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  • 2021-07-01 发布

重庆市渝中区巴蜀中学2020届高三高考适应性月考卷(三)数学(理)试题

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巴蜀中学2020届高考适应性月考卷(三)‎ 理科数学 注意事项:‎ ‎1.答题前,考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚.‎ ‎2.每小题选出答案后,用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号,在试题上作答无效.‎ ‎3.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回,满分150分,考试用时120分钟.‎ ‎4.考试结束后,请在教师指导下扫描二维码观看名师讲解.‎ 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.已知集合,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合,进而求并集即可.‎ ‎【详解】由题意可得,,‎ 所以,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查集合的并集运算,考查一元二次不等式的解法,属于基础题.‎ ‎2.在正项等比数列中,若,则( )‎ A. 2019 B. 2018 C. 1009 D. 1010‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等比数列下标和性质即可得到结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时,经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.‎ ‎3.已知,,,则( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用指对函数的单调性,借助中间量比较大小.‎ ‎【详解】,,,‎ 所以,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】利用指数函数对数函数及幂函数的性质比较实数或式子的大小,一方面要比较两个实数或式子形式的异同,底数相同,考虑指数函数增减性,指数相同考虑幂函数的增减性,当都不相同时,考虑分析数或式子的大致范围,来进行比较大小,另一方面注意特殊值的应用,有时候要借助其“桥梁”作用,来比较大小.‎ ‎4.已知分子是一种由60个碳原子构成的分子,它形似足球,因此又名足球烯,是单纯由碳原子结合形成的稳定分子,它具有60个顶点和若干个面,.各个面的形状为正五边形或正六边形,结构如图.已知其中正六边形的面为20个,则正五边形的面为( )个.‎ A. 10 B. 12‎ C. 16 D. 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由结构图知:每个顶点同时在3个面内,计算出五边形的总顶点数,从而得到结果.‎ ‎【详解】由结构图知:每个顶点同时在3个面内, ‎ 所以五边形面数为个,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题以分子为载体,考查空间问题的计数问题,考查空间想象能力与推理能力,属于中档题.‎ ‎5.如图,过正方形的顶点在内任意作射线,则该射线与正方形的交点位于边上的概率为( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用几何概型公式即可得到结果.‎ ‎【详解】角度性几何概率:,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】几何概型有两个特点:一是无限性,二是等可能性.基本事件可以抽象为点,尽管这些点是无限的,但它们所占据的区域都是有限的,因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.‎ ‎6.已知为第二象限角,且,则( )‎ A. B. C. 2 D. -2‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用同角基本关系式得到,结合诱导公式得到结果.‎ ‎【详解】由于为第二象限角,且,所以为第三象限角,‎ 从而,,‎ 所以,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查同角基本关系式,考查三角函数的恒等变换,考查计算能力,属于常考题型.‎ ‎7.,,分别为内角,,的对边,的面积为,已知且,则外接圆的半径为( )‎ A. 4 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由,结合余弦定理与三角形面积公式可得,再利用正弦定理可得外接圆的半径.‎ ‎【详解】,‎ 即,‎ 所以,,‎ 由正弦定理,‎ 所以,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】本题考查解三角形问题,考查正弦定理、余弦定理、三角形的面积公式,考查计算能力,属于中档题.‎ ‎8.函数的图象如图所示,为了得到的图象,可将的图象( )‎ A. 向右平移个单位 B. 向右平移个单位 C. 向左平移个单位 D. 向左平移个单位 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正弦型函数的图象得到,结合图像变换知识得到答案.‎ ‎【详解】由图象知:,∴.‎ 又时函数值最大,‎ 所以.又,‎ ‎∴,从而,,‎ 只需将的图象向左平移个单位即可得到的图象,‎ 故选:C.‎ ‎【点睛】已知函数的图象求解析式 ‎(1).(2)由函数的周期求 ‎(3)利用“五点法”中相对应的特殊点求,一般用最高点或最低点求。‎ ‎9.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上,侧棱,,两两垂直,且,若以为球心且1为半径的球与三棱锥公共部分的体积为,球的体积为,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知是半径为1球的体积的,把三棱锥补成正方体,利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为.‎ ‎【详解】由题意易得:,‎ 将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球,直径为:,‎ 从而,,‎ 所以,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为,则其外接球半径公式为: .‎ ‎10.