综合模拟练01（第01期）-2018年高考数学（理）备考之百强校大题狂练系列 12页

‎1．已知数列{an}是等比数列，首项a1=1，公比q＞0，其前n项和为Sn，且S1+a1，S3+a3，S2+a2成等差数列．‎ ‎（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；‎ ‎（Ⅱ）若数列{bn}满足，Tn为数列{bn}的前n项和，若Tn≥m恒成立，求m的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．‎ 试题解析：（Ⅰ）因为， ， 成等差数列，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 因为数列是等比数列，‎ 所以，‎ 又，所以，‎ 所以数列的通项公式；‎ 所以 所以 所以是递增数列 所以 所以 所以的最大值为 考点：1．数列的通项公式；2．数列的求和；3．数列的最值．‎ ‎【方法点睛】数值最值的求解方法如下：1．邻项比较法，求数列的最大值，可通过解不等式组 求得的取值范围；求数列的最小值，可通过解不等式组 求得的取值范围；2．数形结合，数列是一特殊的函数，分析通项公式对应函数的特点，借助函数的图像即可求解；3．单调性法，数列作为特殊的函数，可通过函数的单调性研究数列的单调性，必须注意的是数列对应的是孤立的点，这与连续函数的单调性有所不同；也可以通过差值的正负确定数列的单调性．‎ ‎2．在五面体中， , ,‎ ‎， ，平面平面.‎ ‎（1） 证明: 直线平面；‎ ‎（2） 已知为棱上的点，试确定点位置，使二面角的大小为.‎ ‎【答案】(1)见解析；(2) 点靠近点的的三等分点处.‎ ‎（1）∵, ∴‎ ‎∴四边形为菱形,∴‎ ‎∵平面平面，平面平面,‎ ‎∵∴平面 ‎∴,又∵‎ ‎∴直线平面 ‎（2）∵,‎ ‎∴为正三角形，取的中点,连接,则 ‎∴,‎ ‎∵平面平面, 平面，平面平面,‎ ‎∴平面 设平面的法向量为 ‎∵, ∴，‎ 令，则 ‎∴‎ ‎∵二面角为,‎ ‎∴ ，解得 ‎∴点靠近点的的三等分点处 点睛：本题考查了线面垂直的证明方法．线面垂直可以转化成证明面面垂直，也可以证明直线垂直平面内的两条相交直线．同时考查了空间直角坐标系在立体几何中的运用能力和计算能力，属于难题。‎ ‎3．某学校为倡导全体学生为特困学生捐款，举行“一元钱，一片心，诚信用水”活动，学生在购水处每领取一瓶矿泉水，便自觉向捐款箱中至少投入一元钱。现统计了连续5天的售出和收益情况，如下表：‎ 售出水量x（单位：箱）‎ ‎7‎ ‎6‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎6‎ 收益y（单位：元）‎ ‎165‎ ‎142‎ ‎148‎ ‎125‎ ‎150‎ ‎(Ⅰ) 若x与y成线性相关，则某天售出8箱水时，预计收益为多少元？‎ ‎(Ⅱ) 期中考试以后，学校决定将诚信用水的收益，以奖学金的形式奖励给品学兼优的特困生，规定：特困生考入年级前200名，获一等奖学金500元；考入年级201—500 名，获二等奖学金300元；考入年级501名以后的特困生将不获得奖学金。甲、乙两名学生获一等奖学金的概率均为，获二等奖学金的概率均为，不获得奖学金的概率均为.‎ ‎⑴在学生甲获得奖学金条件下，求他获得一等奖学金的概率；‎ ‎⑵已知甲、乙两名学生获得哪个等第的奖学金是相互独立的，求甲、乙两名学生所获得奖学金总金额X 的分布列及数学期望。‎ 附： ， 。‎ ‎【答案】（Ⅰ）186元；（Ⅱ）（1）；（2）分布列见解析，期望为600.‎ 试题解析：‎ ‎， ‎ ‎， ‎ ‎…‎ 当  时， ‎ 即某天售出8箱水的预计收益是186元。‎ 即  的分布列为：‎ ‎ ‎ ‎（元）‎ ‎4．已知椭圆： （）的离心率为，过右焦点且垂直于轴的直线与椭圆交于， 两点，且，直线： 与椭圆交于， 两点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知点，若是一个与无关的常数，求实数的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）1‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意， ，又，求得椭圆方程；（2）联立方程组，得到韦达定理， ，所以所以，解得.‎ ‎（2）设， ，联立方程消元得，‎ ‎，‎ ‎∴， ，‎ 又是一个与无关的常数，∴，即，‎ ‎∴， .∵，∴.‎ 当时， ，直线与椭圆交于两点，满足题意. ‎ ‎5．已知函数（）.‎ ‎（1）判断函数在区间上零点的个数；‎ ‎（2）当时，若在（）上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2) .‎ 解析：（1）令， ，得.‎ 记， ，则，‎ 当时， ，‎ 当时， ，‎ 由此可知在区间上单调递减，在区间上单调递增，‎ 且， .‎ 又，‎ 故当时， 在区间上无零点.　‎ 当或时， 在区间上恰有一个零点.‎ 当时， 在区间上有两个零点.‎ ‎（2）在区间（）上存在一点，使得成立等价于函数在区间上的最小值小于零.‎ ‎.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决。但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法。‎ ‎6．选修4-4: 坐标系与参数方程 已知直线的参数方程为(为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．‎ ‎(1) 若直线与曲线交于两点，求的值；‎ ‎(2) 求曲线的内接矩形的周长的最大值．‎ ‎【答案】(1)2(2)16‎ 试题解析：‎ ‎(1) 曲线的直角坐标系方程为: ∴‎ ‎∴直线的参数方程为（为参数）‎ 将代入得：‎ 设两点所对应的参数为，则∴ ‎ ‎(2) 设为内接矩形在第一象限的顶点　，　，‎ 则矩形的周长 ‎∴当即时周长最大，最大值为16．‎ ‎7．已知函数.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若关于的不等式有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ 试题解析：解：（1）当时，无解；‎ 当时， ；‎ 当时， .‎ 综上， .‎ ‎（2）函数的最小值为， ，所以.‎ ‎ ‎