2020届高考文科数学大二轮复习冲刺创新专题题型1选填题练熟练稳少丢分第2讲集合与常用逻辑用语练习 14页

第2讲　集合与常用逻辑用语 ‎[考情分析]　集合是高考的必考考点之一，多为选择题，试题比较简单，题型比较固定，为高考送分试题，经常以不等式解集，函数的定义域、值域为背景考查集合的概念及基本运算，有时也会出现一些集合的新定义问题；常用逻辑用语是高考命题的热点，考查题型也比较固定，考向主要分为四个部分：四种命题及其之间的关系，充分、必要条件的判断方法，含有量词的命题的否定与真假判断，含逻辑联结词的命题的真假判断．‎ 热点题型分析 热点1　集合的基本概念 利用集合元素的特征：确定性、无序性、互异性．‎ 设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则b－a＝(　　)‎ A.1 B．－1 ‎ C．2 D．－2‎ 答案　C 解析　由题意知，0∈{1，a＋b，a}，又a≠0，故a＋b＝0，得＝－1，则集合{1,0，a}＝{0，－1，b}，可得a＝－1，b＝1，b－a＝2.故选C.‎ 两集合相等的条件是集合中的元素分别相同，本题易忽视本身所包含的a≠0这一条件，而错误的得出：a＋b＝0或a＝0；还需注意集合中元素的互异性这一特性：由a＋b＝0，可得a＝1，b＝－1或a＝－1，b＝1，显然a＝1时，左、右两边集合中的两个元素是重复的，故舍弃.‎ 热点2　集合的基本运算 先正确理解各个集合的含义，认清集合元素的属性、代表的意义，再根据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，集合运算中的常用方法：‎ ‎(1)若给定的集合是无限、连续数集，不等式的解集，常借助数轴求解；‎ ‎(2)若给定的集合是点集，常借助函数的图象或方程的曲线求解；‎ - 14 -‎ ‎(3)若给定的集合是抽象集合或是用列举法表示的集合，用Venn图求解．‎ ‎1.已知集合M＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，N＝{x|y＝}，则M∩N＝(　　)‎ A.{x|1b”，则“ac2>bc2”，以及它的逆命题、否命题、逆否命题中，真命题共有(　　)‎ A.0个 B．1个 ‎ C．2个 D．4个 - 14 -‎ 答案　C 解析　若c＝0，则原命题不成立，由等价命题同真假知其逆否命题也为假；逆命题：设a，b，c∈R，若“ac2>bc2”，则“a>b”．由ac2>bc2知c2>0，由不等式的基本性质得a>b，所以逆命题为真，由等价命题同真假知否命题也为真，所以真命题共有2个．故选C.‎ 写一个命题的其他三种命题形式时，若命题有大前提，需保留大前提不变，只改变条件和结论．判断命题真假时，要注意原命题与逆否命题同真假，故四个命题中真、假命题必有偶数个．本题中“设a，b，c∈R”是大前提，在原命题的判断中易忽略c＝0的特殊情况而得出真命题，从而错选D.‎ 热点5　充分、必要条件的判断 判断充分、必要条件的三种方法：‎ ‎(1)利用定义判断．‎ ‎(2)利用集合间的包含关系判断．‎ ‎ ‎ ‎1．(2017·北京高考)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n＜0”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 - 14 -‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若∃λ＜0，使m＝λn，即两向量反向，夹角是π，那么m·n＝|m||n|cosπ＝－|m||n|＜0，反过来，若m·n＜0，那么两向量的夹角为，并不一定反向，即不一定存在负数λ，使得m＝λn，所以是充分不必要条件，故选A.‎ 答案　[9，＋∞)‎ - 14 -‎ ‎1．第1题误区有两个方面：①由“存在负数λ，使得m＝λn”不能得出向量反向，由“m·n＜0”，不能得出θ∈；②由向量m与n反向能得出m·n<0，而认为m·n<0也能得出m与n反向．‎ ‎2．对于条件或结论是否定形式的命题一般运用等价法，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解．但第2题中由NM，易误解为得m>9.‎ 热点6　简单的逻辑联结词、全称命题与特称命题 ‎1．含有逻辑联结词的命题的真假判断步骤 - 14 -‎ ‎ ‎ ‎2．全(特)称命题的否定及真假的判断方法 ‎(1)含有全称量词的全称命题的否定是将全称量词改为存在量词，并把结论否定；含有存在量词的特称命题的否定是将存在量词改为全称量词，并把结论否定．