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- 2021-07-01 发布
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第
1
讲 三角函数的图象与性质
专题三
三角函数、解三角形与平面向量
热点分类突破
真题押题精练
Ⅰ
热点分类突破
热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角关系式
答案
解析
√
思维升华
思维升华
涉及
与圆及角有关的函数建模问题
(
如钟表、摩天轮、水车等
)
,常常借助三角函数的定义求解
.
应用定义时,注意三角函数值仅与终边位置有关,与终边上点的位置无关
.
(2)
已知
sin
α
+
2cos
α
=
0
,则
2sin
α
cos
α
-
cos
2
α
的值是
______.
-
1
解析
∵
sin
α
+
2cos
α
=
0
,
∴
sin
α
=-
2cos
α
,
∴
tan
α
=-
2.
又
∵
2sin
α
cos
α
-
cos
2
α
答案
解析
思维升华
思维升华
应用
诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号;利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则,如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等
.
答案
解析
√
答案
解析
热点二 三角函数的图象及应用
函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的图象
(1)
“
五点法
”
作图:
(2)
图象变换:
答案
解析
√
答案
解析
√
思维升华
(2)(2017
届安庆二模
)
设函数
y
=
sin
ωx
(
ω
>0)
的最小正周期是
T
,将其图象向
左平移
T
后,得到的图象如图所示,则函数
y
=
sin
ωx
(
ω
>0)
的单调递增区间
是
思维升华
(1)
已知函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)(
A
>0
,
ω
>0)
的图象求解析式时,常采用待定系数法,由图中的最高点、最低点或特殊点求
A
;由函数的周期确定
ω
;确定
φ
常根据
“
五点法
”
中的五个点求解,其中一般把第一个零点作为突破口,可以从图象的升降找准第一个零点的位置
.
(2)
在图象变换过程中务必分清是先相位变换,还是先周期变换
.
变换只是相对于其中的自变量
x
而言的,如果
x
的系数不是
1
,就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向
.
答案
解析
√
(2)(2017
届陕西省西安市铁一中学模拟
)
函数
f
(
x
)
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
+
b
的部分图象如图,则
S
=
f
(1)
+
…
+
f
(2 017)
等于
√
答案
解析
由于周期
T
=
4
,
2 017
=
504
×
4
+
1
,且
f
(1)
+
f
(2)
+
f
(3)
+
f
(4)
=
4
,
所以
S
=
f
(1)
+
…
+
f
(2 016)
+
f
(2 017)
=
2 016
+
f
(2 017)
热点三 三角函数的性质
1.
三角函数的单调区间:
当
φ
=
k
π(
k
∈
Z
)
时为偶函数;
对称轴方程可由
ωx
+
φ
=
k
π(
k
∈
Z
)
求得
.
y
=
A
tan(
ωx
+
φ
)
,当
φ
=
k
π(
k
∈
Z
)
时为奇函数
.
解答
整理得
T
=
2π.
解答
思维升华
又
∵
x
∈
[0,2
π
]
,
思维升华
函数
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
的性质及应用的求解思路
第一步:先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
+
B
的形式;
第二步:
把
“
ωx
+
φ
”
视为一个整体,借助复合函数性质求
y
=
A
sin(
ωx
+
φ
)
+
B
的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题
.
解答
解答
Ⅱ
真题押题精练
真题体验
1.(2017·
山东改编
)
函数
y
=
sin
2
x
+
cos 2
x
的最小正周期为
____.
答案
解析
1
2
3
π
4
④
1
2
3
4
答案
解析
1
2
3
4
答案
解析
1
2
3
3.(2017·
天津改编
)
设函数
f
(
x
)
=
2sin(
ωx
+
φ
)
,
x
∈
R
,其中
ω
>0
,
|
φ
|<π.
若
f
=
2
,
f
=
0
,且
f
(
x
)
的最小正周期大于
2π
,则
ω
=
____
,
φ
=
_____.
4
1
2
3
4
4.(2017·
全国
Ⅱ
)
函数
f
(
x
)
=
2cos
x
+
sin
x
的最大值为
_____.
答案
解析
1
2
3
4
押题预测
答案
解析
押题依据
本题结合函数图象的性质确定函数解析式,然后考查图象的平移,很有代表性,考生应熟练掌握图象平移规则,防止出错
.
押题依据
1
2
3
√
1
2
3
答案
解析
押题依据
由三角函数的图象求解析式是高考的热点,本题结合平面几何知识求
A
,考查了数形结合思想
.
押题依据
1
2
3
√
解析
由题意设
Q
(
a,
0)
,
R
(0
,-
a
)(
a
>0).
1
2
3
3.
已知函数
f
(
x
)
=
cos
4
x
-
2sin
x
cos
x
-
sin
4
x
.
(1)
若
x
是某三角形的一个内角,且
f
(
x
)
=-
,
求角
x
的大小;
解答
押题依据
三角函数解
答题的
常见形式是求周期、求单调区间及求对称轴方程
(
或对称中心
)
等,这些都可以由三角函数解析式直接得到,因此此类命题的基本方式是利用三角恒等变换得到函数的解析式
.
押题依据
1
2
3
解
∵
f
(
x
)
=
cos
4
x
-
2sin
x
cos
x
-
sin
4
x
=
(cos
2
x
+
sin
2
x
)(cos
2
x
-
sin
2
x
)
-
sin 2
x
=
cos 2
x
-
sin 2
x
1
2
3
1
2
3
(2)
当
x
∈
时
,求
f
(
x
)
的最小值及取得最小值时
x
的值
.
押题依据
常见
形式是求解函数的值域
(
或最值
)
,特别是指定区间上的值域
(
或最值
)
,是高考考查三角函数图象与性质命题的基本模式
.
1
2
3
解答
押题依据
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