江苏省启东中学2017高考数学押题卷11 14页

卷11‎ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答题卡相应的位置上．‎ ‎1．已知集合，集合，若命题“”是命题“”的充分 ‎ 不必要条件，则实数的取值范围是 ▲ ．‎ 答案： ‎ ‎2．复数（是虚数单位），则= ▲ ．‎ ‎ 答案：‎ ‎3．为了解某校教师使用多媒体进行教学的情况，采用简单随机抽样的方法，从该校200名授课教师中抽取20名教师，调查了他们上学期使用多媒体进行教学的次数，结果用茎叶图表示如下：‎ 据此可估计该校上学期200名教师中，使用多媒体 ‎ 进行教学次数在内的人数为 ▲ ．‎ 答案：100‎ ‎ 解析：所抽取的20人中在内的人数10人，‎ 故可得200名教师中使用多媒体进行教学次数在内的人数为=100人。‎ ‎4．如图是一个算法的流程图，则最后输出的的值为 ▲ ．‎ 答案：14‎ ‎ 解析：本题考查算法流程图。 ‎ ‎ 所以输出。‎ ‎5．已知是等差数列{}的前项和，若≥4，≤16，则的最大值是 ▲ ．‎ 答案：9‎ ‎6．用半径为cm，面积为cm2的扇形铁皮制作一个无盖的圆锥形容器（衔接部分忽略不计）， 则该容器盛满水时的体积是 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎7．若在区间和上分别各取一个数，记为和，则方程表示焦点在 ‎ 轴上的椭圆的概率为 ▲ ．‎ 答案：2‎ ‎ 解析：本题考查线性规划和几何概型。‎ ‎ 由题意知画可行域如图阴影部分。‎ ‎ 直线与，的交点分别为（2,2），（4,4）‎ ‎ ∴阴影梯形的面积为，‎ ‎ 而区间和构成的区域面积为8，故所求的概率为。‎ ‎8．设是实数．若函数是定义在上的奇函数，但不是偶函数，则函数的递增区间为 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎9．已知三次函数在R上单调递增，则的最小 ‎ 值为 ▲ ．‎ 答案：3‎ 解析:由题意≥0在R上恒成立，则，△≤0．‎ ‎∴≥‎ 令 ≥≥3．‎ ‎（当且仅当，即时取“=”‎ ‎10．若函数，对任意实数，都有，且， ‎ ‎ 则实数的值等于 ▲ ．‎ 答案：或。‎ 解析：本题考查三角函数的图象与性质。‎ ‎ 由可知是该函数的一条对称轴，‎ ‎ 故当时，或。又由可得或。 ▲ ．‎ ‎11．已知A，B，P是双曲线上不同的三点，且A，B连线经过坐标原点，若直线 ‎ PA，PB的斜率乘积，则该双曲线的离心率为 ▲ ．‎ 答案：‎ 解析：一定关于原点对称，设，，‎ 则，，． ‎ ‎12．已知等差数列的公差d不为0，等比数列的公比q为小于1的正有理数。若，且是正整数，则q等于 ▲ ．‎ 答案：‎ ‎13．已知a > 0，b > 0，且，其中{a，b}表示数a，b中较小的数，则h的最大值为 ▲ ． ‎ 答案：‎ ‎14．已知定义在上的函数f(x)满足f(1)＝2，，则不等式解集 ‎ ▲ ．‎ 答案：‎ 二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请把答案写在答题卡相应的位置上．解答时应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎15．(本题满分14分)‎ ‎ 如图所示,已知的终边所在直线上的一点的坐标为,的终边在第一象限且与单位圆的交点的纵坐标为.‎ ‎ ⑴求的值；‎ ‎ ⑵若,,求.‎ 解：⑴由三角函数的定义知 ‎ ‎∴.‎ 又由三角函数线知,‎ ‎∵为第一象限角,∴,∴. ……7分 ‎⑵∵,,∴.‎ 又,,∴. …8分 ‎∴.‎ 由,,得,∴. ……14分 ‎16．(本题满分14分)‎ 在三棱锥中,是边长为的正三角形,平面平面,‎ ‎,、分别为、的中点.‎ ‎ ⑴证明：；‎ ‎ ⑵(理)求二面角的正切值；‎ ‎ ⑶求点到平面的距离.‎ 解：‎ 解法：⑴取中点,连结、.‎ ‎∵,∴,,‎ ‎∴平面,又平面,∴. ……4分 ‎ ⑵∵平面,平面,∴平面平面.‎ 过作于,则平面,‎ 过作于,连结,则,为二面角的平面角.‎ ‎∵平面平面,,∴平面.‎ 又平面,∴.∵,‎ ‎∴,且.‎ 在正中,由平几知识可求得,‎ 在中,‎ ‎∴二面角的正切值为. ……8分 ‎ ⑶在中,,∴,.‎ 设点到平面的距离为,‎ ‎∵,平面,∴,‎ ‎∴.即点到平面的距离为. ……14分 解法：⑴取中点,连结、.∵,,‎ ‎∴,.∵平面平面, ‎ 平面平面,∴平面,∴.