【点睛】
本题主要考查了组合的应用,乘法原理,属于中档题.
10.过抛物线上任意一点作轴的垂线,垂足为,动点在直线上,则的最小值为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
延长PQ与抛物线的准线交于H,则,根据抛物线的定义转化为,则,根据图象可知当在一条直线上时,
有最小值,过F作交于,交抛物线于P,当M与重合时,
最小.
【详解】
延长PQ与抛物线的准线交于H,如图:
则,
根据抛物线定义得:,
所以,
由图象可知当在一条直线上时,有最小值,
因此过F作交于,交抛物线于P,当M与重合时,最小,
且 ,
根据点到直线的距离公式可得,
所以 .
即所求最小值为.
【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程,抛物线的定义,及抛物线的简单几何性质,属于中档题.
11.从1,3,5,7中任取2个数字,从0,2,4,6,8中任取2个数字,一共可以组成__________个没有重复数字的四位数.(用数字作答)
【答案】1296
【解析】
【分析】
从0,2,4,6,8中任取2个数字分两类考虑,若取不到0时,偶数有
种取法,此时可组成个没有重复数字的四位数,若取到0时,偶数有种取法,0不放到首位,可组成个没有重复数字的四位数,根据分类加法计数原理即可求出.
【详解】
根据题意,按偶数取不取0分两类,
若取不到0时,偶数有种取法,此时可组成个没有重复数字的四位数,
若取到0时,偶数有种取法,0不放到首位,可组成个没有重复数字的四位数,根据分类加法计数原理可知,共组成个没有重复数字的四位数.
【点睛】
本题主要考查了分类加法计数原理,排列与组合,属于中档题.
12.在正三棱柱中,点在上,且,设三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,则__________.
【答案】3
【解析】
【分析】
连接交AP于点M,根据相似三角形知,故三棱锥与三棱锥有相同的底面,且高之比为3:1所以可得体积比.
【详解】
连接交AP于点M,
因为,∥,根据相似三角形知,故三棱锥与三棱锥
有相同的底面,且高之比为3:1,所以,即.
【点睛】
本题主要考查了棱锥的体积,涉及相似三角形及等体积法,属于中档题.
13.已知为坐标原点,是椭圆的左焦点,分别为椭圆的左、右顶点,过点的直线与轴交于点(异于原点),在线段上取点,使得,连接并延长交于点,且,则椭圆的离心率为__________.
【答案】
【解析】
【分析】
利用MF∥OE,可得三角形相似,利用相似比及,即可建立关系,求出离心率.
【详解】
如图:
因为MF∥OE,
所以,
又∥MF,
所以,
又,故,
所以
化简得,所以
【点睛】
本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的简单性质,相似三角形,离心率,属于中档题.
14.已知直线与椭圆交于两点(直线的斜率大于0),且,若的面积为,则直线的方程为__________.
【答案】或
【解析】
【分析】
设直线为,联立椭圆方程,利用,可得,计算原点到直线的距离及弦长,利用面积公式可得,,即可解得,写出直线方程即可.
【详解】
设直线为,联立椭圆方程,消元得:,当时, ,
因为,
所以,整理得 ①,
又原点到直线的距离, ,
所以,
结合①得,解得或,当 时,,
因为,所以,当时,,即,经检验满足,所以所求直线方程为或.
【点睛】
本题主要考查了椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,弦长公式,点到直线的距离,属于难题.
评卷人
得分
二、解答题
15.在直角坐标系中,以为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为,分别为曲线与轴、轴的交点.
(1)求以线段为直径的圆的极坐标方程;
(2)设的中点为,求直线的极坐标方程.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)写出曲线C的直角坐标方程,求出N点坐标,写出为直径的圆的方程,化为极坐标方程即可(2)求出P点坐标,根据OP的倾斜角即极角写出极坐标方程.
【详解】
由 得
(1)以为直径的圆的方程为
即
或
经检验:
(2)由 , 且P是中点得,因为直线OP倾斜角为,
所以:
【点睛】
本题主要考查了圆的极坐标方程与普通方程的互化,属于中档题.
16.已知直线过点,曲线(为参数),直线与曲线相交于两点.
(1)若直线的倾斜角为,求线段的长;
(2)求的最小值.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)写出直线的参数方程,代入曲线的方程,利用参数的几何意义求解(2)根据直线参数方程代入C方程得,根据参数意义可知,求最值即可.
【详解】
曲线
(1)参数方程为:(为参数)代入曲线的方程得:
则,
(由普通方程求弦长给分)
(2)参数方程为:(为参数)代入曲线的方程得:
当时,的最小值为。
【点睛】
本题主要考查了直线的参数方程,参数的几何意义,属于中档题.
17.在平行六面体中,,平面底面,点是线段的中点,点是线段的中点.
(1)求证:平面;
(2)求证:.
【答案】(1)见解析;(2)见解析
【解析】
【分析】
(1)取的中点,连接、,可证明四边形为平行四边形,得即可证明(2)根据,平面⊥底面即可证明平面,故 又得证.
【详解】
(1)取的中点,连接、
在中,
为线段的中点 ; 为线段的中点
在平行六面体中
又点是线段的中点
四边形为平行四边形
平面 平面
//平面;
(2)在中, ,点是线段的中点
又平面⊥底面,平面 底面,平面
平面,平面
在平行六面体中,
【点睛】
本题主要考查了直线与平面平行,面面垂直的性质,线面垂直,属于中档题.