已知,函数的零点分别为,且,则( )‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,解二次方程可得或,进而分段讨论,即可得到结果.‎ ‎【详解】令,则由,,‎ 即或,‎ 由,得或0,‎ 由,得,或,‎ 所以函数的零点分别为,,,,,‎ 从而,‎ 故选:D.‎ ‎【点睛】本题考查复合函数的零点问题,处理方法为:把复合函数分拆为简单函数,分别处理即可,考查转化能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎11.已知双曲线的焦点为,,过的直线与双曲线的左支交于,两点,若,,则的方程为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设双曲线的方程为,,根据双曲线定义可得,结合余弦定理可得双曲线方程.‎ ‎【详解】设双曲线的方程为,,‎ 则,,,‎ 又,‎ ‎∴,‎ 取的中点,则,‎ 在中,可得;‎ 在中,由余弦定理:,‎ 可得,‎ 又,得,‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查待定系数法求双曲线的方程,考查双曲线定义、余弦定理等知识,考查推理能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎12.已知是定义在上的奇函数,记的导函数为,当时,满足,若存在,使不等式成立,则实数的最小值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意构造,在上单调递增,且,从而可以推断出在上单调递增,即可化抽象不等式为具体不等式,得到结果.‎ ‎【详解】令,在上单调递增,且,从而可以推断出 则(当时,满足),‎ 从而在上单调递增,‎ 所以当时,,‎ 从而当时,;‎ 当时,(当时取等号),‎ 又当时,,即,‎ 所以在上单调递增,‎ 由于是定义在上的奇函数,从而在上单调递增;‎ 不等式.‎ 令,则原问题等价于有解,从而,‎ ‎∵,‎ ‎∴在上单减,在上单增,‎ ‎∴,‎ 所以的最小值为,‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的运用,函数存在性的问题,函数零点的问题,利用函数的性质求参数取值与利用导数证明不等式成立的问题,考查了运算能力和转化能力,属于中档题.‎ 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.函数在点处的切线方程为___.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意,函数的导数为,得到,再由直线的点斜式方程,即可求解切线的方程。‎ ‎【详解】由题意,函数的导数为,所以,‎ 即函数在点处的切线的斜率为,‎ 由直线的点斜式方程可知,切线的方程为,即。‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用导数求解曲线在某点处的切线的方程,其中解答中根据导数四则运算的法则,正确求解函数的导数,得出曲线在某点处的切线的斜率,再利用点斜式求解切线的方程是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题。‎ ‎14.若,则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用微积分定理及奇函数的性质可得,结合诱导公式可得结果.‎ ‎【详解】,‎ ‎∴,‎ 所以.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查微积分定理,诱导公式,特殊角三角函数值,考查运算能力,属于基础题.‎ ‎15.设等差数列的前项和为,若,,则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得,,明确关于的函数的单调性可得结果.‎ ‎【详解】由,,得,,‎ 所以,‎ 在上单调递减,在上单调递增,又,‎ 又当时,;‎ 当时,,‎ 所以的最小值为.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题考查等差数列的基本运算,考查函数的最值,考查转化能力与计算能力,属于中档题.‎ ‎16.在中,,,点满足,则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令,,可得,即在直线上,从而当时最小,结合三角形知识得到结果.‎ ‎【详解】,‎ 令,,‎ 则,‎ 因为,‎ 所以在直线上,从而当时最小,‎ 在中,,,,‎ 由余弦定理得,‎ 又,‎ 得.‎ 故答案为:‎ ‎【点睛】本题综合考查了平面向量与解三角形知识,考查三点共线、余弦定理,三角形面积公式等知识,考查转化能力与计算能力,属于中档题.‎ 三、解答题(共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎17.如图,在四棱锥中,底面是正方形,平面,且,点为线段的中点.‎ ‎(1)求证:平面;‎ ‎(2)求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)连接交于点,连接,易得,从而得证;‎ ‎(2)以点为坐标原点,,,分别为,,轴的正向建立空间直角坐标系,求出平面与平面的法向量,代入公式可得结果.‎ ‎【详解】(1)连接交于点,连接,‎ ‎∵,分别为,的中点,∴.‎ 又平面,平面,‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解:∵平面,‎ ‎∴.‎ 又∵是正方形,∴.‎ ‎∴平面 以点为坐标原点,,,分别为,,轴的正向建立空间直角坐标系,‎ 各点坐标如下:,,,,,.‎ 设平面的法向量为,‎ 则,‎ ‎∴.‎ ‎∵平面,,‎ ‎∴取平面的法向量为,‎ ‎,‎ ‎∴二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的证明,考查二面角的余弦值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系及空间向量法的应用,考查运算求解能力,考查数形结合思想,是中档题.‎ ‎18.已知函数,,.‎ ‎(1)求函数的单调区间;‎ ‎(2)若恒成立,求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)的单调增区间为,;单调减区间为(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出导函数,解不等式得到单调区间;‎ ‎(2)令,则恒成立,研究函数的最值即可.‎ ‎【详解】解:(1),‎ 由,得的单调增区间为,;‎ 由,得的单调减区间为.‎ ‎(2)令,则恒成立,‎ ‎,‎ ‎∵,∴.‎ 令,则在上单调递增,且,‎ ‎∴当时,,,单调递减;‎ 当时,,,单调递增;‎ ‎∴,∴.