‎ 如图所示建立空间直角坐标系,则,,‎ ‎,,∴,,‎ ‎∵,∴. ……6分 ‎ ⑵∵,,又,∴,.‎ 设为平面的一个法向量,则,‎ 取,,,∴.又为平面的一个法向量,‎ ‎∴,得 ‎∴.即二面角的正切值为. ……10分 ‎ ⑶由⑴⑵得,又为平面的一个法向量,,‎ ‎∴点到平面的距离.……14分 ‎17．(本题满分14分)‎ 某公司为了加大产品的宣传力度，准备立一块广告牌，在其背面制作一个形如△ABC的支架，要求∠ACB＝60°，BC的长度大于‎1米，且AC比AB长‎0.5米．为节省材料，要求AC的长度越短越好，求AC的最短长度，且当AC最短时，BC的长度为多少米？‎ 解：设BC＝x米（x＞1），AC＝y米，则AB＝y－．‎ 在△ABC中，由余弦定理，得(y－)2＝y2＋x2－2xycos60°．‎ 所以y＝（x＞1）．‎ 法一：y＝＝(x－1)＋＋2≥2＋．‎ 当且仅当x－1＝，即x＝1＋时，y有最小值2＋．‎ 法二： y′＝＝．‎ 由y′＝0得x＝1＋．因为当1＜x＜1＋时，y′＜0；当x＞1＋时，y′＞0，‎ 所以当x＝1＋时，y有最小值2＋．‎ 答：AC的最短长度为2＋米，此时BC的长度为（1＋）米．……………14分 ‎18．(本题满分16分)‎ 已知曲线E：ax2＋by2＝1（a＞0，b＞0），经过点M（，0）的直线l与曲线E交 于点A、B，且＝－2． ‎ ‎（1）若点B的坐标为（0，2），求曲线E的方程；‎ ‎（2）若a＝b＝1，求直线AB的方程．‎ 解：‎ （1） 设A(x0，y0)，因为B(0，2)，M(，0)‎ ‎ 故＝(－，2)，＝(x0－，y0)． ……………………………………2分 因为＝－2，所以(－，2)＝－2(x0－，y0)．‎ 所以x0＝，y0＝－1．即A(，－1)． ……………………………………4分 因为A，B都在曲线E上，所以解得a＝1，b＝．‎ 所以曲线E的方程为x2＋＝1． ……………………………………6分 ‎（2）（法一）当a＝b＝1时，曲线E为圆：x2＋y2＝1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 因为＝－2，所以(x2－，y2) ＝－2(x1－，y1)，即 设线段AB的中点为T，则点T的坐标为(，)，即(，－)．‎ 所以＝(，－)，＝(x2－x1，y2－y1)＝(－3x1，－3y1)．‎ 因为OT⊥AB，所以×＝0，即3－4x1＋3x＋3y＝0．‎ 因为x＋y＝1，所以x1＝，y1＝±．‎ 当点A的坐标为(，－)时，对应的点B的坐标为(0，1)，此时直线AB的斜率 k＝－，所求直线AB的方程为y＝－x＋1；‎ 当点A的坐标为(，)时，对应的点B的坐标为(0，－1)，此时直线AB的斜率k＝，‎ 所求直线AB的方程为y＝x－1． ……………………………………16分 ‎（法二）当a＝b＝1时，曲线E为圆：x2＋y2＝1．设A(x1，y1)，B(x2，y2)．‎ 因为＝－2，所以(x2－，y2) ＝－2(x1－，y1)，即 因为点A，B在圆上，所以 ‎ 由①×4－②，得(2x1＋x2)(2x1－x2)＝3．所以2x1－x2＝，解得x1＝，x2＝0．‎ 由x1＝，得y1＝±．（以下同方法一）‎ ‎（法三）如图，设AB中点为T．‎ 则TM＝TA－MA＝AB，OM＝．‎ 根据Rt△OTA和Rt△OTM，得 即解得AB＝，OT＝．所以在Rt△OTM中，tanÐOMT＝＝．‎ 所以kAB＝－或．所以直线AB的方程为y＝－x＋1或y＝x－1．‎ ‎19．(本题满分16分)‎ 设f(x)＝x3，等差数列{an}中a3＝7，，记Sn＝，令bn＝anSn，数列的前n项和为Tn．‎ ‎（1）求{an}的通项公式和Sn； ‎ ‎（2）求证：Tn＜；‎ ‎（3）是否存在正整数m，n，且1＜m＜n，使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出m，n的值，若不存在，说明理由．‎ 解：（1）设数列的公差为，由，．‎ 解得,＝3,∴∵‎ ‎∴Sn＝＝．…4分 ‎(2) ，∴ ‎ ‎∴。 ………………………8分 ‎(3)由(2)知， ∴，‎ ‎ ∵成等比数列．‎ ‎∴ ，即………………………9分 当时，7，＝1，不合题意；‎ 当时，，＝16，符合题意；………………………10分 当时，，无正整数解；当时，，无正整数解；‎ 当时，，无正整数解；‎ 当时，，无正整数解； ………………………12分 当时， ，则，而，‎ 所以，此时不存在正整数m，n，且1