18.在公园游园活动中,有这样一个游戏项目:甲箱子里装有3个白球和2个黑球,乙箱子里装有1个白球和2个黑球,这些球除颜色外完全相同.每次游戏都从这两个箱子里各随机地摸出2个球,若摸出的白球不少于2个,则获奖.(每次游戏结束后将球放回原箱)
(1)求在每一次游戏中获奖的概率;
(2)在三次游戏中,记获奖次数为,求的概率分布和数学期望.
【答案】(1);(2)2.1
【解析】
【分析】
(1)由题意两箱子随机各摸出2个球共有种取法,其中摸出白球不少于2个有三类共种摸法,即可求出(2)所有可能的取值为0,1,2,3,由题意可知是二项分布,写出概率分布及期望即可.
【详解】
记“在每一次游戏中获奖”为事件
(1)
(2)所有可能的取值为0,1,2,3
=
=
=
=
==2.1
答: 每一次游戏中获奖的概率为,的数学期望为2.1
【点睛】
本题主要考查了古典概型,二项分布,期望,属于中档题.
19.已知椭圆:的左右焦点分别为,离心率为,点与椭圆上点的最远距离为,过且斜率为的直线与椭圆交于两点.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)若,求的面积.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)根据离心率可得a,b的关系,设出椭圆方程,设椭圆上任意一点,求出,利用二次函数求最值为6即可得出(2)设椭圆上点,则三角形面积为,利用椭圆第二定义求出,代入椭圆方程求即可.
【详解】
(1)由离心率为,得,
设椭圆的方程为
设椭圆上任意一点则
==,
当,即时,在时取最大值
得: , ;
当,即时,在时取最大值
得: , (舍去)
椭圆的方程为。
(2)设椭圆上点,则设点到右准线的距离为,由椭圆的第二定义得:
则,代入椭圆得 ,
【点睛】
本题主要考查了椭圆的方程及椭圆的定义,二次函数求最值,属于中档题.
20.某探险队分为四个小组探险甲、乙、丙三个区域,若每个小组只能探险一个区域,且每个小组选择任何一个区域是等可能的.
(1)求恰有2个小组探险甲区域的概率;
(2)求被探险区域的个数的概率分布列和数学期望.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】
(1)每个小组有三个探险区域,所以总的探险不同安排方法有种,恰有2个小组探险甲区域的安排方法,先取两个小组探测甲区域,再安排另外两小组探测区域,共有种,求概率即可(2)由题意所有可能的取值为0,1,2,3,分别计算对应的概率即可.
【详解】
(1)记“恰有2各小组探索甲区域”为事件
(2)所有可能的取值为0,1,2,3
答:恰有2各小组探索甲区域的概率为,的数学期望为
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的概率,期望,属于中档题.
21.已知函数.
(1)当时,求展开式中系数的最大项;
(2)化简;
(3)定义:,化简:.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)根据题意展开式中系数的最大项就是二项式系数最大的项,,中间项为第5项,其系数最大(2)根据,令,即可求值(3)原式添加,利用倒序相加,化简即可.
【详解】
(1)
系数最大的项即为二项式系数最大的项
(2)
原式
(3) ①
②
在①、②添加,则得
1+ ③
1+ ④
③+④得:
2(1+)
=
【点睛】
本题主要考查了二项式定理,二项式系数,倒序相加法,赋值法,属于中档题.
22.如图,在平面直角坐标系中,椭圆的左右顶点分别是,为直线上一点(点在轴的上方),直线与椭圆的另一个交点为,直线与椭圆的另一个交点为.
(1)若的面积是的面积的,求直线的方程;
(2)设直线与直线的斜率分别为,求证:为定值;
(3)若的延长线交直线于点,求线段长度的最小值.
【答案】(1);(2)见解析(3)
【解析】
【分析】
(1)的面积是的面积的,可得为的中点,求出C后可计算,即可写出直线方程(2)设直线的方程,可联立椭圆得C点坐标,进而得P点坐标,写出PB方程得M坐标,即可求出,证明为定值(3)写出,得CB直线方程,联立得Q坐标,即可求出,利用均值不等式求最值.
【详解】
(1) , ,即为的中点。
,代入椭圆方程得:
,直线方程为:
(2)由 得:
由得,
得,
得:
得:
.
(3)
得
,当且仅当时取最小值。
【点睛】
本题主要考查了椭圆的方程,直线与椭圆的位置关系,定值问题,均值不等,属于难题.
23.如图所示,抛物线的焦点为.
(1)求抛物线的标准方程;
(2)过的两条直线分别与抛物线交于点,与,(点,在轴的上方).
①若,求直线的斜率;
②设直线的斜率为,直线的斜率为,若,求证:直线过定点.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)根据焦点可确定p,即可写出方程(2)①设,,利用向量关系得,代入抛物线方程,可得,,结合F(1,0)即可求出斜率. ②根据可得 ,当存在时,设直线:,联立抛物线方程,得,根据可得,代入直线方程即可求出定点,当当不存在时,检验过定点即可.
【详解】
(1)因为,所以p=2,
所以方程为
(2)法一:,,
得
代入得,则,,
法二:由 ①
得,代入①求,
而,得
法三:利用抛物线的定义转化为到准线的距离,得
(3),得
,同理 ①
代入①得
,又有
而
当存在时,设直线:
得:
得
过定点
当不存在时,检验得过定点。
综上所述,直线过定点。
【点睛】
本题主要考查了抛物线的方程及直线与抛物线的位置关系,涉及直线斜率及直线过定点问题,属于难题.