‎ ‎(2)有些全称(或特称)命题省略了全称(或存在)量词，否定时要先理解其含义，再进行否定．‎ ‎1．下列命题中的假命题是(　　)‎ A．∀x∈R,2x－1>0‎ B．∀x∈N*，(x－1)2>0‎ C．∃x0∈R，lg x0<1‎ D．∃x0∈R，tanx0＝2‎ 答案　B 解析　当x∈N*时，x－1∈N，可得(x－1)2≥0，当且仅当x＝1时取等号，故B不正确；易知A，C，D正确，故选B.‎ ‎ ‎ A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0‎ B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0‎ C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0‎ D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0‎ 答案　C ‎ ‎ 判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．‎ 真题自检感悟 - 14 -‎ ‎1.(2018·全国卷Ⅰ)已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝(　　)‎ A.{x|－12} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}‎ 答案　B 解析　解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，所以A＝{x|x<－1或x>2}，所以可以求得∁RA＝{x|－1≤x≤2}，故选B.‎ ‎2.(2017·全国卷Ⅱ)设集合A＝{1,2,4}，B＝{x|x2－4x＋m＝0}．若A∩B＝{1}，则B＝(　　)‎ A.{1，－3} B．{1,0} ‎ C．{1,3} D．{1,5}‎ 答案　C 解析　∵A∩B＝{1}，∴1∈B.∴1－4＋m＝0，即m＝3.‎ ‎∴B＝{x|x2－4x＋3＝0}＝{1,3}．故选C.‎ ‎3.(2017·天津高考)设θ∈R，则“＜”是“sinθ＜”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　A 解析　∵＜，∴－＜θ－＜，即0＜θ＜.显然0＜θ＜时，sinθ＜成立．但sinθ＜时，由周期函数的性质知0＜θ＜不一定成立．故0＜θ＜是sinθ＜的充分而不必要条件．故选A.‎ ‎4.(2017·全国卷Ⅰ)设有下面四个命题：‎ p1：若复数z满足∈R，则z∈R；‎ p2：若复数z满足z2∈R，则z∈R；‎ p3：若复数z1，z2满足z1z2∈R，则z1＝2；‎ p4：若复数z∈R，则∈R.‎ 其中的真命题为(　　)‎ A.p1，p3 B．p1，p4 ‎ C．p2，p3 D．p2，p4‎ 答案　B - 14 -‎ 解析　设z＝a＋bi(a，b∈R)，z1＝a1＋b1i(a1，b1∈R)，z2＝a2＋b2i(a2，b2∈R)．‎ 对于p1，若∈R，即＝∈R，则b＝0⇒z＝a＋bi＝a∈R，所以p1为真命题．‎ 对于p2，若z2∈R，即(a＋bi)2＝a2＋2abi－b2∈R，则ab＝0.‎ 当a＝0，b≠0时，z＝a＋bi＝bi∉R，所以p2为假命题．‎ 对于p3，若z1z2∈R，即(a1＋b1i)(a2＋b2i)＝(a1a2－b1b2)＋(a1b2＋a2b1)i∈R，则a1b2＋a2b1＝0.而z1＝2，即a1＋b1i＝a2－b2i⇔a1＝a2，b1＝－b2.因为a1b2＋a2b1＝＝a2，b1＝－b2，所以p3为假命题．‎ 对于p4，若z∈R，即a＋bi∈R，则b＝0⇒＝a－bi＝a∈R，所以p4为真命题．故选B.‎ ‎5.(2019·北京高考)设点A，B，C不共线，则“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的(　　)‎ A.充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案　C 解析　因为点A，B，C不共线，由向量加法的三角形法则，可知＝－，所以|＋|>||等价于|＋|>|－|，因模为正，故不等号两边平方得2＋2＋2||||cosθ>2＋2－2||·||cosθ(θ为与的夹角)，整理得4||||·cosθ>0，故cosθ>0，即θ为锐角．又以上推理过程可逆，所以“与的夹角为锐角”是“|＋|>||”的充分必要条件．故选C.‎ 专题作业 一、选择题 ‎1.