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及函数恒成立问题,是一道中档题.‎ ‎19.为庆祝新中国成立七十周年,巴蜀中学将举行“歌唱祖国,喜迎国庆”歌咏比赛活动,《歌唱祖国》,《精忠报国》,《我和我的祖国》等一系列歌曲深受同学们的青睐,高二某班级就该班是否选择《精忠报国》作为本班参赛曲目进行投票表决,投票情况如下表.‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 总人数 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎(1)若从第1小组和第8小组同学中各随机选取2人进行调查,求所选取的4人中至少有2人赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的概率;‎ ‎(2)若从第5小组和第7小组的同学中各随机选取2人进行调查,记选取的4人中不赞成《精忠报国》作为本班参赛曲目的人数为,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎【答案】(1)(2)详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用对立事件概率公式可得结果;‎ ‎(2)X的可能取值为0,1,2,3,4分别求出相应的概率,由此能求出X的分布列和E(X).‎ ‎【详解】解:(1).‎ ‎(2)各小组人员情况:‎ 小组 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 赞成人数 ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎4‎ ‎3‎ 不赞成人数 ‎3‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 总人数 ‎7‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎8‎ ‎7‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ 的可能取值为0,1,2,3,4,且 ‎,,‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎,‎ 随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎.‎ 点睛】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法,考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.‎ ‎20.已知数列满足,.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)记,数列的前项和为,若对任意正整数恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意可得,即为等差数列,从而得到数列的通项公式;‎ ‎(2)由(1)可得,利用分组求和与裂项相消法得到,分类讨论研究最值即可.‎ ‎【详解】解:(1)∵,∴,‎ ‎∴为等差数列,‎ ‎∴,‎ ‎∴.‎ ‎(2)‎ ‎,‎ ‎,‎ ‎∵,∴.‎ ‎①当为偶数时,,‎ 令,‎ 则 ‎,‎ ‎∴,‎ ‎∴;‎ ‎②当为奇数时,,‎ 由①知单减,又当时,,∴,‎ 综上,.‎ ‎【点睛】本题考查数列的通项与求和,着重考查等差关系的确定及数列的单调性的分析,突出裂项法求和,突出转化思想与综合运算能力的考查,属于中档题.‎ ‎21.已知椭圆:的左,右焦点分别为,,点为椭圆上任意一点,点关于原点的对称点为点,有,且当的面积最大时为等边三角形.‎ ‎(1)求椭圆的标准方程;‎ ‎(2)与圆相切的直线:交椭圆于,两点,若椭圆上存在点满足,求四边形面积的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)依题意知:,从而可得椭圆的标准方程;‎ ‎(2)利用直线:与圆相切可得,联立方程利用韦达定理可得,代入椭圆方程可得,表示四边形的面积,借助函数的单调性可得答案.‎ ‎【详解】解:(1)依题意知:,∴,‎ ‎∴椭圆的标准方程为:.‎ ‎(2)∵直线:与圆相切,‎ ‎∴原点到直线的距离为,即,‎ ‎∴.‎ 设,,,‎ 由消去得,‎ ‎∴,,‎ ‎∴,‎ ‎∵,‎ ‎∴,‎ 又在椭圆上,∴,‎ ‎∴.‎ 设的中点为,则,‎ ‎∴四边形的面积为 ‎.‎ 令,‎ 则∵,∴,‎ ‎∴,‎ ‎∴四边形面积的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、四边形面积、换元法、函数的单调性,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.‎ 请考生在第22、23两题中任选一题作答,并用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑.注意所做题目的题号必须与所涂题目的题号一致,在答题卡选答区域指定位置答题.如果多做,则按所做的第一题计分.‎ ‎22.在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),曲线的参数方程为(为参数).‎ ‎(1)求曲线的极坐标方程;‎ ‎(2)若曲线与曲线交于,两点,且,求的值.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)先得到曲线的普通方程,将代入化简得到答案;(2)将的参数方程代入的普通方程,得到,,将所求的用表示,从而得到答案.‎ ‎【详解】解:(1)曲线的普通方程为,即.‎ 将代入化简得的极坐标方程为.‎ ‎(2)将的参数方程代入的普通方程中,得,‎ 设,两点的参数分别为,,则,、异号,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查普通方程与极坐标方程的转化,直线参数的几何意义,属于简单题.‎ ‎23.已知函数.‎ ‎(1)当时,求不等式的解集;‎ ‎(2)若关于的不等式的解集包含,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)按进行分类,得到等价不等式组,分别解出解集,再取并集,得到答案;(2)将问题转化为在时恒成立,按 和分类讨论,分别得到不等式恒成立时对应的的范围,再取交集,得到答案.‎ ‎【详解】解:(1)当时,等价于 或或,‎ 解得或或,‎ 所以不等式的解集为:.‎ ‎(2)依题意即在时恒成立,‎ 当时,,即,‎ 所以对恒成立 ‎∴,得;‎ 当时,,‎ 即,‎ 所以对任意恒成立,‎ ‎∴,得∴,‎ 综上,.‎ ‎【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式,分类讨论研究不等式恒成立问题,属于中档题.‎ ‎ ‎