(2018·天津高考)设全集为R，集合A＝{x|02，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.‎ ‎8.命题“∀x∈[1,2)，x2－a≤0”成立的一个充分不必要条件可以是(　　)‎ A.a≥1 B．a>1 ‎ C．a≥4 D．a>4‎ 答案　D 解析　命题成立的充要条件是∀x∈[1,2)，a≥x2恒成立，即a≥4.∴命题成立的一个充分不必要条件可以是a>4.故选D.‎ ‎9.下列命题中，真命题是(　　)‎ A.∃x0∈R，ex0≤0‎ B.∀x∈R,2x>x2‎ - 14 -‎ C.a＋b＝0的充要条件是＝－1‎ D.“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件 答案　D 解析　因为y＝ex0>0，x0∈R恒成立，所以A不正确；因为当x＝－5时，2－5<(－5)2，所以B不正确；“＝－1”是“a＋b＝0”的充分不必要条件，所以C不正确；当a>1，b>1时，显然ab>1，故D正确.‎ ‎10.已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”，命题q：“∃x0∈R，x＋4x0＋a＝0”．若命题p和q都成立，则实数a的取值范围是(　　)‎ A.(4，＋∞) B．[1,4]‎ C.[e,4] D．(－∞，－1)‎ 答案　C 解析　对于p成立，a≥(ex)max，∴a≥e.对于q成立，知x＋4x0＋a＝0有解，则Δ＝16－4a≥0，解得a≤4.综上可知e≤a≤4.故选C.‎ ‎11.已知集合A＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x，y∈Z}，B＝{(x，y)||x|≤2，|y|≤2，x，y∈Z}，定义集合A⊕B＝{(x1＋x2，y1＋y2)|(x1，y1)∈A，(x2，y2)∈B}，则A⊕B中元素的个数为(　　)‎ A.77 B．49 ‎ C．45 D．30‎ 答案　C 解析　当x1＝0时，y1∈{－1,0,1}，而x2，y2∈{－2，－1,0,1,2}，此时x1＋x2∈{－2，－1,0,1,2}，y1＋y2∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，则A⊕B中元素的个数为5×7＝35.‎ 当x1＝±1时，y1＝0，而x2，y2∈{－2，－1,0,1,2}，此时x1＋x2∈{－3，－2，－1,0,1,2,3}，y1＋y2∈{－2，－1,0,1,2}．由于当x1＋x2∈{－2，－1,0,1,2}，y1＋y2∈{－2，－1，0,1,2}时，A⊕B中的元素与x1＝0时有重复的元素，此时不重复的元素个数为2×5＝10，所以A⊕B中元素的个数为35＋10＝45.故选C.‎ ‎12.给出下列四个命题：‎ ‎①“若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为真命题；‎ ‎②“平面向量a，b的夹角是钝角”的充分不必要条件是“a·b<0”；‎ ‎④命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”．‎ 其中不正确命题的编号是(　　)‎ - 14 -‎ A.②④ B．①③④‎ C.①②④ D．①②③‎ 答案　D 解析　对于①，“若x0为y＝f(x)的极值点，则f′(x0)＝0”的逆命题为“若f′(x0)＝0，则x0为y＝f(x)的极值点”，不正确，如f(x)＝x3，f′(x)＝3x2，由f′(x0)＝0，可得x0＝0，但x0＝0不是极值点，故①错；对于②，“平面向量a，b的夹角是钝角”等价于“a·b<0，且a·b不共线”，则“平面向量a，b的夹角是钝角”的必要不充分条件是“a·b<0”，故②错；对于③，若命题p：<0，则 ‎：≥0或x＝1，故③错；对于④，命题“∃x∈R，x2＋x＋1<0”的否定是“∀x∈R，x2＋x＋1≥0”，故④正确．故选D.‎ 二、填空题 ‎13.已知全集U＝R，集合A，B满足A＝{x|－2≤x≤7}，B＝{x|m＋17}，∵B≠∅，∴m＋1<2m－1，得m>2；∵(∁UA)∩B＝∅，∴B⊆A，∴m＋1≥－2 且2m－1≤7，得m≤4且m≥－3，∴m∈(2,4].‎ ‎14.若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．‎ 答案　1‎ 解析　若“∀x∈，tanx≤m”是真命题，则m≥tan＝1，于是实数m的最小值为1.‎ ‎15.(2019·山东济南一中月考)已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是